Racines carrées Calculs avec des radicaux Cours Travaux Numériques en 3ème – L5 I. Racine carrée d’un nombre positif 1) Définition x étant un nombre positif, la racine carrée de x, c’est le nombre positif qui, mis au carré, donne x. La racine carrée de x se note x . → Ex : 3² = 9 ; donc la racine carrée de 9 est 3. On écrit 9 = 3. Attention : (− 3)² = 9, mais la racine de 9 doit être un nombre positif ! Ce n’est pas − 3 ! 49 = 7 car 7² = 49 1 = 1 et 0 = 0 6,25 = 2,5 car 2,5² = 6,25 1000 ≈ 31,6, c’est une valeur approchée. Attention : 1000 ≠ 31,6 car 31,6² = 998,56 ! 2) Remarques : - un nombre négatif n’a pas de racine carrée. - Le symbole s’appelle un radical ; ce symbole sous-entend des parenthèses. → Ex : 25 × 4 = 100 = 10 25 × 4 = 5 × 4 = 20 - Seuls les carrés parfaits ont une racine carrée entière : Liste des carrés parfaits x : x x 0 0 1 1 4 2 9 3 16 4 25 5 36 6 49 7 64 8 - Si x est positif : ( x )² = x² = x → Ex : ( 9 )² = 9² En effet, ( 9 )² = 3² = 9 et 81 9 100 10 121 11 144 12 169 13 196 14 9² = 81 = 9 × 4 = 100 = 10 - Si x est négatif : ( – 3 )² n’existe pas et (– 3)² = 9 = 3 3) Propriété : - Si 2 nombres positifs ont le même carré, alors ils sont égaux. Autrement dit : si x et y sont positifs et si x² = y², alors x = y. II. Calculs avec des racines carrées 1) Produit de racines carrées Si a et b sont des nombres positifs, on a : a × b = a × b 225 15 … … → Ex : 2× 3 = 2×3 = 6 72 × 2 = 72 × 2 = 144 = 12 Application pour simplifier une racine carrée (extraire des carrés parfaits) : → Ex : Comment simplifier 147 ? On cherche comment écrire 147 sous forme d’un produit de 2 facteurs, le premier étant un carré parfait, le plus grand possible ; on trouve 147 = 49 × 3 Donc 147 = 49 × 3 = 49 × 3 = 7 3 → Ex : 48 = 16 × 3 = 16 × 3 = 4 3 Exercice type de brevet : Soit A l’expression suivante : A = 363 + 2 147 − 5 48 . Simplifier l’écriture de A en la mettant sous la forme a b , b étant un nombre positif le plus petit possible. A = 363 + 2 147 − 5 48 = 121 × 3 + 2 × 49 × 3 − 5 × 16 × 3 = 121 × 3 + 2 × 49 × 3 − 5 × 16 × 3 = 11 × 3 + 2 × 7 × 3 − 5 × 4 × 3 = 11 × 3 + 14 × 3 − 20 × 3 = (11 + 14 − 20) × 3 =5× 3 =5 3 On fait apparaître sous chaque radical un carré parfait On décompose les racines carrées On calcule les racines sur les carrés parfaits On factorise car 3 est un facteur commun On donne le résultat attendu, sous forme simplifiée Autre exemple à traiter : Soit B l’expression suivante : B = 7 80 − 5 − 2 405 . Réponse, à retrouver : B = 9 5 2) Quotient de racines carrées Si a et b sont des nombres positifs, et si b est non nul, on a : → Ex : 12 = 3 12 = 4 =2 3 36 36 6 3 = = = 16 16 4 2 50 = 2 a = b a b 50 = 25 = 5 2 81 81 9 = = 3 3 3 Important : Par habitude, on ne laisse pas un radical au dénominateur : 9 9× 3 9× 3 → Ex : = = =3 3 3 3 × 3 (Pour faire disparaître 3 au dénominateur, on multiplie par 3 car 3 × 3 = 3) 6 6 × 12 6 12 12 4×3 2 3 = = = = = = 3 12 2 2 2 12 12 × 12 (Pour faire disparaître 12 au dénominateur, on multiplie par 12 car 12 × 12 = 12) → Ex :