probabilités 1 - Les Tutos Maths

PROBABILITÉS 1
Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10!! près.
Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.
Partie A : Conditionnement des pots
Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50mL et dispose pour ceci
de pots de contenance maximale 55mL.
On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de 49mL de crème.
1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue
dans chaque pot par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance 𝜇 = 50 et d’écarttype 𝜎 = 1,2.
Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante.
En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire
𝑋, sans modifier son espérance 𝜇 = 50. On veut réduire à 0,06 la probabilité qu’un pot choisi au
hasard soit non conforme.
! !!"
On note 𝜎′ le nouvel écart-type, et 𝑍 la variable aléatoire égale à !
!
a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire 𝑍.
b. Déterminer une valeur approchée du réel 𝑢 tel que 𝑝 𝑍 ≤ 𝑢 = 0,06.
c. En déduire la valeur attendue de 𝜎′.
3. Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème.
On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que
la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est 0,06.
Soit 𝑌 la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus.
a. On admet que 𝑌 suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux
pots non conformes.
Partie B : Campagne publicitaire
Une association de consommateurs décide d’estimer la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation
de cette crème.
Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur 140 personnes interrogées, 99 se
déclarent satisfaites.
Estimer, par intervalle de confiance au seuil de 95%, la proportion de personnes satisfaites parmi les
utilisateurs de la crème.
Baccalauréat S Amérique du Nord Exercice 1 : 5 points 30 mai 2014 1 PROBABILITÉS 1
CORRIGÉS
1°) Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans
chaque pot par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance µ = 50 et d’écart-type σ = 1,2.
Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
D’après l’énoncé : « un pot de crème est non conforme s’il contient moins de 49mL de crème. », on
demande donc de calculer 𝑝(𝑋 ≤ 49).
y½ et choisir
Une boite de dialogue apparait, on complète les champs :
borninf : Etant donné que 𝑋 ≤ 49 la borne
inférieure est −∞ on va entrer −1𝐸99 (c'est-à-dire
−10!! qui correspond à −∞ pour la calculatrice).
bornsup : La borne supérieure est 49.
𝜇 correspond à la moyenne, soit 50.
𝜎 correspond à l’écart type, soit 1,2.
On valide en appuyant sur Í lorsque votre curseur est
sur Coller. On obtient le résultat suivant :
L’énoncé nous demande des résultats à 10!! près donc on écrit sur notre copie :
𝑝 𝑋 ≤ 49 = 0,202 à 10!! près.
2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante.
En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire 𝑋,
sans modifier son espérance µ = 50. On veut réduire à 0,06 la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit
non conforme.
! !!"
On note 𝜎′ le nouvel écart-type, et 𝑍 la variable aléatoire égale à !
!
a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire 𝑍.
𝑋 suit une loi normale de paramètre 𝜇 = 50 et d’écart type 𝜎′. Donc d’après le cours 𝑍 =
loi normale centrée réduite.
Baccalauréat S Amérique du Nord Exercice 1 : 5 points ! !!"
!!
suit une
30 mai 2014 2 PROBABILITÉS 1
b. Déterminer une valeur approchée du réel 𝑢 tel que 𝑝 𝑍 ≤ 𝑢 = 0,06.
Il faut utiliser la calculatrice pour trouver la valeur de 𝑢 :
y½ et on choisit
Une boite de dialogue apparait, on complète les champs :
aire : Correspond à la probabilité : 0,06 (l’aire
délimitée par la densité correspond à une
probabilité).
𝝁 vaut 0 et : vaut 1 car 𝑍 suit une loi normale
centrée réduite.
On trouve donc 𝑢 = −1,555 à 10!! près.
c. En déduire la valeur attendue de σ′.
On cherche 𝜎′ tel que 𝑝 𝑋 ≤ 49 = 0,06 ⇔ 𝑝
et donc 𝑝 𝑍 ≤ −
!
!!
!!!"
!!
≤
!"!!"
= 0,06 ⇔ 𝑝
!!
!!!"
!!
≤−
!
!!
= 0,06
= 0,06.
D’après la question b. on obtient −
!
!!
= −1,555 soit 𝜎 ! =
!
!,!!!
= 0,643 à 10!! près.
3. Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème.
On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la
proportion de pots non conformes dans l’échantillon est 0,06.
Soit 𝑌 la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus.
a. On admet que 𝑌 suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
La probabilité qu’un pot soit non conforme est 0,06 ce qui correspond à la probabilité du succès dans
le schéma de Bernoulli. L’épreuve est répétée 50 fois donc les paramètre de la loi binomiale suivie
par 𝑌 sont 𝑝 = 0,06 et 𝑛 = 50.
Baccalauréat S Amérique du Nord Exercice 1 : 5 points 30 mai 2014 3 PROBABILITÉS 1
b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots
non conformes.
On cherche 𝑝(𝑌 ≤ 2), on va utiliser notre calculatrice pour trouver ce résultat :
y½ et on choisit
Une boite de dialogue apparait, on complète les champs :
nbreEssais : Correspond au nombre de fois où
on répète l’expérience : 50.
𝒑 est la probabilité d’un succès du schéma de
Bernoulli. Ici 𝑝 = 0,06.
Valeur de x : correspond à la valeur de 𝑌 soit 2.
On trouve :
Ainsi 𝑝 𝑌 ≤ 2 = 0,416 à 10!! près.
Baccalauréat S Amérique du Nord Exercice 1 : 5 points 30 mai 2014 4 PROBABILITÉS 1
Partie B : Campagne publicitaire
Une association de consommateurs décide d’estimer la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation
de cette crème.
Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur 140 personnes interrogées, 99 se
déclarent satisfaites.
Estimer, par intervalle de confiance au seuil de 95%, la proportion de personnes satisfaites parmi les
utilisateurs de la crème.
Soit 𝑓 la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de cette crème sur les 140 personnes
!!
interrogées. D’après l’énoncé 𝑓 =
.
!"#
𝑛 = 140 donc 𝑛 > 30, 𝑛𝑓 = 99 donc 𝑛𝑓 > 5 et 𝑛 1 − 𝑓 = 41 donc 𝑛 1 − 𝑓 > 5, ainsi d’après le cours,
l’intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de cette
crème est 𝑓 −
!
!
;𝑓 +
!
!
=
!!
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−
!
;
!!
!"# !"#
+
!
!"#
soit 0,622; 0,792 .
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