1 Espaces vectoriels

1
Espaces vectoriels
Espaces vectoriels et matrices
Dans les exercices qui suivent K désigne un corps commutatif et V un K espace vectoriel. On précise si V
est de dimension finie ou non.
1. Montrer que la réunion de deux sous-espaces vectoriels de V est un sous-espace vectoriel si et seulement
si l’un est inclus dans l’autre.
2. Dans RR , comparer Vect(cos(nx))n∈N et Vect (cosn x)n∈N .
3. 1) Dans K[X], montrer qu’une suite de polynômes (Pi )i∈I , I ⊂ N, de degrés distincts ((i 6= j) ⇒
(d(Pi ) 6= d(Pj ))) est libre.
2) Dans RR montrer que la famille (x → eαx )α∈R est libre.
4. 1) Soit X un ensemble et P une partie non vide de X. Montrer que f ∈ KX , ∀x ∈ P, f (x) = 0 est
un sous-espace vectoriel de KX . Trouver un supplémentaire.
2) Dans RN on considère l’ensemble C des suites convergentes et C0 l’ensemble des suites convergeant
vers 0. Montrer que C et C0 sont des sous-espaces vectoriels de RN . Trouver un supplémentaire de
C0 dans C.
P
5. Dans C[[X]], on considère le sous-ensemble O[X] des séries formelles n∈N an X n telles que lim inf n→∞ |a 1|1/n >
n
0. Vérifier que O[X] est un sous-espace vectoriel (et même une sous-algèbre) de C[[X]]. (On appelle
O[X] l’espace des germes en 0 de fonctions analytiques. Sa généralisation à Cn joue un rôle important
en géométrie algébrique).
6. Pour f ∈ L(V ) montrer l’implication
(∀x ∈ V, ∃λx ∈ K, f (x) = λx x) ⇒ (∃λ ∈ K, ∀x ∈ V, f (x) = λx) .
7. 1) Montrer qu’une application continue f : R → R qui vérifie (f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R) est
R-linéaire, i.e.
∃λ ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) = λx.
2) Même question pour C et Rn .
3) Que peut-on dire si on supprime l’hypothèse de continuité. (Indication : Tout sous-espace vectoriel
d’un espace vectoriel quelconque admet un supplémentaire. Utiliser ce résultat avec Q sous-espace
du Q espace vectoriel R.)
8. Soit X un ensemble préciser la nature de sous espace ⊕x∈X K de KX (KX est l’ensemble des applications
de X dans K, ⊕x∈X K est l’ensemble des applications de X dans K qui . . . ?). Vérifier que X s’identifie
à une base de ⊕x∈X K. Peut-on parler de l’ensemble de tous les espaces vectoriels sur K ? (La réponse
est non. Le terme aproprié est celui de catégorie. Une catégorie n’est pas nécessairement un ensemble.
Elle est définie par ses objets et les morphismes entre ses objets. Ainsi la catégorie des ensembles a
pour objets les ensembles et comme morphismes les applications. La catégorie des K espaces vectoriels
a pour objets les K espaces vectoriels et pour morphismes les applications K-linéaires, on définit ainsi
les catégories des groupes, anneaux, A-modules, corps, espaces topologiques, variétés différentielles. . .).
9. 1) Montrer qu’une application linéaire f ∈ L(V ) est une projection si et seulement si f ◦ f = f .
(Indication : considérer Ker f et Ker(f − Id) et écrire x = (x − f (x)) + f (x).)
2) On suppose car K 6= 2, montrer qu’une application linéaire f ∈ L(V ) si et seulement si f ◦ f = Id.
(Indication : considérer Ker(f − Id) et Ker(f + Id) et écrire x = 21 (x + f (x)) + 12 (x − f (x)).)
3) Application : Dans R3 identifier les applications linéaires dont les



1 −2 −1
2
1
−1 2
1  et A =  0
A=
2
1 −2 −1
−3
1
matrices sont

0 1
1 0 .
0 −2
10. Déterminer dans RI , I intervalle non réduit à un point, la dimension de l’espace vectoriel engendré
par sin(x), sin(x + 1) et sin(x + 2).
11. Pivot de Gauss :
1) Résoudre le système (K = R)

x1 −x2 +x3 +x4



2x1 −x2 +x3 +x4
3x1 +2x2
+x4



3x1 +x2 +x3 +2x4
= 3
= 2
= −4
= 0.
2) Donner le noyau et l’image de (K = R)

1
 2
A=
 3
4

2 −1
3 0 
.
4 1 
5 2
3) Inverser si c’est possible la matrice (K = R)


1 2 1
A= 1 1 2 
2 1 2
et calculer son déterminant.
4) Discuter suivant la valeur de p premier

1
 1
A=
 0
1
le rang de la matrice

−1 0 1
1 −1 1 
 ∈ M4 (Z/pZ) .
1
1 1 
0
1 0
5) Trouver une base de l’espace vectoriel engendré par (K = R)
    
 
4
1
1
 5   2   8  
    
 
 9 ,  3 ,  9 , 
    
 
 7   4   10  
5
5
11
6) Soit (α, β, γ) ∈ R3 \ {(0, 0, 0)}, donner l’image et
 2
α
A =  αβ
αγ
1
−1
0
−1
−2



.


