calcul diff´erentiel

CALCUL DIFF´ ERENTIEL
Table des mati`eres
1 Fonctions d´erivables 2
1.1 Nombre d´eriv´e. Fonction driv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Trois aspects du nombre d´eriv´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Aspect g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Aspect num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Aspect cin´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 D´eriv´ee des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 D´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Th´eor`eme : d´erivabilit´e et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 D´erivation et limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Application de la d´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Th´eor`eme : Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.2 Extr´emum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 D´eriv´ee d’une fonction compos´ee 4
2.1 Th´eor`eme ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Th´eor`eme : d´eriv´ee de la fonction un, n ∈Z∗................................... 5
2.1.2 Th´eor`eme : d´eriv´ee de la fonction √u, u > 0 ................................... 5
2.1.3 Th´eor`eme : d´eriv´ee des fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Fonction tangente 6
3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 ´ Etude de la fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 ´ Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Th´eor`eme : d´eriv´ee de tan(u) ................................................. 7
1

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1 Fonctions d´erivables
1.1 Nombre d´eriv´e. Fonction driv´ee
D´efinitions
Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle I et aun r´eel de I. On note hun r´eel tel que a+hsoit dans I.
– On dit que la fonction fest d´erivable en as’il existe un r´eel Ltel
que lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h=L.
Autrement dit fest d´erivable en asi la limite lorsque htend vers
0 du quotient f(a+h)−f(a)
hexiste et est finie.
Si l’on d´esigne par A et B les points de la repr´esentation gra-
phique de fd’abscisse respective aet a+h, la corde (AB) a pour
coefficient directeur le quotient f(a+h)−f(a)
het la limite de ce
quotient lorsque htend vers 0 est le coefficient directeur de la
tangente `a la courbe au point A, d’abscisse a.
Le r´eel Lest appel´e nombre d´eriv´e de fen a.Il est not´e f′(a).
– On peut alors ´ecrire : f(a+h) = f(a) + h f′(a) + h ϕ(h)
avec lim
h→0ϕ(h) = 0.
a+h
f(a)
f(a+h)
a
A
B
T
O
Cette ´ecriture est appel´ee d´eveloppement limit´e d’ordre 1 de fen a.
– On dit que la fonction fest d´erivable sur l’intervalle I lorsque fest d´erivable en tout r´eel de I. On note f′la fonction d´eriv´ee
de fqui associe `a tout r´eel ade I le nombre d´eriv´e f′(a).
Cette fonction d´eriv´ee f′peut aussi ˆetre not´ee d f
d x , ´ecriture diff´erentielle.
1.2 Trois aspects du nombre d´eriv´e
1.2.1 Aspect g´eom´etrique
Si la fonction fest d´erivable en un r´eel ade I, alors Csa repr´esentation graphique dans un rep`ere donn´e admet au point A de
coordonn´ees (a;f(a)) une tangente dont le coefficient directeur est f′(a).
Une ´equation de la tangente est y=f′(a)(x−a) + f(a).
1.2.2 Aspect num´erique
La fonction h−→ f(a) + f′(a)hest une approximation affine de la fonction h−→ f(a+h) au voisinage de z´ero.
Exemple 1
Si a= 1 : f(1 + h)≃f(1) + f′(1) h
– Si f(x) = x2, f ′(x) = 2x, f (1) = 1, f ′(1) = 2.Et donc f(1 + h)≃1 + 2h, ou (1 + h)2≃1 + 2h.
– Si f(x) = x3, f ′(x) = 3x2, f (1) = 1, f ′(1) = 3.Et donc f(1 + h)≃1 + 3h, ou (1 + h)3≃1 + 3h.
– Si f(x) = 1
x, f′(x) = −1 x2, f(1) = 1, f ′(1) = −1.Et donc f(1 + h)≃1−h, ou 1 1 + h≃1−h.
– Si f(x) = √x, f ′(x) = 1
2√x, f(1) = 1, f ′(1) = 1
2.Et donc f(1 + h)≃1 + 1 2h, ou 1 1 + h≃1 + h 2.
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1.2.3 Aspect cin´ematique
Soit le point M se d´epla¸cant sur un axe selon la loi horaire x=f(t).
x=f(t)x=f(t+h)
M NO
La vitesse moyenne entre les instants tet t+hest : V=f(t+h)−f(t)
h.
La vitesse instantan´ee `a l’instant test : v= lim
h→0
f(t+h)−f(t)
h=f′(t).
1.3 D´eriv´ee des fonctions usuelles
1.3.1 D´eriv´ees
f(x) = f′(x) = fest d´erivable sur
k0R
x1R
1
x−1 x2R∗
xn, n ∈N∗n xn−1R
√x1
2√x]0; +∞[
sin(x) cos(x)R
cos(x)−sin(x)R
tan(x) 1 + tan2(x) = 1
cos2(x)R−nπ 2+kπ, k ∈Zo
1.3.2 Op´erations
Soient uet vdeux fonctions d´erivables sur un intervalle I, kun r´eel.
(u+v)′=u′+v′,(k u)′=k u′,(u v)′=u′v+u v′,u
v′
=u′v−u v′
v2,1 v′
=−v′
v2
1.3.3 Th´eor`eme : d´erivabilit´e et continuit´e
Si une fonction fest d´erivable sur un intervalle I alors elle est continue sur cet intervalle.
D´emonstration 1
Soit aun r´eel de I. On doit montrer que lim
h→0f(a+h) = f(a).
On sait que si fest d´erivable en aalors il existe une fonction ϕtelle que f(a+h) = f(a) + f′(a)h+h ϕ(h)avec lim
h→0ϕ(h) = 0.
