DM Primitives de fonctions affines

Nom :
Classe : T S
A rendre pour le : 03 / 11 /15
Devoir maison n°2
Primitives de fonctions affines
Application à la physique
Note :
… / 20
Exercice 1 : , et sont les fonctions définies sur R par :
où , , et sont des réels.
1) Calcule les dérivées de , et .
A retenir : On dit que , et sont des primitives de , et .
Exemples :
•3 est une primitive de 0.
•5 est une primitive de 5.
• est une primitive de 2 .
Attention !!! Pour une fonction donnée il existe une infinité de primitives.
Par exemple 7, -26 et 118 sont d'autres primitives de 0 car la dérivée d'un terme constant vaut toujours 0.
2) est la fonction définie sur R par .
La fonction définie sur R par est une primitive de car .
Toute fonction définie sur R par est une autre primitive de car .
a) Détermine l'unique valeur de telle que .
A retenir : La dérivée de est donc une primitive de est .
La dérivée d'une fonction polynôme du 2nd degré est une fonction affine donc une primitive d'une
fonction affine est une fonction polynôme du 2nd degré.
Ainsi, une primitive de est car en dérivant on obtient .
Si est un réel quelconque et une primitive de alors est une primitive de .
b) et sont les fonctions définies sur R par et .
Calcule et , des primitives respectives de et .
Déduis-en les seules primitives de et qui s'annulent en .
Exercice 2 : Etude de la trajectoire d'une balle de tennis.
Le but de cet exercice est de déterminer la trajectoire d'une balle de tennis frappée au moment d'un service.
On se place dans le repère orthonormé (O ; , ) orienté dans le sens direct.
La balle est frappée en B (0 ; 2,4), à la vitesse de 50 m.s , selon un angle = - 5° avec la parallèle au sol passant
par B. On notera G le centre de gravité de la balle. A l'instant , les points B et G sont confondus.
Pour déterminer la trajectoire de la balle nous allons étudier le vecteur position à partir des vecteurs
vitesse et accélération de son centre de gravité G, en fonction du temps .
α
f(x) = k
g(x) = ax +b
h(x) = ax
2
+bx +c
f
g
h
k
a
b
c
f
g
h
f
g
h
f
0
g
0
h
0
x
x
x
2
f
f(x) = 7
F(x) = 7x
F
f
F
0
(x) = 7 = f(x)
F
k
F
k
(x) = F(x) + k
f
F
0
k
(x) = F
0
(x)
k
F
k
(3) = 5
x
2
2x
2x
x
2
x
x
2
1
2
1
2
x
2
1
2
£2x=x
F
f
k
kF
kf
g
h
g(x) = 3x
h(x) = -5x+ 6
G
H
g
h
g
h
x= 1
~
i
~
j
-1
®
t= 0
¡!
BG(t)
t
¡!
v
G
(t)
¡!
a
G
(t)

Lorsqu'un solide est en chute libre il n'est soumis qu'à son propre poids.
C'est le cas de la balle qui retombe verticalement (dans l'idéal) avant d'être frappée au moment du service.
Quel que soit le réel positif , le vecteur accélération , est égal au vecteur champ de pesanteur .
On rappelle que : m.s .
Les vecteurs et sont colinéaires et de sens contraires. Donc a pour coordonnées .
On néglige l'effet du vent et la résistance de l'air sur la balle. Ainsi, le vecteur accélération est constant.
On note et les vecteurs vitesses et accélération à l'instant .
suit la direction de la droite qui forme un angle avec la parallèle au sol.
|| || = 9,81.
a pour coordonnées .
|| || = 50.
a pour coordonnées .
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse . En physique, on note : .
Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position . En physique, on note : .
Pour déterminer la trajectoire de la balle à partir de son vecteur accélération il faut donc déterminer
à partir d'une primitive de puis il faudra déterminer à partir d'une primitive de .
1) Complète : les composantes du vecteur …… sont des primitives de celles du vecteur ……
∀ ∈ R, les coordonnées de sont . Celles de sont avec et dans R.
Or : a pour coordonnées . On en déduit : et
Finalement : ∀ ∈ R, a pour coordonnées
2) a) Démontre qu'il existe deux réels et tels que : ∀ ∈ R, a pour coordonnées :
b) Détermine les valeurs de k3 et k4 pour qu'à l'instant les points B et G soient confondus.
3) On souhaite obtenir une équation de la trajectoire suivie par la balle dans le repère orthonormé (O ; , ).
a) En utilisant la relation de Chasles, démontre que : ∀ ∈ R, a pour coordonnées :
b) Les coordonnées de G vérifient le système :
Exprime en fonction de et déduis-en que : –
4) a) Détermine à l'aide du tableur de ta calculatrice la distance, au cm près, du point O à l'impact au sol.
b) La balle est tombée hors de la zone de service. Comment expliquer que dans la réalité un joueur de tennis
aurait pu servir en B, à la vitesse de 50 m.s , selon un angle = - 5° avec la parallèle au sol et gagner le point ?
α = -5°
¡!
a
G
(t)
~g
-2
~g
~
j
~g
¡!
v
0
¡!
v
0
¡!
a
0
t= 0
¡!
a
0
¡!
v
0
¡!
v
0
¡!
a
G
(t)
¡!
a
G
(t)
¡!
a
G
(t)
¡!
v
G
(t)
¡!
v
G
(t)
¡!
v
G
(t)
¡!
v
G
(t)
¡!
BG(t)
¡!
BG(t)
µ0
-g¶
µ0
-9,81¶
µ50cos(5)
-50sin(5)¶
¡!
a
0
d¡! v
G
(t)
dt
¡!
a
G
(t) =
¡!
v
G
(t) =
d¡! BG(t)
dt
+
t
¡!
a
G
(t)
µ0
-9,81¶
¡!
v
G
(t)
µk
1
...... +k
2
¶
k
1
k
2
~v
0
=¡! v
G
(0)
µ50cos(5)
-50sin(5)¶
k
2
=............
k
1
=............
t
+
¡!
v
G
(t)
µ........................
........................¶
k
3
k
4
t
+
¡!
BG(t)
µ50cos(5)t+k
3
-9,81t
2
2
¡50sin(5)t+k
4
¶
t= 0
~
i
~
j
t
+
¡¡!
OG(t)
µ50cos(5)t
-9,81t
2
2
¡50sin(5)t+ 2,4¶
½x
G
(t) = 50cos(5)t
y
G
(t) = ................
t
x
G
(t)
y
G
(t) =
-9,81x
G
(t)
2
5000cos
2
(5)
tan(5)x
G
(t) + 2,4
-1
®
®
t
g= 9,81