le noyau de

αβ αγ
β 2 βγ  .
βγ γ 2
Calculer Ap pour tout p ∈ N.
12. Inverser la matrice

1
 0
A=
 0
0
a
1
0
0
0
a
1
0

0
0 

a 
1
dans M4 (K)
(a ∈ K).
13. Montrer que si A est un anneau commutatif unitaire et K1 est un corps plongé dans A alors A est une
K-algèbre.
2
14. On suppose que K est un corps fini, q = Card K < +∞ .
1) Rappeler pourquoi car K = p est un nombre premier et Z/pZ se plonge dans K.
2) En utilisant l’exercice XIII en déduire qu’il existe n ∈ N tel que q = pn .
3) Montrer que les éléments de K sont les racines de X q − X et que K n’est pas isomorphe en tant
que corps à (Z/pZ)n . (Indication : On utilise dans cet exercice à deux reprise que dans un groupe
fini l’ordre des éléments divise l’ordre du groupe.)
15. Soit P (X) un polynôme irréductible de K[X] de degré n.
1) Rappeler pourquoi K[X]/P est un corps contenant K.
2) Montrer que K[X]/P est l’anneau (corps) K[α] engendré par la classe de 1 qui est l’élément unité
et la classe de X notée α et que c’est une K algèbre de dimension finie.
2
3) Exemples : vérifier que
√ R[X]/(X + 1) est isomorphe en tant que corps et que R-espace vectoriel
à C. Vérifier que Q[ 2] est un sous-corps de C. Donner sa dimension comme Q-espace vectoriel.
4) Vérifier que P ∈ K[α][X] et admet α pour racine dans K[α].
5) On appelle corps de scindement du polynôme P le plus petit corps (on admet qu’il est unique à
isomorphisme près) dans lequel P est scindé (i.e. admet n racines). On le note KP . Montrer que
dimK KP ≤ n!.
√
1
1
6) Montrer que Q[X]/(X 3 − 2) est isomorphe au sous anneau Q[2 3 , i 3] de C engendré par 2 3 et
√
√
√
1
1
i 3. En déduire que Q[2 3 , i 3] est un corps. Montrer que dimQ Q[2 3 , i 3] = 6 = 3!.(Indication
√
1
1
on montrera par l’absurde que dim QQ [2 3 ] = 3 puis que dim 13 Q[2 3 , i 3] = 2).
Q[2 ]
7) Reprendre l’exercice 14 et montrer que K est le corps de scindement de X q − X ∈ Z/pZ et que
dimZ/pZ K = logp (q) < q!.
16. Soit f ∈ L(V ), V K espace vectoriel de dimension n. On suppose qu’il existe x0 ∈ V tel que
(x0 , f (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) est une base de V .
1) Montrer qu’il existe a0 , . . . , an−1 ∈ K tels que f n + an−1 f n−1 + · · · + a0 = 0
∈ L(V ).
P
i
2) Montrer que si g ∈ L(V ) vérifie g ◦ f = f ◦ g alors il existe λ0 , . . . , λn ∈ K tels que g = n−1
i=0 λi f ∈
L(V ).
3) En prenant une base de V , (e1 , . . . , en ) et en considérant les applications linéaires f+ et f− données
par f+ (ei ) = ei+1 et f− (ei ) = ei−1 , i = 1 . . . n, avec en+1 = e−1 = 0, montrer que le centre de
(L(V ), ◦) est l’ensemble des homthéties vectorielles :
(∀f ∈ L(V ), g ◦ f = f ◦ g) ⇒ (∃λ ∈ K, g = λ Id) .
17. Montrer par récurrence sur la dimension que pour tout f ∈ L(V ), il existe un polynôme P ∈ K[X] de
degré inférieur ou égal à n = dim V tel que P (f ) = 0 ∈ L(V ). (Indication on pourra utiliser l’exercice
précédent).
18. Soient F, G, H trois sous-espaces vectoriels de V , K espace vectoriel de dimension finie. Montrer
l’inégalité
dim(F +G+H) ≤ dim(F )+dim(G)+dim(H)−dim(F ∩G)−dim(G∩H)−dim(H ∩F )+dim(F ∩G∩H).
Donner un exemple dans R2 où l’inégalité est stricte.
19. Montrer que si car K 6= 2 et a ∈ K, l’application Φ
P (X + a) + P (X) est un isomorphisme.
:
K[X] → K[X] définie par Φ(P )(X) =
20. Interpolation de Lagrange : Soient n ∈ N∗ , Ω un ouvert de K = R ou C et x1 , . . . , xn n points distincts
de Ω.
1) Montrer que l’application Φ : Kn−1 [X] → Kn définie par Φ(P ) = (P (x1 ), . . . , P (xn )) est un
isomorphisme.
3
2) Déterminer la base des Pi , i = 1, . . . n telle que Φ(Li ) = ei , où ei est le i-ème vecteur de la base
canonique de Kn .
3) Ecrire le polynôme solution de P (xi ) = yi , i = 1 . . . n à l’aide des polynômes Li de la question
précédente.
21. Interpolation de Hermite. Soient n ∈ N∗ , Ω un ouvert
P de K = R ou C, x1 , . . . , xn n points distincts de
Ω et α1 , . . . αn n entiers distincts. On pose m = ni αi .
1) Montrer que l’application Φ : Km+n−1 [X] → Km+n définie
par
(α
)
α
n
1
Φ(P ) = P (x1 ), . . . , P
(x1 ), . . . , P (xn ), . . . , P (xn ) est un isomorphisme.
2) On note pour i = 1, . . . , m + n, Pi le polynôme tel que Φ(Pi ) = ei , où ei est le i-ème vecteur
de la base canonique de Km+n . Sans chercher à les expliciter résoudre à l’aide de ces polynômes
l’équation
P (k) (xi ) = yk,i , i = 1 . . . n, k = 0, . . . αi .
3) Expliciter la base des Pk , k = 0 . . . α1 dans le cas où n = 1 et résoudre explicitement l’équation du
2).
2
Formes linéaires et multilinéaires
Formes, déterminants, réductions des endomorphismes.
Dans les exercices qui suivent K désigne un corps commutatif (de caractéristique nulle) et V un K espace
vectoriel. Sauf mention contraire, on supposera V de dimension finie.
1. 1) A-t-on (F + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ et (F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ .
2) Soient f1 , . . . , fp , p éléments de V ∗ , montrer que si on a pour tout x ∈ V l’implication
(f1 (x) = · · · = fp (x) = 0) ⇒ (g(x) = 0),
2.
3.
4.
5.
alors g ∈ V ect(f1 , . . . , fp ).
1) Soient x1 , . . . , xn , n points distincts d’un ouvert Ω de K = R ou C. On note pour i = 1 . . . n,
ψi la forme linéaire sur K[X] définie par ψi (P ) = P (xi ). Montrer que les ψi sont linéairement
indépendantes et que le sous-espace vectoriel ∩ni=1 Ker ψi est un idéal de K[X] dont on précisera
le générateur. En déduire que Kn−1 [X] est un supplémentaire de ∩ni=1 Ker ψi .
2) On prend maintenant K = R et on prend trois réels distincts x1 , x2 et x3 auxquels
on associe les
R x2
forme ψ1 , ψ2 et ψ3 sur R[X]. On considère la forme ϕ définie par ϕ(P ) = x1 P (x) dx. Montrer
2
que la famille (ψ1 , ψ2 , ψ3 , ϕ) est libre si et seulement si x3 6= x1 +x
2 .
0
Soient f1 , . . . fp , p fonctions linéairement indépendantes de C (I; R), I intervalle
R compact de R. Montrer
p
0
qu’il existe pour tout (c1 , . . . , cp ) ∈ R une fonction h ∈ C (I; R) telle que I h(x)fi (x) dx = ci , pour
tout i ∈ {1, . . . , p}.
Montrer que tout sous-espace vectoriel de V de dimension p peut s’écrire comme l’intersection de n − p
hyperplans. (n = dim V .)
1) Trouver une base duale de
       
