Racines carrées Calculs avec des radicaux

Cours Travaux Numériques en 3
ème
– L5 Racines carrées
Calculs avec des radicaux
I. Racine carrée d’un nombre positif
1) Définition
x étant un nombre positif, la racine carrée de x, c’est le nombre positif qui, mis au carré, donne x.
La racine carrée de x se note x .
→ Ex : 3² = 9 ; donc la racine carrée de 9 est 3. On écrit 9 = 3.
Attention : (− 3)² = 9, mais la racine de 9 doit être un nombre positif ! Ce n’est pas − 3 !
49 = 7 car 7² = 49
1 = 1 et 0 = 0
6,25 = 2,5 car 2,5² = 6,25
1000 ≈
≈≈
≈ 31,6, c’est une valeur approchée.
Attention : 1000 ≠
≠≠
≠ 31,6 car 31,6² = 998,56 !
2) Remarques :
- un nombre négatif n’a pas de racine carrée.
- Le symbole s’appelle un radical ; ce symbole sous-entend des parenthèses.
→ Ex : 25 × 4 = 100 = 10
25 × 4 = 5 × 4 = 20
- Seuls les carrés parfaits ont une racine carrée entière :
Liste des carrés parfaits x :
x 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 …
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
- Si x est positif :
( )
x ² = x² = x
→ Ex : ( 9 )² = 9² En effet, ( 9 )² = 3² = 9 et 9² = 81 = 9 × 4 = 100 = 10
- Si x est négatif : ( – 3 )² n’existe pas et (– 3)² = 9 = 3
3) Propriété :
- Si 2 nombres positifs ont le même carré, alors ils sont égaux.
Autrement dit : si x et y sont positifs et si x² = y², alors x = y.
II. Calculs avec des racines carrées
1) Produit de racines carrées
Si a et b sont des nombres positifs, on a : a × b = a × b

→ Ex : 2 × 3 = 2 × 3 = 6
72 × 2 = 72 × 2 = 144 = 12
Application pour simplifier une racine carrée (extraire des carrés parfaits) :
→ Ex : Comment simplifier 147 ?
On cherche comment écrire 147 sous forme d’un produit de 2 facteurs, le premier étant un
carré parfait, le plus grand possible ; on trouve 147 = 49 × 3
Donc 147 = 49 × 3 = 49 × 3 = 7 3
→ Ex : 48 = 16 × 3 = 16 × 3 = 4 3
Exercice type de brevet :
Soit A l’expression suivante : A = 363 + 2 147 − 5 48 .
Simplifier l’écriture de A en la mettant sous la forme a b , b étant un nombre positif le plus petit possible.
A = 363 + 2 147 − 5 48
= 121 × 3 + 2 × 49 × 3 − 5 × 16 × 3 On fait apparaître sous chaque radical un carré parfait
= 121 × 3 + 2 × 49 × 3 − 5 × 16 × 3 On décompose les racines carrées
= 11 × 3 + 2 × 7 × 3 − 5 × 4 × 3 On calcule les racines sur les carrés parfaits
= 11 × 3 + 14 × 3 − 20 × 3
= (11 + 14 − 20) × 3 On factorise car 3 est un facteur commun
= 5 × 3
= 5 3 On donne le résultat attendu, sous forme simplifiée
Autre exemple à traiter :
Soit B l’expression suivante : B = 7 80 − 5 − 2 405 .
Réponse, à retrouver : B = 9 5
2) Quotient de racines carrées
Si a et b sont des nombres positifs, et si b est non nul, on a : a
b = a
b
→ Ex : 12
3 = 12
3 = 4 = 2 50
2 = 50
2 = 25 = 5
36
16 = 36
16 = 6
4 = 3 2 81 3 = 81
3 = 9 3
Important : Par habitude, on ne laisse pas un radical au dénominateur :
→ Ex : 9
3 = 9 × 3 3 × 3 = 9 × 3
3 = 3
(Pour faire disparaître 3 au dénominateur, on multiplie par 3 car 3 × 3 = 3)
→ Ex : 6
12 = 6 × 12
12 × 12 = 6 12
12 = 12 2 = 4 × 3 2 = 2 3 2 = 3
(Pour faire disparaître 12 au dénominateur, on multiplie par 12 car 12 × 12 = 12)