Et donc lim
h→0f(a+h) = lim h→0(f(a) + f′(a)h+h ϕ(h)) = f(a).
1.4 D´erivation et limite
Certaines limites que l’on doit d´eterminer font apparaitre le nombre d´eriv´e, soit : f′(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h= lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
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Exemple 2
–lim
x→0
sin x
x.
Nous sommes en pr´esence d’une ind´etermin´ee, puisque lim
x→0sin x= 0.
On peut alors remarquer que lim
x→0
sin x
x= lim
x→0
sin x−sin 0
x−0= (sin(0))′= cos(0) = 1 . D’o`u lim
x→0
sin x
x= 1
–lim
x→1
√x+ 3 −2
x−1.
On pose f(x) = √x+ 3,et on ´ecrit √x+ 3 −2
x−1=√x+ 3 −√1 + 3 x−1=f(x)−f(1) x−1.
D’o`u lim
x→1
√x+ 3 −2
x−1= lim
x→1
f(x)−f(1)
x−1=f′(1).
Or f′(x) = u′
2√uavec u(x) = x+ 3, u′(x) = 1
D’o`u f′(x) = 1
2√x+ 3.Et donc lim
x→1
√x+ 3 −2
x−1=f′(1) = 1 4.
1.5 Application de la d´erivation
Soit fune fonction d´erivable sur un intervalle I de R.
1.5.1 Th´eor`eme : Sens de variation
– Si la fonction d´eriv´ee f′est strictement positive (strictement n´egative) sur I, sauf peut ˆetre pour un nombre fini de r´eels o`u
f′s’annule, alors la fonction fest strictement croissante (d´ecroissante) sur I.
– Si la fonction d´eriv´ee f′est la fonction nulle sur I alors fest constante sur I.
1.5.2 Extr´emum local
Soit cun r´eel de I.
•D´efinition
f(c) est un maximum (minimum) local signifie que pour tout cde I,
f(x)≤f(c) (f(x)≥f(c)).
Un extremum local est un minimum local ou un maximum local.
•Th´eor`eme
fest une fonction d´erivable sur un intervalle ouvert I et cun r´eel de I.
– Si f(c) est un extremum local, alors f′(c) = 0.
– Si f′s’annule en changeant de signe en c, alors f(c) est un extremum local.
c
f(c)
O
2 D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
2.1 Th´eor`eme ROC
gest une fonction d´erivable sur un intervalle J, uest une fonction d´erivable sur un intervalle I et pour tout xde I, u(x) appartient
`a I. La fonction fd´efinie par f(x) = (g◦u) (x) est d´erivable sur I et pour tout xde I, f′(x) = g′[u(x)] ×u′(x).
D´emonstration 2
Il faut montrer que lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h=g′[u(a)] ×u′(a).
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f(a+h)−f(a)
h=g[u(a+h)] −g[u(a)] h=g[u(a+h)] −g[u(a)] u(a+h)−u(a)×u(a+h)−u(a) h
Or lim
h→0
u(a+h)−u(a)
h=u′(a),et la fonction u´etant d´erivable en a, elle est continue en a
d’o`u lim
h→0u(a+h) = u(a)ou lim h→0u(a+h)−u(a) = 0.
Et donc lim
h→0
g[u(a+h)] −g[u(a)]
u(a+h)−u(a)=g′[u(a)].
On obtient lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h= lim
h→0g[u(a+h)] −g[u(a)]
u(a+h)−u(a)×u(a+h)−u(a) h=g′[u(a)] ×u′(a).
2.1.1 Th´eor`eme : d´eriv´ee de la fonction un, n ∈Z∗
Soit uune fonction d´erivable sur un intervalle I et nun entier naturel (n≥2).
La fonction unest d´erivable sur I et (un)′=n un−1u′.
D´emonstration 3
On pose f=g◦u, avec g(x) = xnet donc g′(x) = n xn−1. D’o`u f′(x) = g′[u(x)] ×u′(x) = n[u(x)]n−1×u′(x).
Autrement dit (un)′=n un−1u′.
2.1.2 Th´eor`eme : d´eriv´ee de la fonction √u, u > 0
Soit uune fonction d´erivable et strictement positive sur un intervalle I .
La fonction √uest d´erivable sur I et √u′=u′
2√u.
D´emonstration 4
On pose f=g◦u, avec g(x) = √xet donc g′(x) = 1
2√x. D’o f′(x) = g′[u(x)] ×u′(x) = 1
2pu(x)×u′(x).
Autrement dit √u′=u′
2√u.
2.1.3 Th´eor`eme : d´eriv´ee des fonctions trigonom´etriques
Soit uune fonction d´erivable surR.
Les fonctions sin uet cos(u) sont d´erivables sur Ret (sin(u))′=u′×cos(u),(cos(u))′=−u′×sin(u).
D´emonstration 5
On pose f=g◦u, avec g(x) = sin xet donc g′(x) = cos(x). D’o`u f′(x) = g′[u(x)] ×u′(x) = cos [u(x)] ×u′(x).
Autrement dit (sin u)′=u′×cos(u).
La d´emonstration est identique pour (cos(u))′=−u′×sin(u).
Exemple 3
–f(x) = (x2+ 3)4, f =u4, u(x) = x2+ 3, u′(x) = 2x, f′= 4u3×u′= 4(x2+ 3)3×2x= 8x(x2+ 3)3
–g(x) = px2+ 5, g =√u, u(x) = x2+ 5, u′(x) = 2x, g′=u′
2√u=2x
2√x2+ 5 =x
√x2+ 5
–h(x) = cos x3, h = cos(u), u(x) = x3, u′(x) = 3x2, h′=−u′×sin(u) = −3x2sin(x3)
Analyse 2 Page 5 Francis Rignanese