     
1
3
5
2
1
2
3









 3  ,  2  ,  2  dans R3 et  3  ,  2  ,  1   5  dans R4 .
 2   5   3   1 
3
2
3
1
2
3
5
2) Trouver le rang du système

 x1 +2x2 +3x3 +4x4 = 5
x2
+3x3 +2x3 = 9
(S) :

3x2 +2x3 +x4 = 0.
Trouver a et b tels que l’équation supplémentaire 2x1 − 3x2 + ax3 + 4x4 = b ne change pas
l’ensemble des solutions de (S).
4
6. 1) Pour tout n ∈ N, on note ϕn l’élément de K[X]∗ défini par
0 si i 6= n
i
ϕn (X ) =
1 si i = n.
La famille (ϕn )n ∈ N est-elle libre dans K[X]∗ ? Est-elle génératrice ?
2) Montrer que le dual de K[X] s’identifie à K[[X]].
3) Plus généralement, montrer que le dual de la somme directe ⊕i∈I Vi d’une famille (Vi )i∈I de K
espace vectoriels est le produit Πi∈I Vi∗ .
7. 1) Soit V1 , . . . , Vp , p K espaces vectoriels de dimension finie. Montrer que le produit tensoriel V1 ⊗· · ·⊗
Vp est solution du problème universel suivant : Si W est un K espace vectoriel et ϕ : V1 ×· · ·×Vp →
W est multilinéaire, alors il existe une unique application linéaire fϕ : V1 ⊗ · · · ⊗ Vp → V telle que
∀(x1 , . . . , xp ) ∈ V1 × · · · × Vp , ϕ(x1 , . . . , xp ) = fϕ (x1 ⊗ · · · ⊗ xp ).
(Indication utiliser des bases Bi de Vi , i = 1 . . . n).
2) On prend V1 = · · · = Vp = V . Ecrire le problème universel satisfait par ∧p V . En déduire le rang
maximal d’une application p-linéaire alternée de V p dans un K-espace vectoriel W .
8. Déterminant de Vandermonde : On associe à un p-uplet (α1 , . . . , αp ) de Kp le déterminant
1
...
1 α1 . . .
αp 2
αp2 .
V (α1 , . . . , αp ) = α1 . . .
..
.. .
. p−1 . . .
p−1 α
. . . αp
1
Montrer que V (α1 , . . . , αn ) = Πi<j (αj −αi ). (Indication on considèrera le polynôme P (X) = V (X, α2 , . . . , αn ) ;
on cherchera ses racines et on calculera P (0).)
9. 1) On appelle wronskien en x ∈ I de p fonctions f1 , . . . , fp dans C ∞ (I; K), K = R ou C et I intervalle
de R, le déterminant


f1 (x)
...
fp (x)


(1)
(1)
fp (x) 
 f1 (x) . . .

.
W [f1 , . . . , fp ](x) = det 
..
..

.
.


(p−1)
(p−1)
f1
(x) . . . fp
(x)
Montrer l’implication
(∃x0 ∈ I, W [f1 , . . . , fp ](x) 6= 0) ⇒ ((f1 , . . . , fp ) libre) .
2) En déduire que la famille (eαx )α∈R est libre dans C ∞ (I, R) ; que la famille (eαx )α∈C est libre dans
C ∞ (I; C) ; que les familles (cos(αx))α∈R et (sin(αx))α∈R sont libres dans C ∞ (I, R).
10. Pour un n-uplet (a1 , . . . , an ) ∈ Cn , on considère la matrice


a1 a2 . . .
an
 an a1 . . . an−1 


A= .
..
..
..  .
 ..
.
.
. 
a2
a3 . . .
a1


2π

On note ω = ei n . Montrer que pour tout p ∈ {0, . . . , n − 1}, le vecteur Ωp = 

un vecteur propre de A. Vérifier que (Ω0 , Ω1 , . . . , Ωn−1 ) est une base de
diagonalisable et calculer det(A).
5
Cn .
1
ωp
..
.



 est

(ω p )n−1
En déduire que A est
11. On note SLn (Z), les matrices à coefficients entiers de déterminant +1. Montrer que (SLn (Z), ◦) est
un sous-groupe de (SLn (R), ◦).
12. On considère une application A dérivable de I, intervalle de R, dans GLn (K), avec K = R ou C.
a) Expliquer pourquoi det(A(t)) est dérivable sur I et exprimer sa dérivée comme une somme de
déterminants faisant intervenir A(t), A0 (t) et une base de V . (Ecrire det(A(t)) = detB (A(t)e1 , . . . , A(t)en )
avec B = (e1 , . . . , en ) et dériver.)
b) Dans le cas où A(t0 ) = Id, vérifier que
d
[det(A)](t0 ) = T r[A0 (t0 )].
dt
c) En déduire qu’en général on a
d
[det(A)](t0 ) = T r[A0 (t0 )] det[A(t0 )]
dt
d
dA
[log(det(A(t0 )))] = T r
(t) .
dt
dt
et
13. Diagonaliser ou trigonaliser dans R

