I. Diviseurs et multiples II. PGCD

I. Diviseurs et multiples
1. Définition
a et b sont deux entiers positifs.

Si a est divisible par b, alors il existe un entier q tel que a = b  q .
On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a.

Si a n'est pas divisible par b alors il existe un nombre entier r appelé reste tel que :
a = b  q + r avec 0< r < b. (Division euclidienne)
2. Exemple
48 est divisible par 6 car 48  6  8
48 n’est pas divisible par 5.
48  5  9  3
a  bq  r
58
59
40
45
510
48
50
3. Disposition pratique :
On cherche les diviseurs de 24 :
24 = 124
24 = 212
24 = 38
24 = 46
on peut écrire dans un tableau :
1
2
3
4
24
12
8
6
Les diviseurs de 24 sont {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
II. PGCD
1. Définition
L'ensemble des diviseurs communs à deux entiers a et b admet un plus grand élément noté
PGCD (a; b).
PGCD signifie Plus Grand Commun Diviseur.
2. Exemple :
Cherchons le PGCD(175; 245).
3nde
1
On cherche les diviseurs de 175 :
1
5
7
175
35
25
1
5
7
245
49
35
On cherche les diviseurs de 245 :
Conclusion : PGCD(175; 245) = 35.
3. Propriétés :
Si a est un diviseur de b, alors PGCD(a; b) = a.
PGCD(a; 1) = 1
PGCD(a; a) = a



4. Propriété :
Pour a > b on a PGCD(a; b) = PGCD(a - b; b)
Exemple :
PGCD(175; 245) = 35
D'après la propriété précédente : PGCD(175; 245) = PGCD(245-175; 175)
= PGCD(70; 175)
= PGCD(175-70; 70)
= PGCD(105; 70)
= PGCD(105-70; 70)
= PGCD(35; 70)
= PGCD(70-35;35)
= PGCD(35; 35)
= 35
III. Calculs de PGCD
1. Par soustractions successives


On veut calculer PGCD(64; 28)
On utilise les propriétés précédentes :
Pour a > b on a PGCD(a; b) = PGCD(a - b; b)
PGCD(a; a) = a
64
36
28
20
12
8
a
28
28
8
8
8
b
4
36
8
20
12
4
a-b
4
On s'arrête lorsqu'on obtient deux nombres égaux.
PGCD(64; 28) = PGCD(36; 28) = PGCD(28; 8) = ...=PGCD(4; 4) = 4
3nde
2
2. Par divisions successives (algorithme d'Euclide)
On veut calculer PGCD(64; 28)
On utilise les propriétés :
Si a n'est pas divisible par b alors il existe un nombre entier r appelé reste tel que : a = b  q + r
avec 0< r < b. (Division euclidienne).
PGCD(a; b) = PGCD(b; r)


a
b
r
q
64
28
8
2
28
8
4
3
8
4
0
2
On s'arrête lorsqu'on obtient le dernier reste non nul.
PGCD(64; 28) = PGCD(28; 8) = PGCD(8; 4) = 4
IV. Nombres premiers entre eux.
1. Définition :
On dit que deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
2. Exemples :
PGCD(7; 5) = 1. Donc 7 et 5 sont premiers entre eux.
PGCD(8; 5) = 1. Donc 8 et 5 sont premiers entre eux.
3. Fractions irréductibles
a. Définition :
Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
b. Propriété :
Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD.
c. Exemple :
Soit à simplifier la fraction :
175
245
PGCD(175; 245) = 35
175 = 355
245 = 357
175 35  5 5
donc


245 35  7 7
PGCD(5; 7) = 1, donc la fraction est irréductible.
3nde
3