Question de logique ! Déterminer le nombre manquant

Suites numériques
Question de logique ! Déterminer le nombre manquant
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11
3
9
27
Introduction - Historique
• Dans l’antiquité, on utilisait des méthodes de calculs
(algorithmes) permettant d’obtenir une succession de valeurs
afin d’approcher un nombre (angle, aire, volume…). On
définissait déjà ce que l’on appelle les suites.
•Ainsi en Grèce, Archimède (287 à 212 avant JC)
connaissait les suites arithmétiques et géométriques.
•Un des problèmes utilisant les suites reste célèbre : En
1202, Fibonacci (grand mathématicien du moyen âge)
s’intéresse au nombre des descendants que deux lapins
peuvent avoir en une année.
•Ce n’est qu’à la fin du XVIIIème siècle que les notation
indicielles vont être introduite par Lagrange (1736-1813),
l’un des premiers professeurs de l’Ecole polytechnique.
I - Suites numériques - Généralités
Définition
:
• Une suite numérique est une suite définie sur ou sur une partie de .
• à chaque entier naturel n, on associe un
nombre réel un.
• on dit que l’ensemble des nombre un forme la
suite de terme général un.
Notation
:
Cette suite est notée (un).
I - Suites numériques - Généralités
Une
suite peut être déterminée soit
• Par la donnée de ses termes successifs
• Sous forme fonctionnelle (un en fonction de n)
• Sous forme récurrente : un+1 en fonction de un
La
représentation graphique d’une suite
est l’ensemble des points Mn(n;un)
Exemples :
•
•
•
•
un = n
u0 =...
u1 =...
u5 =...
c’est la suite des nombres entiers naturels
un = 4n + 3
u0 =...
u1 =...
u5 =...
u0 =...
u1 =...
u5 =...
un = 2n + 1
C’est la suite des nombres entiers naturels impairs
la suite des inverses des nombres entiers naturels est :
1
1
u1 = 1
u2 =
u3 =
Donc un =...
2
3
II - Suites arithmétiques (1/8)
+5
3
1
+5
8
+5
13
+5
18
…
- Définition
– Une suite arithmétique est une suite
numérique dont chaque terme s’obtient en
ajoutant au précédent un nombre réel
constant a appelé raison.
– Pour tout nombre n de ou *, on a :
un +1 = un + a
Suites arithmétiques (2/8)
Exemples
un+1 = un + 5 définit une suite arithmétique.
Suite des nombres entiers naturels impairs
Remarque :
Pour démontrer qu’une suite est
arithmétique, il suffit de vérifier que
un+1 - un est constant pour tout n ;
cette constante est la raison a.
Suites arithmétiques (3/8)
2 - Expression du terme un en fonction de a
– Démonstration
– Exemple d’utilisation :
Suite arithmétique de 1er terme u0 = 3 et de raison a = 2
Calculer u10 et u12
Suites arithmétiques (4/8)
Théorème
:
– Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et
de raison a, on a :
u n = u0 + na
– Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et
de raison a, on a :
u n = u1 + (n − 1)a
– Pour une suite arithmétique de premier terme up et
de raison a, on a :
u n = u p + (n − p )a
Suites arithmétiques (5/8)
3 - Représentation graphique sous la forme (n;un) d'une
suite arithmétique de raison a et de premier terme u0.
8
6
4
Paramètres
u0 = 7
a = -2
2
0
-2 0
-4
-6
-8
-10
-12
2
4
6
8
10
Suites arithmétiques (6/8)
Application
• Représentation de la suite arithmétique 1er
terme u0=3 et de raison a=2
• Représentation de la suite arithmétique 1er
terme v0=5 et de raison a=0
• Représentation de la suite arithmétique 1er
terme w0=10 et de raison a=-1,5
0
un
vn
wn
1
2
3
4
5
Suites arithmétiques (7/8)
25
20
15
10
5
0
0
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Suites arithmétiques (8/8)
La représentation graphique de la suite
arithmétique de premier terme u0 et de raison
a est constituée des points de la droite
d’équation y=ax+ u0 (son coefficient directeur est a)
– Si a>0, la droite est croissante (croissance linéaire)
– Si a<0, la droite est décroissante (décroissance linéaire)
Réciproquement, si les points représentant
une suite sont des points alignés, alors la
suite est arithmétique
III - Suites géométriques (1/8)
1
- Définition
– Une suite géométrique est une suite
numérique dont chaque terme s’obtient en
multipliant au précédent un nombre réel
constant b appelé raison.
– Pour tout nombre n de ou *, on a :
un +1 = bun
Suites géométriques (2/8)
Exemples
un+1 = un x 5 définit une suite géométrique.
Remarque :
Pour démontrer qu’une suite est
géométrique, il suffit de vérifier que
un +1
un
est constant pour tout n ;
cette constante est la raison b.
Suites géométriques (3/8)
2 - Expression du terme un en fonction de b
– Démonstration
– Exemple d’utilisation :
Suite géométrique de 1er terme u0 =2 et de raison a = 1,3
Calculer u10 et u12
Suites géométriques (4/8)
Théorème :
– Pour une suite géométrique de premier terme u0
et de raison b, on a :
n
n
0
u = u ⋅b
– Pour une suite géométrique de premier terme u1
et de raison b, on a :
n −1
n
1
u = u ⋅b
– Pour une suite géométrique de premier terme up
et de raison b, on a :
n− p
n
p
u = u ⋅b
Suites géométriques (5/8)
3 - Représentation graphique sous la forme (n;un) d'une
suite géométrique de raison b et de premier terme u0.
30
25
20
15
Paramètres
10
u0 = 2
5
b = 1,3
0
0
2
4
6
8
10
Suites géométriques (6/8)
Application
• Représentation de la suite géométrique 1er
terme u0=0,5 et de raison b=2
• Représentation de la suite géométrique 1er
terme v0=5 et de raison b=1
• Représentation de la suite géométrique 1er
terme w0=12 et de raison b=0,8
0
un
vn
wn
1
2
3
4
5
Suites géométriques (7/8)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
Suites géométriques (8/8)
La représentation graphique de la suite
géométrique de premier terme et de raison b
est constituée des points qui sont situés sur
une courbe exponentielle ; cette courbe n’est
pas une droite.
• Si b>1 , cette courbe est croissante (croissance
exponentielle).
• Si 0<b<1 , cette courbe est décroissante (décroissance
exponentielle).
• Lorsque b=1, tous les points de coordonnées (n;un)
sont situés sur une droite horizontale (tous les termes
sont égaux au terme initial)