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Correction : 20, 22 et 23 p.82 1/1
Correction : 44 p. 84
n est un entier naturel admettant exactement 6 diviseurs positifs.
Donc : n ≥ 1.
On considère sa décomposition en produits de facteurs premiers : n = 3 × 5 , avec α et β
entiers naturels non nuls.
Le nombre de diviseurs positifs de n est donc : (α + 1)(β + 1).
D’où : (α + 1)(β + 1) = 6.
(α + 1) et (β + 1) sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
Ils sont donc des diviseurs de 6, supérieurs à 2.
Les diviseurs de 6 correspondants sont donc : 2 et 3.
D’où : α + 1 = 2 ou α + 1 = 3
β + 1 = 3 β + 1 = 2
α = 1 ou α = 2
β = 2 β = 1
Donc : n = 3 5 = 75
n = 3 5 = 45
Correction : 22 p. 82
On a : PGCD (3 ; 3) = 3.
Il existe donc bien un nombre premier p = 3 tel que PGCD (p ; 3) = 3.
3 est un nombre premier.
Donc : PGCD (p ; 3) = 3 si 3 | p
1 sinon
p est un nombre premier. Si p = 3 alors PGCD (p ; 3) = 3 et si p ≠ 3, alors PGCD (p ; 3) = 1.
Il n’existe donc pas d’autres nombre premier p tel que PGCD (p ; 3) = 3.
Correction : 23 p. 82
p est un nombre premier et n un entier naturel tels que : n ≠ p.
1) Vrai, si deux nombres premiers p et p’ sont distincts, alors PGCD (p, p’) = 1.
2) Faux, par exemple si n = 4 et p = 3.
On a bien : PGCD (n ; p) = 1 et n non premier.