−3 −1
 4
1
−4 8
ou C les matrices


0
2 −2
0  ;  2 −3
2
−1 2



3
3 −1 −1
 −4
 −6 −1 2  ; 
 7
2
1
0
−17
 

1
4 1 1
1 ; 1 4 1 ;
0
1 1 4

1
0 0
−1 0 0 
.
1
2 1 
−6 −1 0
Donner dans chacun des cas la solution générale du système différentiel Y 0 = AY .
14. Etudier les suites



 
un
un+1
0 21 12
 vn+1  =  1 0 1   vn  ;
2
2
1
1
wn
wn+1
2
2 0
un+3 = −2un+2 + un+1 + 2un ;
un+4 = −2un+3 − 3un+2 − 2un+2 − un .
p
p
15. Dans R[X] on note CX
le polynôme p!1 X(X − 1) . . . (X − p + 1). Montrer que la famille (CX
)p∈N est
une base de R[X]. Montrer que l’application linéaire (de différence finie)∆ : R[X] → R[X] définie par
p
∆P (X) = P (X + 1) − P (X) préserve Rn [X] pour tout n ∈ N et que la base (CX
)p∈{1,... ,n} permet de
trigonaliser ∆. Déterminer le noyau de ∆ et résoudre ∆P = X 2 + 1.
16. Algèbre extérieure.
n
p
On suppose dim V = n et on note ∧ V ∗ = ⊕ ∧ V ∗ .
p=1
a) Quelle est la dimension de ∧ V ∗ .
p
q
b) Pour Φ ∈ ∧ V ∗ et Ψ ∈ ∧ V ∗ on note
Φ ∧ Ψ = (p + q)!Ap+q [Φ ⊗ Ψ].
Vérifier que cette définition coı̈ncide avec celle du cours pour Φ ∈ V ∗ et Ψ ∈ V ∗ . Montrer qu’en
p+q
général on définit de cette manière un élément de ∧ V ∗ .
c) Vérifier que ∧ est une loi de composition interne associative de ∧ V ∗ et que (∧ V ∗ , +, .λ, ∧) est une
algèbre.
d) Vérifier que ∧ est anticommutative :
p
q
∀Φ ∈ ∧ V, ∀Ψ ∈ ∧ V,
e) Définir ∧ V et l’opération ∧ sur ∧ V .
6
Ψ ∧ Φ = (−1)pq Φ ∧ Ψ.
3
Formes bilinéaires, quadratiques
Formes bilinéaires, hermitiennes et quadratiques
I Soit V un espace vectoriel hermitien de dimension n. On rappelle qu’une application f ∈ L(V ) est dite
unitaire sur V si :
(f (x), f (y)) = (x, y), ∀x, y ∈ V.
a) Montrer que f est unitaire sur V si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée U vérifie
U −1 = U ∗ .
b) Montrer que si F est un sous-espace invariant par f alors F ⊥ est invariant par F .
c) En déduire que si u ∈ V est un vecteur propre de f alors {u}⊥ est invariant par f .
d) Montrer par récurrence sur dim V que f admet une base orthonormée de vecteurs propres.
e) Vérifier que si λ est valeur propre de f alors |λ| = 1. En déduire que toute matrice U ∈ Mn (C)
vérifiant U −1 = U ∗ est diagonalisable dans une base orthonormée et que sa forme diagonale s’écrit
 iθ

e 1
0 ...
0

.. 
 0 ... ...
. 


avec θ1 , . . . , θn ∈ R.


.. . .
..

.
.
.
0 
0 ...
0 eiθn
II Dans R2 muni du produit scalaire usuel, on considère une transformation orthogonale directe f ∈ L(V ) :
(f (x), f (y)) = (x, y),
et
∀x, y ∈ V
det(f ) = +1.
a) Vérifier que la matrice U de f dans la base canonique vérifie t U = U −1 .
b) En utilisant l’exercice I, montrer que U est diagonalisable dans C2 . Montrer de plus que ses deux
valeurs propres sont réelles (2 cas à identifier) ou complexes conjuguées. Vérifier que dans le
premier cas on peut prendre des vecteurs propres réels et dans le deuxième cas on peut prendre
des vecteurs propres complexes conjugués (on utilisera le fait que U est une matrice à coefficients
réels).
c) En déduire qu’il existe une base orthonormée de R2 dans laquelle la matrice de f est de la forme
cos(θ) − sin(θ)
avec θ ∈ R.
sin(θ)
cos(θ)
d) Identifier f et en déduire que dans toute base orthonormée directe, la matrice de f est
cos(θ) − sin(θ)
avec θ ∈ R.
sin(θ)
cos(θ)
III Dans R3 muni du produit scalaire usuel, on considère une transformation orthogonale directe f .
a) Vérifier que la matrice U de f dans la base canonique vérifie t U = U .
b) En utilisant l’exercice I, montrer qu’il existe une base
tien usuel, dans laquelle la matrice de f est
 iθ
e
0
 0 e−iθ
0
0
orthonormée de C3 , muni du produit hermi
0
0 .
1
Vérifier que les vecteurs propres associés aux valeurs propres eiθ et e−iθ peuvent être choisis réels
si θ ∈ ΠZ et complexes conjugués sinon.
7
c) En déduire qu’il existe une base orthonormée de

cos(θ) − sin(θ)
 sin(θ)
cos(θ)
0
0
R3 dans laquelle la matrice de f est de la forme

0
0 
avec θ ∈ R.
1
d) Identifier f et donner la signification géométrique du sous-espace propre associé à la valeur propre
1.
IV Traiter le cas d’une transformation orthogonale directe dans Rn .
VI Traiter le cas des transformation orthogonale générale dans Rn (se ramener au cas direct par une
transformation simple).
VII Donner le rang et la signature des formes quadratiques suivantes :
a) Sur Rn celle dont la matrice est (i + j − 1)i,jı,{1,... ,n} .
b) Sur Rn celle dont la matrice est donnée par aij = cosh(αi − αj ), i, j ∈ {1, . . . , n}, avec αi ∈ R.
P
c) Sur Rn , q(x) = ni,j∈{1,... ,n} xi xj .
R1
d) Sur Rn celle dont la matrice est donnée par ai,j = 0 Pi (t)Pj (t)dt où, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, Pi
désigne un polynôme de degré i.
VIII Décomposer en somme de carrés les formes quadratiques sur R4 . Donner leur rang et signature.
a) q(x) = x2 x3 + x3 x1 + x1 x2 + λ(x1 + x2 + x3 )x4 − µx24 .
b) q(x) = 11x21 + 10x22 + 6x23 − 8x2 x3 + 4x3 x1 − 12x1 x3 .
IX Diagonaliser dans une base orthonormée de R3 la matrice


1
1 −2
 1
3 −4  .
−2 −4 −3
X Diagonaliser dans une base orthonormée de C3 les matrices
√




1
i
2
4 i −i
√
√0

 −i 4
 −i 2
1 ,
√1 −i 2 .
i 1
4
0 i 2
1
XI Utiliser le résultat de l’exercice III pour identifier les applications linéaires de R3 :
√ 



