Propriété 3
Il faut faire attention à la simplification de la racine carrée d’un carré :
FSi a≥0alors √a2=a.
FSi a≤0alors √a2=−a.
Exemple 6
voici deux exemples, un pour chaque cas :
zp7,42=√7,4×7,4 = √7,4×√7,4 = 7,4.
zp(−4,2)2=p(−4,2) ×(−4,2) = √4,2×4,2 = √4,2×√4,2 = 4,2.
Remarque 2
Quel que soit le nombre a, on a √a2=|a|où |a|désigne la valeur absolue du nombre a.
Propriété 4
Soit aun nombre fixé. L’équation x2=aadmet :
F2 solutions si a > 0.S={√a;−√a}.
F1 solution si a= 0.S={0}.
Faucune solution si a < 0.S=∅.
Démonstration 1
Soit aun nombre fixé. Résolvons l’équation x2=aselon le signe du nombre a:
FSupposons a > 0.
x2=a⇔x2−a= 0 ⇔x2−√a2= 0 ⇔(x−√a)(x+√a) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
Soit x−√a= 0 ⇔x=√a.
Soit x+√a= 0 ⇔x=−√a.
L’ensemble des solutions est donc S={√a;−√a}.
FSupposons a= 0.
x2=a⇔x2= 0 ⇔x= 0.
L’ensemble des solutions est S={0}.
FSupposons a < 0.
x2=a⇒x2<0:IMPOSSIBLE ! Un carré n’est jamais négatif.
Il n’y a donc pas de solutions, S=∅.
3 Avec ou sans calculatrice
3.1 Sans la calculatrice
Sans calculatrice, on peut quand même calculer une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre.
On procède de la manière suivante : prenons pour exemple le calcul de la valeur approchée de √19111980 :
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