TS 2016 Exercices Correction Ch13. Lois à Densité, Lois Normales

TS 2016 Exercices Correction Ch13. Lois à Densité, Lois Normales
Exercice 1 : Utilisation de la calculatrice. Xsuit la loi normale N(0; 1),
1. Donner une valeur approchée à 10−3près de
a) P(0 ≤X≤1,6)≈0,445 b) P(X≤2,51)≈0,994 c) P(X≥0,75)≈0,599 d) P(−0,4≤X≤0,4)≈0,31
2. Donner une valeur approchée à 10−3près du réel xtel que
a) P(X≤x)≈0,7967 x≈0,83 b) P(0 ≤X≤x)≈0,4236 x≈1,43 c) P(X≥x)≈0,0655 x≈1,51
d) P(x≤X≤2) ≈0,1x≈1,16
Exercice 2 : Lors de l’étude d’une population de personnes effectuant un métier à risque, on construit un indice de stress en le
modélisant par une variable aléatoire Sde loi normale N(0; 1).
Plus la valeur de l’indice est élevée, plus le niveau de stress de la personne est important. Déterminer les indices de stress :
a) s1et s5tels que P(S < s1) = P(S > s5) = 0,025
On veut P(s1≤S≤s5) = 1 −2×0,025 = 0,95, Alors s1=−1,96 et s5= 1,96
b) s2et s4tels que P(S < s2) = P(S > s4) = 0,25 On trouve s2≈ −0,674 et s4≈0,674 par symétrie.
c) s3tel que P(S < s3) = 0,50 Par symétrie s3= 0
Exercice 3 : Xsuit une loi normale N(0; 1), Les propriétés suivantes sont-elles Vraies ? Fausses ? Justifier.
a) P(−1,5≤X≤1,5) ≈0,68 à 10−2près. Calculatrice P(−1,5≤X≤1,5) ≈0,866 FAUX
b) P(X > 2,1) ≈0,05 à 10−2près. Calculatrice P(X > 2,1) ≈0,018 FAUX
c) P(−2,8≤X≤2,8) >0,99 P(−2,8≤X≤2,8) ≈0,994 VRAI
Exercice 4 : Xsuit une loi normale N(3; 1). Utiliser les résultats du cours pour donner une valeur approchée de
a) P(X > 3) b) P(2 < X < 4) c) P(X≤1) d) P(0 ≤X≤6) e) P(3 ≤X≤4) f) P(0 ≤X≤1)
a) Par symétrie P(X > 3) = 0,5
b) Intervalle à 1σ P (2 ≤X≤4) ≈0,68
c) Intervalle à 2σ P (1 ≤X≤5) ≈0,95 et par symétrie P(X≤1) ≈0,025
d) Intervalle à 3σ P (0 ≤X≤6) ≈0,997
e) Par symétrie et Intervalle à 1σ P (3 ≤X≤4) ≈0,34
f) Avec les résultats précédent et par symétrie P(X≤0) ≈0,0015 et P(X≤1) ≈0,025 Alors P(0 ≤X≤1) ≈0,0235
Exercice 5 : Utilisation de la calculatrice. Xsuit la loi normale N(7,2; 1,22).
Donner une valeur approchée à 10−2près du réel atel que
a) P(X≤a) = 0,4013 a≈6,9b) P(6 ≤X≤a) = 0,2475 a≈6,91 c) P(X≥a) = 0,96 a≈5,1
d) P(a≤X≤5,5) = 0,0244 a≈5,27
Exercice 6 : La taille des élèves du lycée Gauss suit la loi normale de moyenne 174cm et d’écart type 8cm.
On désigne par Xla variable aléatoire associant à chacun de ces élèves sa taille en cm. On rencontre au hasard un élève de ce lycée.
1. Calculer la probabilité que cet élève ait une taille comprise entre 1,66m et 1,82m.
2. Calculer la probabilité que cet élève mesure moins de 1,82m sachant qu’il est plus grand que sa soeur dont la taille est 1,66m.
Exercice 7 : Une étude effectuée par un chercheur a montré que l’âge auquel apparaissent les premiers mots de vocabulaire chez
un enfant pris au hasard dans la population peut se modéliser par une variable aléatoire suivant une loi normale d emoyenne 11,5
mois et d’écart type 3,2 mois.
1. Calculer la probabilité qu’un enfant de cette population ait prononcé ses premiers mots
(a) avant d’avoir eu 10 mois,
(b) après avoir fêté ses 18 mois,
(c) dans le cours de son 12ème mois.
2. Déterminer l’âge auquel la probabilité qu’un enfant n’ait encore prononcé aucun mot devient inférieur à 0,25.
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Exercice 8 : On admet que pour une personne prise au hasard, le temps moyen Tpassé devant la télé chaque jour peut se
modéliser par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 3 heures et d’écart type 45 minutes.
1. Déterminer la probabilité des événements
a) T < 2 b) T > 3,5 c) 1,75 < T < 3,75
2. Déterminer les trois nombres a1,a2et a3tels que
P(T < a1) = P(a1< T < a2) = P(T > a3) = 0,25
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Exercice 9 : Loi Binomiale et Loi Normale.
Dans un certain vignoble, on admet que la probabilité qu’un pied de vigne soit atteint d’une maladie est 0,4. On observe 600
pieds de vigne choisis au hasard dans ce vignoble (le vignoble est suffisamment important pour considérer qu’il s’agit de tirages
avec remise) ; on désigne par Xla variable aléatoire qui donne le nombre de pieds observés atteints par la maladie.
1. Quelle est la loi de probabilité de X?
(a) Calculer l’espérance et l’écart type de X.
(b) Calculer, à l’aide de la calculatrice, la probabilité des événements suivants
a) 240 < X < 252 b) X≥232 c) X≤264
2. On admet que le nombre de pieds malades peut aussi être approché par une variable aléatoire Ysuivant la loi normale de
moyenne µ= 240 d’écart type σ= 12.
(a) En utilisant cette approximation, calculer les probabilités des trois événements de la question 1b)
(b) Comparer.
Exercice 10 : D’après BAC.
Une grande enseigne de cosmétique lance une nouvelle crème hydratante. Cette enseigne souhaite vendre le nouvelle crème sous
un conditionnement de 50mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale 55mL.
On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de 49mL de crème.
1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une
variable aléatoire Xqui suit une loi normale d’espérance µ= 50 et d’écart type σ= 1,2. Calculer la probabilité qu’un pot
de crème soit non conforme.
2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité d ela crème, on peu
changer la valeur de l’écart type d ela variable aléatoire X, sans modifier son espérance µ= 50.
On veut réduire de 0,06 la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.
On note σ′le nouvel écart type, et Zla variable aléatoire égale à X−50
σ′.
(a) Préciser la loi que suit la variable aléatoire Z.
(b) Déterminer une valeur approchée du réel utel que P(Z≤u) = 0,06.
(c) En déduire la valeur attendue de σ′.
3. Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème. On considère que le travail sur la viscosité de la
crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est 0,06.
Soit Yla variable aléatoire correspondant au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus.
(a) On admet que Ysuit une loi binomiale, en donner les paramètres.
(b) Calculer la probabilité que la boutique reçoive moins de deux pots non conformes.
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