3
1
6
8
1
−4
√
1
1
−4 4 −7  .
1 √3 − 6  ,
√
4
9
1 8
4
− 6
6
2
XII Montrer que sur Mn (C) la forme quadratique q(A) = T r(A∗ A) est définie positive.
XIII Polynôme de Legendre : Sur R[X] on définit la forme bilinéaire :
(P, Q) =
Z
1
P (t)Q(t) dt.
−1
a) Montrer que ( , ) définit un produit scalaire sur R[X].
b) En appliquant à la base (X n )n∈N le procédé d’orthogonalisation de Schmidt, montrer qu’il existe
une et une seule famille orthonormale Pn dans laquelle Pn est exactement de degré n et vérifie
(Pn , Xn ) > 0. Vérifier que la famille (Pn )n∈N est une base de R[X].
8
c) On définit le polynôme Qn par
1 dn 2
(t − 1)n .
2n n! dtn
Montrer que Qn est de degré n et a n racines simples dans (−1, 1). Montrer que Qn est orthogonal
à tout polynôme de degré inférieur à n et en déduire Qn = λn Pn . Calculer (Qn , Qn ) et en déduire
λn . Calculer Q(−1) et Q(1).
Qn (t) =
d) Etablir les relations
∀n ≥ 2, nQn = (2n − 1)XQn−1 − (n − 1)Qn−2 ,
d
[(1 − t2 )Pn0 (t)] + n(n + 1)Pn (t) = 0.
dt
∀n ∈ N, ∀t ∈ R,
Calculer an =
R1
−1 Pn (t)dt.
XIV Discuter suivant λ ∈ R la nature de la conique d’équation
(1 + λ)(x2 + y 2 ) + 2(1 − λ)xy − 4λy + 1 = 0.
XV Trouver une équation réduite des coniques données par
13x2 − 32xy + 37y 2 − 2x + 14y = 5,
xy + x + 4y = 5,
(2x + 3y)2 + 4x + 5y − 5 = 0.
4
Partiel
Partiel L6B, 26 mars 99, 2H
I) Trouver si c’est possible une base duale du
 
1
 0 
  ,
 1 
0
système de vecteurs de R4
     
4
1
1
 2   3   3 
  ,   ,   .
 1   0   2 
1
1
2
II) a) Trigonaliser la matrice de M3 (R),


3
3
4
 −2 −2 −4  .
1
2
4
b) Exprimer le terme général pour les suites (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N données par

 un+1 = 3un + 3vn + 4wn
vn+1 = −2un − 2vn − 4wn

wn+1 = un + 2vn + 4wn
et u0 = 3, v0 = 1, w0 = 1.
III) One désigne par E un K espace vectoriel de dimension 2, où K est un corps commutatif. On considère
une application linéaire f ∈ L(E) qui n’est pas une homothétie vectorielle : f 6∈ K Id.
a) Montrer par l’absurde qu’il existe un vecteur u0 ∈ E tel que (u0 , f (u0 )) est une base de E.
b) On note C(f ) = {g ∈ L(E), g ◦ f = f ◦ g}. Montrer que C(f ) = {α Id +βf, α, β ∈ K}.
9
c) En posant f 2 (u0 ) = λu0 + µf (u0 ), en déduire que le système

λy
−z
=



x +µy
−t =
−λx
−µz +λt =



−λy
+z
=
0
0
0
0
est
2. (Indication : Ecrire la matrice de g ∈ C(f ) dans la base (u0 , f (u0 )) sous la forme
de rang
x z
).
y t
IV) Utiliser la multilinéarité du déterminant pour calculer les déterminants réels
1, 00001 0, 1 1, 01 A = 1, 00002 0, 2 0, 01 1, 00003 0, 2 0, 01 1+X
X ...
X
X
1
+
X
.
.
.
X
et pour tout n ∈ N, Bn (X) = ..
..
..
.
.
.
X
X ... 1 + X
(Indication : pour Bn (X) établir une relation de récurrence).
.
V) a) Montrer par récurrence sur n ∈ N∗ que pour tout (n, p) ∈ N∗ le déterminant de la matrice n × n
Mn,p vaut 1, avec :


1
Cp1
Cp2
...
Cpn−1
n−1 
1
2
 1 Cp+1
Cp+1
...
Cp+1


 .

..
..
..
..
Mn,p =  ..
.
.
.
.
.


n−1
1
2
 1 Cp+n−2 Cp+n−2 . . . Cp+n−2 
n−1
1
2
1 Cp+n−1
Cp+n−1
. . . Cp+n−1
(Indication : On fera les opérations élémentaires Lj → Lj − Lj−1 en partant de j = n et en
l+1
).
remontant jusqu’à j = 2 et on utilisera la formule du triangle de Pascal Ckl + Ckl+1 = Ck+1
−1 est à coefficients entiers.
b) En déduire que l’inverse Mn,p
lkgjhl
5
Examen
Examen L6B, 17 mai 1999 , durée 3H
I) Déterminer les réels λ et µ tels que la matrice


1 1 1 2
 1 2 λ 1 
3 1 2 2µ2
soit de rang 2.
II) Donner la solution générale du système différentiel
 0
+z
 x = 21 x −y
0
y = −3x −3y +5z
 0
z = −2x −3y + 92 z.
(On écrira ce système sous la forme Y 0 = AY et on trigonalisera la matrice A).
10
III) On désigne par α et β deux réels tels que α2 + β 2 = 1. Discuter suivant les valeurs de α et β le rang
et la signature de la forme quadratique sur R3 dont la matrice dans la base canonique est