Correction du DM n°2
Exercice 1 : f, g et h sont les fonctions définies sur R par :
f(x)=k
g(x)=ax+b
h(x)=ax2+bx+c
où k, a, b et c sont des réels.
1) Calcule les dérivées de f, g et h.
f, g et h sont dérivables sur R en tant que fonctions constante, affine ou polynôme du 2nd degré.
∀x∈ℝ , f ' (x)=0, g ' (x)=a et h ' (x)=2ax+b
2) f est la fonction définie sur R par
f(x)=7.
La fonction F définie sur R par
F(x)=7x
est une primitive de f car
F'(x)=7=f(x).
Toute fonction Fk de la forme Fk (x) = F (x) + k est une autre primitive de f car F'k (x) = F' (x).
Détermine l'unique valeur de k telle que Fk (3) = 5.
Fk (3) = 5 ⇔ F (3) + k = 5 ⇔ 7× 3+ k = 5 ⇔ k = 5 – 21 ⇔ k = -16
Ainsi, la fonction définie par
F
-16
(x)=7x−16
est la seule primitive de f telle que F-16 (3) = 5.
b) g et h sont les fonctions définies sur R par
g(x)=3x
et
h(x)=-5 x+6.
Calcule G et H, des primitives respectives de g et h.
Déduis-en les seules primitives de g et h qui s'annulent en x = 1.
Une primitive de x
2.
Donc G, définie sur R par
G(x)=3×1
2x2=3 2x2
, est une primitive de g.
6 x est une primitive de 6.
Donc H, définie sur R par
H(x)=- 5×1
2x2+6x=-5 2x2+6x
, est une primitive de h.
Soient k et p deux réels quelconques. Les fonctions Gk et Hp définies sur R par :
Gk(x)= 3
2x2+k et H p(x)=-5 2x2+6x+p
sont aussi des primitives respectives de g et h.
Pour déterminer les primitives de g et h qui s'annulent en x = 1 on résout Gk (1) = 0 et Hp (1) = 0.
Gk (1) = 0 ⇔
3
2×12+k=0
⇔
k=-3
2
Donc la fonction définie par
G-3
2
(x)= 3
2x2−3 2
est la seule primitive de g qui s'annule en x = 1.
Hp (1) = 0 ⇔
-5
2×12+6×1+p=0
⇔
-5
2+6+p=0
⇔
-5
2+12 2+p=0
⇔
p=-7
2
Donc la fonction définie par
H-7
2
(x)=-5
2x2+6x−7 2
est la seule primitive de h qui s'annule en x = 1.

Exercice 2 : Etude de la trajectoire d'une balle de tennis.
Le but de cet exercice est de déterminer la trajectoire d'une balle de tennis frappée au moment d'un service.
par B. On notera G le centre de gravité de la balle. A l'instant t = 0, les points B et G sont confondus.
Pour déterminer la trajectoire de la balle nous allons
t.
Lorsqu'un solide est en chute libre il n'est soumis qu'à son propre poids.
C'est le cas de la balle qui retombe verticalement (dans l'idéal) avant d'être frappée au moment du service.
Quel que soit le réel positif t
t = 0.
α avec la parallèle au sol.
(
0
- 9,81
)
.
(
50cos 5
- 50sin 5
)
.
⃗ aG(t)=d
⃗ vG(t)
d t.
⃗
vG(t)=d
⃗
BG(t)
d t.
2 sont 2 réels.
α
α = -5°

k4
)
yG(t)=- 9,81×xG(t)2
2×502cos25
−50sin 5
50cos 5 xG(t)+2,4
yG(t)=- 9,81×xG(t)2
5000 cos25
−(tan 5)xG(t)+2,4