Primitives d`une fonction

TERMINALE S
chapitre : Primitives d’une fonction
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touchapprimitiv 1/3
Notion de primitive
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F
dérivable sur I, telle que pour tout x de I, F’(x) = f(x).
Exemple : soit f définie sur R par f(x) = 3x² – 1. Une primitive F de f sur I est F(x) = x3 - x
Théorème :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors f admet
une infinité de primitives, toutes de la forme F(x) + k où k est un réel quelconque.
Démonstration :
F est dérivable et F’(x) = f(x). Soit la fonction G(x) = F(x) + k, G est dérivable sur I et on a
G’(x) = F’(x) + 0 = F’(x), donc G est une primitive de f sur I.
Réciproquement, si G est une autre primitive de f sur I, alors G’(x) = f(x) = F’(x) d’où
G’(x) – F’(x) = 0 c'est-à-dire que la dérivée G’ – F’ est nulle donc que G – F est constante sur
I. Ainsi, G(x) – F(x) = k et donc G(x) = F(x) + k
Exemple : soit f définie sur R par f(x) = 3x² – 1. Une primitive F de f sur I est F(x) = x3 – x et
une autre primitive est G(x) = x3 – x + 7
Propriété
Soit f une fonction qui admet des primitives sur I. Soit x0 un réel donné de I et y0 un réel
quelconque, alors il existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x0) = y0
Démonstration :
Si F est une primitive de f sur I, toute autre primitive G est définie par G(x) = F(x) + k, avec k
réel. Or G (x0) = y0 équivaut à G (x0) = F(x0) + k = y0 soit encore à k = y0 - F(x0). La valeur de
k est unique, CQFD.
Exemple : soit f définie sur R par f(x) = 3x² – 1. Déterminer la primitive F de f sur I, telle que
F(-1) = 2.
Une primitive de f est F(x) = x3 – x, toutes les autres sont de la forme F(x) = x3 – x + k.
F(-1) = 2 équivaut à -1 – (-1) + k = 2 d’où k = 2.
La primitive cherchée est F(x) = x3 – x + 2
PRIMITIVE
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soit a un réel de I alors la fonction F définie
sur I par F(x) = 
axf(t) dt est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.
Démonstration :
Soit f une fonction continue et croissante sur un intervalle I, soit x0 un réel de I et h un réel non nul tel x0 + h est
dans I alors F est définie sur I et on a :

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touchapprimitiv 2/3
F(x0 + h) – F(x0) = 
ax0+hf(t) dt -  ax0f(t) dt =  x0
x0+h f(t) dt (Chasles)
Comme f est croissante sur I, si h > 0, alors f(x0)  f(t)  f(x0 + h)
En utilisant l’inégalité de la moyenne f(x0)  1
h 
x0
x0+h f(t) dt  f(x0 + h)
Soit encore f(x0)  F(x0 + h) – F(x0 )
h  f(x0 + h)
Et si h < 0 on obtient : f(x0 + h)  F(x0 + h) – F(x0 )
h  f(x0)
Or f est continue en x0 donc lim
h0 f( x0 + h) = f( x0). On en déduit que F est dérivable en x0 de dérivée F’(x0) =
f(x0). Comme x0 appartient à I, F est dérivable sur I et F’ = f donc F est une primitive de f sur I.
F(a) = 0 donc F est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.
Exemples
E1 : avec la fonction ln
La fonction t  1
t est continue sur ]0;+[.
L’unique primitive de cette fonction qui s’annule en 1 est la fonction ln.
Pour x > 0, ln (x) = 
1x 1
t dt
E2 : Calcul de 
1e ln(x)
x dx
Soit f(x) = ln(x)
x définie sur [1 ; e]. On voit que f est de la forme u’ u avec u(x) = ln(x) et
u’(x) = 1
x Alors une primitive de f sur I est F(x) = u²(x) 2 + k = [ln(x)]² 2 + k
d’où 
1e ln(x)
x dx = 
[ln(x)]²
2 + k 1
e
= … = 1
2
Calcul de primitives
Propriété
Si F et G sont des primitives des fonctions f et g sur I,  un réel, alors
 F + G est une primitive de f + g sur I
 F est une primitive de f sur I.
Démonstration :
 (F + G)’ = F’ + G’ = f + g
 (F)’ = F’ = f

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touchapprimitiv 3/3
Primitives de fonctions usuelles
Fonction f(x) =
Une primitive est F(x) =
Sur l’intervalle I =
k, constante
kx
R
x
x²
2
R
xn et n Z – {-1}
xn + 1
n + 1
R si n  0
]-; 0[ ou ]0; + [ si n < -1
1x
2 x
]0 ;+ [
1
x²
- 1
x
]- ;0[ ou ]0 ;+ [
ex
ex
R
1
x
En attente…
sin x
- cos x
R
cos x
sin x
R
sin (ax + b)
- 1
acos (ax + b)
R
cos (ax + b)
1
asin (ax + b)
R
1 + tan² x = 1
cos²x
tan x
]- 
2+ k,  2+ k[
Formules générales
Fonction f(x) =
Une primitive est F(x) =
Sur l’intervalle I =
u  u’
u²
2
R
un  u’ avec n Z – {-1}
un+1
n+1
Avec u(x) non nul si n < -1
u’
u²
-1
u
u(x) non nul
u’
u
2 u
u > 0
u’ eu
eu
R
u’
u
En attente…