Séance II. Interpolation polynomiale de Lagrange. Ex. 1. Expliciter la

Polytech Nice/MAM3
Analyse Numérique -1
2015/2016
Séance II. Interpolation polynomiale de Lagrange.
Ex. 1. Expliciter la base de polynômes d’interpolation de Lagrange construite à l’aide des points :
x0 = −1, x1 = 0, x2 = +1, x3 = +2
En déduire un polynôme P de degré minimal tel que :
P (−1) = −6, P (0) = 1, P (1) = 2, P (2) = −3
Quelle est la forme de tous les polynômes vérifiant cette propriété ?
Ex. 2. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange de f (x) = 2x , basé sur les points
x0 = −1, x1 = 0, x2 = +1,
puis en ajoutant x3 = +2
√
En déduire pour chacun des cas une approximation de 2, et comparer les erreurs commises.
Ex. 3. On suppose qu’un polynôme P interpole une fonction f sur un ensemble de points donné.
La dérivée P 0 de ce polynôme est-elle en général un interpolant de f 0 ?
Justifier votre réponse à l’aide d’exemples.
Ex. 4. Proposer un algorithme pour l’évaluation d’un polynôme de degré N donné par
P (X) =
i=N
X
ai X i
i=0
Que donne l’algorithme suivant (dit de Horner) comme résultat final exprimé en fonction de Z :
— initialisation : bN = aN
— Pour i = N − 1, ..., 0 faire : bi = bi+1 Z + ai
Déterminer son coût en opérations élémentaires.
Ex. 5. Soit P un polynôme donné par P (x) = a0 + a1 x + ... + an xn , et soit x0 un réel donné.
L’algorithme de Horner permet de calculer la valeur b0 = P (x0 ) par :
bn = an ,
bi = ai + x0 bi+1 , i = n − 1, ..., 1, 0.
Notons Q(x) = b1 + b2 x + ... + bn xn−1 .
5.1 Montrer que P (x) = b0 + (x − x0 )Q(x) et que P 0 (x0 ) = Q(x0 ).
(Remarquer que, par Hörner, on a : x0 bj = bj−1 − aj−1 1 ≤ j ≤ n)
5.2 Proposer un algorithme de Hörner pour calculer P (x0 ) et P 0 (x0 ) en même temps.