Racine carrée

Collège Elie COUTAREL
Année 2009-2010.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec LATEX
Racines carrées
1
Définition
Définition 1
√
On appelle racine carrée du nombre a supérieur ou égal à 0, noté a , le nombre positif dont le carré est a.
Si a ≥ 0 alors
¡√ ¢2 √ 2
a = a =a
Exemple
√ 1
F 9 = 3 car 32 = 9.
√
F 0, 16 = 0, 4 car 0, 42 = 0, 16.
√
F 0 = 0 car 02 = 0.
√
F 1 = 1 car 12 = 1.
√
F −32 : IMPOSSIBLE ! ! On ne peut extraire (ou calculer) que la racine carrée d’un nombre positif.
Remarque 1
Peut-on calculer facilement comme dans les exemples précédents la racine carrée de n’importe quel nombre positif ?
Le résultat sera-t-il tout le temps un nombre décimal ou fractionnaire ?
√
La réponse est non pour ces deux questions, pour les carrés dits parfaits le calcul est simple : 169 = 13.
Certaines racines carrées peuvent s’exprimer sous la forme d’un nombre rationnel, mais pour la plus grande partie
√
ce sont des nombres "nouveaux", ce qui explique l’écriture avec le symbole radical .
Exemple 2 √
Montrons que 2 est un nombre irrationnel (c’est à dire qu’il ne peut pas s’écrire sous forme d’une fraction de
nombres entiers).
Pour démontrer celà, on va procéder par ce que l’on appelle un raisonnement par l’absurde, on va supposer le
contraire de ce qe l’on souhaite démontrer, et essayer d’aboutir à une contradiction qui nous permettra d’affirmer
que notre hypothèse est erronée.
√
√
p
2 soit rationnel, c’est-à-dire qu’il existe p et q entiers positifs tels que 2 =
et on peut
q
choisir p et q de sorte que la fraction soit irréductible.
Supposons que
De l’égalité
√
p2
2
p2
p
2 = on a en élevant au carré 2 = 2 ou encore = 2 et donc p2 = 2q 2 .
q
q
1
q
Ainsi p2 est divisible par 2, et nécessairement 2 divise également p (p est donc pair).
On peut donc écrire p = 2r et en élevant au carré on a p2 = 4r2 .
Ainsi :
½
p2 = 2q 2
⇒ 2q 2 = 4r2 ⇒ q2 = 2r2 .
p2 = 4r2
1
Ainsi q 2 est divisible par 2 et nécessairement q est divisible par 2 (q est donc pair).
On peut alors écrire q = 2s.
Ainsi p = 2r et q = 2s donc
2r
p
=
: donc la fraction n’est pas irréductible !
q
2s
CONTRADICTION
L’opération racine carrée se comporte comme une puissance, on a donc les propriétés suivantes :
2
Propriétés
Propriété 1
Si a ≥ 0 et b ≥ 0 alors
√
√ √
ab = a b
Exemple 3
Simplification d’écriture (on essaie de factoriser avec un carré parfait) :
√
√
√
√
√
z 32 = 16 × 2 = 16 × 2 = 4 2.
√
√
√
z 2 × 3 = 6.
√
√ √
√
√
√
√
√
z 2 × 6 = 2 × 2 × 3 = | 2 {z
× 2} × 3 = 2 3.
2
√
√
√
√
√
z 60 = 4 × 15 = 4 × 15 = 2 15.
√
√
√
√
√
z 80 = 5 × 16 = 5 × 16 = 4 5.
Exemple 4
Simplification d’écriture (on arrive pas à trouver de carrés parfaits) :
On décompose le nombre dont on veut la racine carrée sous forme de facteurs premiers.
√
√
√
√
√
√
F √3 360 = √10 × 336 = 2 × 5 × 336 = √
2 × 5 × 3 × 112 = 2 × 5 × 3 × 2√× 56 = 2 × 5 × 3 × 2 × 2 × 28
2 × 2√
× 14 √
= 2√
× 5 ×√
3 × 2 × 2√
× 2 ×√
2 × 7√
= 2 × 2√
×2×2×2×3×5×7
√ 2 ×√
√3 360 = √2 × 5√× 3 ×
3 360 = | 2 {z
× 2} × | 2 {z
× 2} × 2 × 3 × 5 × 7 = 4 × 3 × 5 × 7 = 4 × 3 × 5 × 7
2
2
√
√
3 360 = 4 105 .
√
√
√
√
√
√ √
√
√
√
√
F 720 = 10 × 72 = 2 × 5 × 9 × 8 = 2 × 5 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 = | 2 {z
× 2} × | 2 {z
× 2} × | 3 {z
× 3} × 5
2
2
3
√
√
720 = 4 × 9 × 5
√
√
720 = 36 5 .
Propriété 2
r
Si a ≥ 0 et b ≥ 0 alors
Exemple 5
Simplification d’écriture :
r
√
6
6 √
= 3.
z √ =
2
2
r
√
√
3
3
3
z
=√ =
.
4
2
4
2
√
a
a
= √
b
b
Propriété 3
Il faut faire attention à la simplification de la racine carrée d’un carré :
√
F Si a ≥ 0 alors a2 = a.
