M3 i1 Cours n°6 Support écrit 5 pages

Mathématiques 3ème « Les indispensables 1 » – COURS 6 – SAVOIR BIEN CALCULER – PAGE 1/5
Racines carrées
Rappels sur le carré d’un nombre : Pour calculer le carré d’un nombre b, il suffit de
multiplier ce nombre par lui-même. On utilise la notation b2 pour désigner le carré de b.
Ainsi, on a :
b2 = b x b
Si le nombre b est positif alors on peut représenter graphiquement le carré de b ainsi :
Exemples : (petits dessins en dessous)
62 =Le nombre b2 désigne donc l’aire
112 = du carré de côté b.
102 =
Voyons maintenant ce qu’est la racine carrée d’un nombre a.
Exemples :
√9
car
√81
et
√49
√121
0,25
√0,0001
√ 25
car
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Définition : Soit a un nombre positif. Le nombre positif qui mis au carré donne a est appelé
racine carrée de a. La racine carrée de a est notée √ . On a donc :
√
Le symbole √
=
autrement dit √
× √ =
s’appelle le radical.
Exemples : √7 × √7 =
√19
=
Remarque : Si un nombre est dans la table des carrés, on dit que c’est un carré parfait et on a bien
sûr l’égalité √
=
avec a positif.
Exemple :
Tableau des racines carrées des douze premiers carrés parfaits (à savoir par cœur)
a
√
1
4
9
16
25
36
…
…
…
…
…
…
………………………………………………………………………………………………………………………
Il est fondamental pour la suite de l’étude des racines carrés de connaitre tous ces carrés parfaits par
cœur !!!
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Utilisation de la calculatrice pour déterminer la racine carrée d’un nombre
On va commencer par chercher √256
Calculatrices ayant une touche spéciale pour le
radical √
Exemples :
Casio fx collège new +
Il suffit de taper : √ 256 =
Calculatrices où la racine carrée est combinée
avec la touche
Casio FX 92 collège 2D
Exemples :
Il faut alors taper : shift x2 256 =
La touche shift étant en haut à gauche
TI Collège
Il faut alors taper : 2nde x2 256 =
La touche 2nde étant en haut à gauche
Dans tous les cas, tu dois trouver √256 = 16
A toi d’utiliser correctement ta calculatrice pour trouver les résultats de :
√625
√2025
√529
533,61
Dans tous ces exemples, on obtient avec la calculatrice des nombres entiers ou avec un nombre fini
de chiffres après la virgule, on a donc une valeur exacte de la racine du nombre que l’on a calculée.
Ce ne sera pas le cas tout le temps, en effet :
A la calculatrice, on obtient : √2
1,414213562
Remarque : sur les nouveaux modèles de calculatrice, il y a une distinction entre = et , par exemple
sur la casio fx 92 spéciale collège la touche exe correspond à = et si on veut une valeur décimale
approchée on fait touche seconde à gauche puis exe. A toi d’apprivoiser ta propre calculatrice avec le
mode d’emploi.
Application : si on veut calculer le périmètre d’un triangle rectangle isocèle de coté 1 :
On donnera la valeur exacte du résultat (écrite à l’aide d’un
radical) puis une valeur approchée du résultat à 0,01 près.
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Calculs de fractions avec puissances :
Continuons les révisions de calculs avec des fractions :
Dans une écriture fractionnaire, les calculs au numérateur et au dénominateur sont
prioritaires avant d’effectuer
1 le quotient (marqué par la barre de fraction).
2 Puissances
A l’intérieur de ces numérateurs
et dénominateurs, on respectera l’ordre habituel des
3
Multiplications
opérations appris en quatrième, à savoir : et divisions
4 Additions et soustractions (raisonner comme si on avait des
1
Parenthèses
additions de nombres
relatifs).
2
Puissances (dont carrés et cubes)
3
Multiplications et divisions
4
Additions et soustractions
Remarque : pour les additions et les
soustractions, on raisonnera comme si on
additionnait des nombres relatifs.
−
−
×
× #
×
×
=
$
÷
=
+
=
% − & ÷% & =
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Partie exercices :
Exercice 1 :
Donne tous les carrés parfaits entre 9 et 64 :
Réponds par vrai ou faux pour chaque égalité et justifie ta réponse :
1) √16 = 4 '( − 4 suivant les cas.
2) √1111111111111111111 × √1111111111111111111 = 1111111111111111111
3) √−81 = −9
4) √49 = 7
5)
124 789 354 654 = 124 789 354 654
Exercice 2 : Calcule et simplifie le plus possible le résultat.
+ )%− & +
#
*=
5 + %1 + +& ÷ =
+ 5 ÷ %1 − & =
$
=