1 α
0
 α 1
β .
0 β α+β
(On utilisera le procédé d’orthogonalisation de Gauss et on distinguera les cas où β = 0). Représenter
graphiquement sur le cercle α2 + β 2 = 1 les diffrents cas.
IV) Discuter suivant la valeur de α ∈ R la nature de la conique d’équation
√
√
2
α
2
2
y + = 0.
C : (α − 1)x + (α − 1)y + 2αxy − 2αx +
2
4
On en donnera en particulier une équation réduite et on précisera dans les coordonnées de départs le
centre et les axes principaux.
V) On considère un espace vectoriel hermitien V de dimension n et on note (x, y) le produit scalaire de
deux vecteurs de V . On rappelle que si u est un endomorphisme de V , u ∈ L(V ), son adoint u∗ ∈ L(V )
est défini par
(u∗ (x), y) = (x, u(y)),
∀x, y ∈ V.
L’objectif de ce problème est d’étudier les endomorphismes normaux, c’est à dire ce qui commutent
avec leur adjoint :
(u normal) ⇔ (u∗ ◦ u = u ◦ u∗ ) .
1) Vérifier que les endomorphismes auto-adjoints et les endomorphismes unitaires sont normaux.
NB : Dans les question 2) à 7), l’endomorphisme u ∈ L(V ) est supposé normal.
2) Montrer les égalités
et
ku(x)k = ku∗ (x)k , ∀x ∈ V,
ku(x) − λxk = u∗ (x) − λx ,
∀x ∈ V, ∀λ ∈ C.
3) Déduire de 2) l’égalité pour tout λ ∈ C
ker(u − λ Id) = ker(u∗ − λ Id).
4) Montrer que si λ1 ∈ C et λ2 ∈ C sont deux valeurs propres distinctes,λ1 6= λ2 , de u alors les
sous-espaces propres ker(u − λ1 Id) et ker(u − λ2 Id) sont orthogonaux.
5) Vérifier que si F est un sous-espace vectoriel de V stable par u, u(F ) ⊂ F , alors F ⊥ est stable par
u∗ . Que peut-on dire pour F ⊥ , si F est stable par u et u∗ ?
6) Si e1 désigne un vecteur propre de u, montrer que {e1 }⊥ est stable par u et u∗ .
7) Montrer par récurrence sur la dimension de V que u est diagonalisable dans une base othonormée
de V .
8) Interprétation matricielle : On munit Cn du produit hermitien usuel. On dit qu’une matrice A ∈
Mn (C) est normale si A∗ A = AA∗ . Utiliser le résutat du 7) pour établir les équivalences entre
les trois propriétés :
i) A est normale.
ii) A est diagonalisable dans une base orthonormale de Cn .
iii) A = AR + iAI où AR et AI sont deux matrices auto-adjointes qui commutent :
A∗R = AR ,
A∗I = AI
et
AR AI = AI AR .
(On pourra montrer i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ i) en utilisant la question 7) pour la première
implication et en décomposant les valeurs propres en partie réelle et imaginaire pour la
deuxième implication. )
11
6
Corrigé de l’examen
Corrigé de l’examen L6B, 17 mai 1999 , durée 3H
I) On sait que le rang d’une matrice est égale au rang de sa transposée et que celui-ci n’est pas modifié par
les opérations élémentaires. La méthode consiste donc à faire le Pivot de Gauss sur les lignes ou les
colonnes :



 L2 → L2 − L1 
1
1
1
2
1
1
1
2
1 1 1 2
L → L3 − 3L1
L → L3 + 2L2 
 0 1 λ−1
 1 2 λ 1  3
−1  3 −→
0 1 λ−1
−1 
−→
2
2
0 −2 −1 2µ − 6
0 0 2λ − 3 2µ2 − 8
3 1 2 2µ

2
Le rang de cette
matrice est 2 si et seulement si 2λ − 3 = 0 et 2µ − 8 = 0, c’est à dire (λ, µ) ∈
3
3
( 2 , −2); ( 2 , 2) .
 
x
II) On écrit Y =  y  et le sytème devient
z
Y 0 = AY
avec

1
2

−1 1
A =  −3 −3 5  .
−2 −3 29
On trigonalise la matrice A afin de calculer etA qui donne la solution générale de Y 0 = AY . Les valeurs
propres sont les racines du polynôme caractéristique
1
2
−X
−1
−3
−3 − X
−2
−3
9
2
1
5
−X
1
9
= ( − X) (3 + X)(X − ) + 15 + 3(X − 9 + 3) − 2(−5 + 3 + X)
2
2
2
1
3
3
1
( − X)(X 2 − X + ) + (X − )
2
2
2
2
1
3
1
1
= ( − X)(X 2 − X + ) = −(X − 1)(X − )2 .
2
2
2
2
Les valeurs propres sont donc 1 de multiplicité algébrique 1 et 12 de multiplicité algébrique 2.
On cherche ensuite les vecteurs propres et éventuellement pour la valeur propre 12 le sous-espace
caractéristique.
λ = 1 : La résolution du système (A − Id)X = 0 donne
ker(A − Id) = Ru1
λ=
1
2
avec


2
u1 =  1  .
2
: La résolution du système (A − 12 Id)X = 0 donne
1
ker(A − Id) = Ru2
2
avec


1
u2 =  2  .
2
Le sous-espace propre est de dimension 1 tandis que la multiplicité algébrique de la valeur propre
1
donc chercher un vecteur u3 qui résout (A − 12 Id)X = u2 . On obtient comme
2 est 2. Il faut
 
 
1
1
solution u3 ∈  0  + Ru2 et on choisit u3 =  0 .
1
1
12
Si on note


2 1 1
P = 1 2 0 
2 2 1
la matrice de passage de la base canonique dans la base (u1 , u2 , u3 ), on a


1 0 0
0 1
1
0
−1
1


0 2 1
=
avec N =
.
P AP =
0 12 Id +N
0 0
0 0 12
En remarquant N 2 = 0, on obtient
t
t( 21
e
Id +N )
et donc
t
2
t
2
= e etN = e (1 + tN ) =

et 0
t

−1
P AP =  0 e 2
0 0
e2
0
t
te 2
t
e2
!
,

0
t 
te 2  .
t
e2
Si la donnée initiale s’écrit dans la base (u1 , u2 , u3 ), Y0 = αu1 + βu2 + γu3 , la solution est donnée par
h t
i
t
t
Y (t) = etA Y0 = αet u1 + βe 2 u2 + γ te 2 u2 + e 2 u3

t
 
 
  