√
F Si a ≤ 0 alors a2 = −a.
Exemple 6
voici deux exemples, un pour chaque cas :
p
√
√
√
z 7, 42 = 7, 4 × 7, 4 = 7, 4 × 7, 4 = 7, 4.
p
p
√
√
√
z (−4, 2)2 = (−4, 2) × (−4, 2) = 4, 2 × 4, 2 = 4, 2 × 4, 2 = 4, 2.
Remarque 2
√
Quel que soit le nombre a, on a a2 = |a| où |a| désigne la valeur absolue du nombre a.
Propriété 4
Soit a un nombre fixé. L’équation x2 = a admet :
√
√
F 2 solutions si a > 0. S = { a; − a}.
F 1 solution si a = 0. S = {0}.
F aucune solution si a < 0. S = ∅.
Démonstration 1
Soit a un nombre fixé. Résolvons l’équation x2 = a selon le signe du nombre a :
F Supposons a > 0.
√ 2
√
√
x2 = a ⇔ x2 − a = 0 ⇔ x2 − a = 0 ⇔ (x − a)(x + a) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
√
√
Soit x − a = 0 ⇔ x = a.
√
√
Soit x + a = 0 ⇔ x = − a.
√
√
L’ensemble des solutions est donc S = { a; − a}.
F Supposons a = 0.
x2 = a ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0.
L’ensemble des solutions est S = {0}.
F Supposons a < 0.
x2 = a ⇒ x2 < 0 : IMPOSSIBLE ! Un carré n’est jamais négatif.
Il n’y a donc pas de solutions, S = ∅.
3
3.1
Avec ou sans calculatrice
Sans la calculatrice
Sans calculatrice, on peut quand même calculer une valeur approchée de la racine carrée d’un
√ nombre.
On procède de la manière suivante : prenons pour exemple le calcul de la valeur approchée de 19111980 :
3
Voici les différentes étapes :
1. On sépare de radicande en tranches de deux en partant des unités, puis on cherche le carré parfait inférieur
ou égal le plus proche du nombre le plus à gauche (ici 19).
Le carré parfait le plus proche de 19 est 16 = 42 , on marque donc 4 dans la partie valeur approchée et on
écrit le reste (19-16=3) sous 19, puis on abaisse la tranche suivante (qui est 11).
2. On prend la valeur approchée trouvée sans la virgule éventuelle (ici 4) que l’on multiplie par 2 (donc ici 8)
et on cherche le chiffre ¤ tel que 8¤ × ¤ soit le plus proche possible du nombre descendu du radical (ici 311)
tout en étant inférieur ou égal.
Ici ¤ = 3 car 83 × 3 = 249 ≤ 311 et 84 × 4 = 336 > 311.
Ceci fait on place le nombre ¤ (ici 3) trouvé dans la partie valeur approchée et le reste (311-249=62) sous
311 et on abaisse la tranche suivante.
3. On réitère le point 2.
En baissant les deux 0, on place la virgule et on poursuit le processus.
Et voici la dernière image qui donne la troncature au centième :
Ainsi
√
19 111 980 ≈ 4371, 7.
4
Exemple 7
Calculez la valeur approchée au centième des nombres suivants :
√
F 2.
√
F 3.
√
F 5.
3.2
Avec la calculatrice
Sans utiliser la touche
√
de la calculatrice, on peut en un nombre d’étapes assez court avoir une très bonne
valeur approchée de la racine carrée.
Pour cela, on va utiliser la mémoire de la calculatrice.
Les calculatrices modernes gardent en mémoire le résultat du dernier calcul, ce nombre est accessible par la touche
Ans (qui signifie answer).
√
Par exemple calculons comme précédemment 19111980.
1. Tout d’abord tapons la séquence de touche suivante (sur casio fx-92 2D dans cet exemple) :
1 9 1 1 1 9 8 0 EXE
Cette étape permet d’initialiser la mémoire de la calculatrice au nombre pour lequel on souhaite calculer la
racine.
19111980
Ans +
Ans
2. Maintenant il suffit de faire calculer successivement le nombre définit par
:
2
( Ans + 1 9 1 1 1 9 8 0 ÷ Ans ) ÷ 2 EXE
On peut aussi taper la séquence de touche suivante si la calculatrice est en mode MthIO (écriture mathématiques en entrée/sortie (IO : input/output)) :
¥
¥
Ans +
1 9 1 1 1 9 8 0 B Ans B B 2 EXE
¤
¤
3. Appuyer sur la touche EXE autant de fois nécessaire pour que le résultat ne varie plus.
Remarque 3
Pour les TI, on accède à la fonction "Ans" par la combinaison de touches :
2nde (-)
La touche EXE est remplacée par la touche = .
Remarque 4
Pour tout nombre strictement positif, cette méthode est extrêmement efficace. Théoriquement, le nombre de décimales exactes double à chaque calcul.
Cette méthode est très facile à programmer sur ordinateur.
Exemple 8
Appliquez cette méthode aux nombres suivants :
√
F 2.
√
F 3.
√
F 5.
5