2αet + [β + γ(t + 1)] e 2
2
1
1
t
t
t
t


= αet  1  + (βe 2 + γte 2 )  2  + γe 2  0  = 
αet + [2β + 2γt] e 2
.
t
t
2
2
1
2αe + [2β + γ(2t + 1)] e 2
III) La forme quadratique sur R3 donnée par sa matrice dans l’énoncé n’est autre que
q(x) = x21 + x22 + (α + β)x23 + 2αx1 x2 + 2βx2 x3 .
Le procédé d’orthogonalisation de Gauss donne dans le cas β 6= 0 et en utilisant 1 − α2 = β 2 :
q(x) = (x1 + αx2 )2 + (1 − α2 )x22 + (α + β)x23 + 2βx2 x3 = (x1 + αx2 )2 + (βx2 + x3 )2 + (α + β − 1)x23 .
Avec β 6= 0, les formes linéaires intervenant dans les carrés de la dernière expression sont linéairement
indépendantes et la signature de q est (3, 0) si α + β − 1 > 0, (2, 1) si α + β − 1 < 0 et (2, 0) si
α + β − 1 = 0. Il reste à considérer le cas β = 0. On a alors deux possibilités :
β = 0 et α = 1 : La forme quadratique q vaut alors
q(x) = (x1 + x2 )2 + x23 .
et sa signature est (2, 0).
β = 0 et α = −1 : La forme quadratique q vaut alors
q(x) = (x1 − x2 )2 − x23
et sa signature est (1, 1).
13
IV) Dans un premier temps on étudie la forme quadratique
2
2
q(x, y) = (α − 1)x + (α − 1)y + 2αxy
de matrice
A=
(α − 1)
α
α
(α − 1)
.
Diagonalisons A dans une base orthonormée afin de trouver une première classification suivant la
valeur α ainsi que les directions des axes principaux. Le polynôme caractéristique de A vaut
(α − 1 − X)
α
= (α − (X + 1))2 − α2 = (X + 1)(X − 2α + 1),
α
(α − 1 − X) de telle sorte que les valeurs propres de A sont −1 et 2α − 1. Dans le cas α 6= 0 on trouve facilement
que les sous-espaces propres associés aux valeurs propres −1 et 2α − 1 sont respectivement
1
1
ker(A + Id) = R
et ker(A − (2α − 1) Id) = R
.
−1
1
Ce sont bien deux vecteurs orthogonaux (la matrice A est symétrique) et on les normalisent pour
obtenir la base orthonormée de vecteurs propres (u1 , u2 ), avec
!
√ !
√
u1 =
2
2√
−
et
2
2
u2 =
2
√2
2
2
.
On note
que
même dans le cas α = 0, (u1 , u2 ) est une base orthonormée de vecteurs propres de
A.0 Si
x
x
0
X =
désigne les coordonnées d’un point dans le repére initial et (O; i, j) et si X =
y
y0
désigne ses coordonnées dans le repère (O; u1 , u2 ), on a
!
√
√ !
x0√
+y 0
2
2
0
x
0
x
2
2√
√2
= X = X 00 + P X 0 =
+
=
.
y 0√
−x0
0
y
y0
− 22 22
2
Dans le nouveau repère, l’équation de C devient :
2
2
C : −x0 + (2α − 1)y 0 −
2α + 1 0 2α − 1 0 α
x −
y + = 0;
2
2
4
Ce qui s’écrit encore :
C : (x0 +
2α + 1 2
1
α (2α + 1)2 1 − 2α
(2α + 1)(α + 1)
) + (1 − 2α)(y 0 − )2 = +
+
=
.
4
4
4
16
16
8
On discute maintenant les différents cas :
α<
1
2
: La signature de la forme quadratique q est alors (0, 2) et la conique est du type ellipse. On a
plusieurs sous-cas suivant que le second membre de l’équation précédente est positive ou non.
1
α < −1 ou − 21 < α < 12 : La conique C est alors une ellipse de centre (x0 , y 0 ) = (− 2α+1
4 , 4 ). Dans
√
√ ) et les axes principaux sont les
les coordonnées de départ le centre est (x, y) = (− 2α, α+1
2 2 1
1
droites passant par ce point et de direction R
et R
. On remarque que le cas
−1
1
1
1
α = 0 correspond au cercle de rayon 2√
et de centre (x, y) = (0, 2√
).
2
2
α = −1 : Dans ce cas la conique C est réduite au point de coordonnées (x0 , y 0 ) = ( 41 , 14 ), ce qui
1
, 0).
donne dans les coordonnées de départ (x, y) = ( 2√
2
α = − 21 : Dans ce cas la conique C est réduite au point de coordonnées (x0 , y 0 ) = (0, 14 ), ce qui
1
1
donne dans les coordonnées de départ (x, y) = ( 4√
, √
).
2 4 2
−1 < α < − 12 : Dans ce cas on a C = ∅.
14
√
√ ) et les axes
: Dans ce cas la conique C est une hyperbole dont le centre est (x, y) = (− 2α, α+1
2 2
1
1
et R
.
principaux sont les droites passant par ce point et de direction R
−1
1
q
α = 12 : Dans ce cas la conique C est la réunion de deux droites parallèles x0 = − 12 + 38 et x0 =
q
− 12 − 38 . Dans les coordonnées de départ les équations de ces deux sont respectivement x − y =
α>
1
2
1
+
− 2√
2
√
3
4
1
−
et x − y = − 2√
2
√
3
4 .
V) 1) Un endomorphisme autoadjoint u vérifie par définition u∗ = u. On a alors u∗ ◦ u = u ◦ u = u ◦ u∗ .
Un endomorphisme autoadjoint est normal. Pour un endomorphisme unitaire on a par définition
(u(x), u(y)) = (x, y),
∀x, y ∈ V.
Cela entraı̂ne u∗ ◦ u = Id = u ◦ u∗ (vu en cours). Un endomorphisme unitaire est donc normal.
2) Pour λ ∈ C on a (u − λ Id)∗ = u∗ − λ Id et on vérifie aisément que (u − λ Id) est normal :
(u − λ Id)∗ ◦ (u − λ Id) = (u − λ Id)(u − λ Id)∗ . Pour x ∈ V on calcule
ku(x) − λxk2 = ((u − λ Id)(x), (u − λ Id)(x)) = ((u − λ Id)∗ ◦ (u − λ Id)(x), x) = ((u − λ Id) ◦ (u − λ Id)∗ (x), x
2
= ((u − λ Id)∗ (x), (u − λ Id)∗ (x)) = (u∗ − λ Id)(x), (u∗ − λ Id)(x) = u∗ (x) − λx ,
d’où l’on tire la deuxième égalité. La première n’est autre que le cas particulier λ = 0.
3) On tire de 2) la suite d’équivalence pour x ∈ V :
(x ∈ ker(u − λ Id)) ⇔ (ku(x) − λxk = 0) ⇔ u∗ (x) − λx = 0 ⇔ x ∈ ker(u∗ − λ Id) .
On a donc ker(u∗ − λ Id) = ker(u − λ Id).
4) Soient λ1 et λ2 deux valeurs propres de u et soient x1 et x2 deux vecteurs propres non nuls, u(x1 ) =
λx1 et u(x2 ) = λ2 x2 . D’après le résultat précédent, on a aussi u∗ (x1 ) = λ1 x1 et u∗ (x2 ) = λ2 x2 .
On en déduit
λ1 (x1 , x2 ) = (λ1 x1 , x2 ) = (u∗ (x1 ), x2 ) = (x1 , u(x2 )) = (x1 , λ2 x2 ) = λ2 (x1 , x2 ) .
Par conséquent si λ1 6= λ2 cela donne (x1 , x2 ) = 0 et ce pour tout x1 ∈ ker(u − λ1 Id) et pour
tout x2 ∈ ker(u − λ2 Id). Les deux sous-espaces propres ker(u − λ1 Id) et ker(u − λ2 Id) sont
orthogonaux.
5) Soit F un sous-espace vectoriel de V tel que u(F ) ⊂ F . Pour x ∈ F ⊥ , on a
∀y ∈ F,
(u∗ (x), y) = (x, u(y)) = 0
(x ∈ F ⊥ et u(y) ∈ F ).
On a donc u(x) ∈ F ⊥ pour tout x ∈ F ⊥ et F ⊥ est stable par u∗ .
Si F est stable par u et u∗ , alors F ⊥ est stable par u∗ et u∗∗ = u.
6) Si e1 est un vecteur propre de u alors Ce1 est stable par u. De plus on a vu avec la question 3)
que e1 est aussi un vecteur propre de u∗ de telle sorte que Ce1 est aussi stable par u∗ . Le résultat
précédent nous dit alors que {e1 }⊥ = (Ce1 )⊥ est stable par u et u∗ .
7) On procède par récurrence sur la dimension de V , dim V = n.
n=1 : rien à faire.
Supposons le résultat vrai pour n − 1 : Prenons dim V = n. D’après le théorème de d’Alembert, u admet un vecteur propre non nul e1 que l’on peut prendre de norme égale à 1. On
sait alors que F = {e1 }⊥ est stable par u et u∗ . La restriction uF est alors un endomorphisme normal de F muni du produit scalaire restreint.
Comme e1 6= 0 on a dim F = n − 1
et l’hypothèse de récurrence permet de dire que u F est diagonalisable dans une base orthonormée (e2 , . . . , en ) de F . La base (e1 , e2 , . . . , en ) est alors une base orthonormée de V qui
diagonalise u.
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8) Si A est la matrice de u ∈ L(Cn ) dans la base canonique qui est orthonormée pour le produit scalaire
usuel, la matrice de u∗ dans cette base est A∗ . Par conséquent A est normale, A∗ A = AA∗ , si et
seulement u est normal, u∗ ◦ u = u ◦ u∗ .
La première implication i) ⇒ ii) est alors une conséquence directe de 7).
Pour la deuxième implication ii) ⇒ iii), on rappelle que si P est la matrice de passage dans la
base orthonormée qui diagonalise A on a


λ1

 −1
..
A=P
et P −1 = P ∗ .
P
.
λn
On décompose chaque valeur propre
on pose

α1

..
AR = P 
.
αn
en partie réelle et imaginaire λk = αk + iβk , k = 1 . . . n, et

 −1
P
et


β1

AI = P 
..
.
βn
 −1
P .
On vérifie alors facilement A∗R = AR , A∗I = AI et AR AI = AI AR .
La dernière implication iii) ⇒ i) résulte du calcul
A∗ A = (AR − iAI ) (AR + iAI ) = A2R + A2I = (AR + iAI ) (AR − iAI ) = AA∗ .
7
Examen de septembre
Examen L6B, septembre 1999 , durée 3H
I) Déterminer les réels λ,µ et ν tels que l’ensemble des solutions du système

 x +y +λz −t = 1
2x +3y +z +µt = ν

y
+3z +4t = 1
soit un sous-espace affine de dimension 2 de R4 .
II) On considère les suites (xn )n∈N , (yn )n∈N et (zn )n∈N satifaisant la relation de récurrence

−yn
 xn+1 =
yn+1 = xn +2yn

zn+1 =
yn
+2zn
Déterminer les expressions de xn , yn , et zn en fonction de n ∈ N, x0 , y0 et z0 . (Indication on écrira la
relation de récurrence sous la forme Un+1 = AUn et on trigonalisera A pour trouver une expression de
An .)
P
III) On prend n réels, u1 , u2 , . . . un tels que ni=1 u2i = 1. On pose A = (aij )i,j∈{1,... ,n} avec aij = ui uj .
a) Montrer par le calcul que la matrice 2A − Idn est unitaire.
b) On munit Rn du produit scalaire usuel et on suppose que le vecteur u a pour composante u1 , . . . , un
comme ci-dessus dans la base canonique. Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur
Ru. A quelle transformation linéaire correspond la matrice 2A − Idn ? Retrouver le résultat du
a).
IV) Discuter suivant la valeur de α ∈ R la nature de la conique d’équation
C : α(x2 + y 2 ) + 2(2 − α)xy + 4x − 4(α − 2)y + 9 − 4α = 0.
On en donnera en particulier une équation réduite et on précisera dans les coordonnées de départ le
centre et les axes principaux.
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V) Décomposition de Cartan. On rappelle qu’une matrice A de Mn (C) est hermitienne si A∗ = A, hermitienne positive si de plus ses valeurs propres sont ≥ 0, hermitienne définie positive si de plus ses
valeurs propres sont > 0 et unitaire si A∗ = A−1 .
a) On suppose



A=


λ1
0
0
..
.
λ2
..
.
...
..
.
..
.
0
...
0

0
.. 
. 


0 
λn
avec ∀i ∈ {1, . . . , n} , λi ∈ R+ .
Montrer qu’il existe une unique matrice hermitienne positive B que l’on déterminera telle que
A = B 2 . (Pour montrer qu’il n’y a qu’une matrice B, on expliquera pourquoi elle est diagonalisable
et on montrera que les vecteurs propres de B sont nécessairement des vecteurs propres de A avec
une relation entre les valeurs propres de B et A).
b) En déduire que pour toute matrice hermitienne positive A il existe une unique matrice hermitienne
positive B telle que A = B 2 .
c) Si A est une matrice complexe inversible de Mn (C), montrer qu’il existe un unique couple (U, H) ∈
Mn (C)×Mn (C) avec U unitaire et H hermitienne positive tel que A = U H.(Pour cela on vérifiera
que A∗ A est hermitienne définie positive et on utilisera le b) pour écrire A∗ A = B 2 ).
d) Que peut-on dire de plus si A, inversible, appartient à Mn (R) ?
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