1 Espaces vectoriels

1 Espaces vectoriels
Espaces vectoriels et matrices
Dans les exercices qui suivent Kd´esigne un corps commutatif et Vun Kespace vectoriel. On pr´ecise si V
est de dimension finie ou non.
1. Montrer que la r´eunion de deux sous-espaces vectoriels de Vest un sous-espace vectoriel si et seulement
si l’un est inclus dans l’autre.
2. Dans RR, comparer Vect(cos(nx))n∈Net Vect (cosnx)n∈N.
3. 1) Dans K[X], montrer qu’une suite de polynˆomes (Pi)i∈I,I⊂N, de degr´es distincts ((i6=j)⇒
(d(Pi)6=d(Pj))) est libre.
2) Dans RRmontrer que la famille (x→eαx)α∈Rest libre.
4. 1) Soit Xun ensemble et Pune partie non vide de X. Montrer que f∈KX,∀x∈P, f (x) = 0est
un sous-espace vectoriel de KX. Trouver un suppl´ementaire.
2) Dans RNon consid`ere l’ensemble Cdes suites convergentes et C0l’ensemble des suites convergeant
vers 0. Montrer que Cet C0sont des sous-espaces vectoriels de RN. Trouver un suppl´ementaire de
C0dans C.
5. Dans C[[X]], on consid`ere le sous-ensemble O[X] des s´eries formelles Pn∈NanXntelles que lim infn→∞ 1
|an|1/n >
0. V´erifier que O[X] est un sous-espace vectoriel (et mˆeme une sous-alg`ebre) de C[[X]]. (On appelle
O[X] l’espace des germes en 0 de fonctions analytiques. Sa g´en´eralisation `a Cnjoue un rˆole important
en g´eom´etrie alg´ebrique).
6. Pour f∈ L(V) montrer l’implication
(∀x∈V, ∃λx∈K, f(x) = λxx)⇒(∃λ∈K,∀x∈V, f(x) = λx).
7. 1) Montrer qu’une application continue f:R→Rqui v´erifie (f(x+y) = f(x) + f(y),∀x, y ∈R) est
R-lin´eaire, i.e.
∃λ∈R,∀x∈R, f(x) = λx.
2) Mˆeme question pour Cet Rn.
3) Que peut-on dire si on supprime l’hypoth`ese de continuit´e. (Indication : Tout sous-espace vectoriel
d’un espace vectoriel quelconque admet un suppl´ementaire. Utiliser ce r´esultat avec Qsous-espace
du Qespace vectoriel R.)
8. Soit Xun ensemble pr´eciser la nature de sous espace ⊕x∈XKde KX(KXest l’ensemble des applications
de Xdans K,⊕x∈XKest l’ensemble des applications de Xdans Kqui . . . ?). V´erifier que Xs’identifie
`a une base de ⊕x∈XK. Peut-on parler de l’ensemble de tous les espaces vectoriels sur K? (La r´eponse
est non. Le terme apropri´e est celui de cat´egorie. Une cat´egorie n’est pas n´ecessairement un ensemble.
Elle est d´efinie par ses objets et les morphismes entre ses objets. Ainsi la cat´egorie des ensembles a
pour objets les ensembles et comme morphismes les applications. La cat´egorie des Kespaces vectoriels
a pour objets les Kespaces vectoriels et pour morphismes les applications K-lin´eaires, on d´efinit ainsi
les cat´egories des groupes, anneaux, A-modules, corps, espaces topologiques, vari´et´es diff´erentielles. . .).
9. 1) Montrer qu’une application lin´eaire f∈ L(V) est une projection si et seulement si f◦f=f.
(Indication : consid´erer Ker fet Ker(f−Id) et ´ecrire x= (x−f(x)) + f(x).)
2) On suppose car K6= 2, montrer qu’une application lin´eaire f∈ L(V) si et seulement si f◦f= Id.
(Indication : consid´erer Ker(f−Id) et Ker(f+ Id) et ´ecrire x=1
2(x+f(x)) + 1 2(x−f(x)).)
3) Application : Dans R3identifier les applications lin´eaires dont les matrices sont
A=1
2
1−2−1
−1 2 1
1−2−1
et A=
201
010
−3 0 −2
.
1

10. D´eterminer dans RI,Iintervalle non r´eduit `a un point, la dimension de l’espace vectoriel engendr´e
par sin(x),sin(x+ 1) et sin(x+ 2).
11. Pivot de Gauss :
1) R´esoudre le syst`eme (K=R)
x1−x2+x3+x4= 3
2x1−x2+x3+x4= 2
3x1+2x2+x4=−4
3x1+x2+x3+2x4= 0.
2) Donner le noyau et l’image de (K=R)
A=
1 2 −1
2 3 0
3 4 1
4 5 2
.
3) Inverser si c’est possible la matrice (K=R)
A=
1 2 1
1 1 2
2 1 2 
et calculer son d´eterminant.
4) Discuter suivant la valeur de ppremier le rang de la matrice
A=
1−101
1 1 −1 1
0 1 1 1
1 0 1 0
∈M4(Z/pZ).
5) Trouver une base de l’espace vectoriel engendr´e par (K=R)
4
5
9
7
5
,
1
2
3
4
5
,
1
8
9
10
11
,
1
−1
0
−1
−2
.
6) Soit (α, β, γ)∈R3\ {(0,0,0)}, donner l’image et le noyau de
A=
α2αβ αγ
αβ β2βγ
αγ βγ γ2
.
Calculer Appour tout p∈N.
12. Inverser la matrice
A=
1a0 0
0 1 a0
0 0 1 a
0 0 0 1
dans M4(K) (a∈K).
13. Montrer que si Aest un anneau commutatif unitaire et K1est un corps plong´e dans Aalors Aest une
K-alg`ebre.
2

14. On suppose que Kest un corps fini, q=Card K<+∞.
1) Rappeler pourquoi car K=pest un nombre premier et Z/pZse plonge dans K.
2) En utilisant l’exercice XIII en d´eduire qu’il existe n∈Ntel que q=pn.
3) Montrer que les ´el´ements de Ksont les racines de Xq−Xet que Kn’est pas isomorphe en tant
que corps `a (Z/pZ)n. (Indication : On utilise dans cet exercice `a deux reprise que dans un groupe
fini l’ordre des ´el´ements divise l’ordre du groupe.)
15. Soit P(X) un polynˆome irr´eductible de K[X] de degr´e n.
1) Rappeler pourquoi K[X]/P est un corps contenant K.
2) Montrer que K[X]/P est l’anneau (corps) K[α] engendr´e par la classe de 1 qui est l’´el´ement unit´e
et la classe de Xnot´ee αet que c’est une Kalg`ebre de dimension finie.
3) Exemples : v´erifier que R[X]/(X2+ 1) est isomorphe en tant que corps et que R-espace vectoriel
`a C. V´erifier que Q[√2] est un sous-corps de C. Donner sa dimension comme Q-espace vectoriel.
4) V´erifier que P∈K[α][X] et admet αpour racine dans K[α].
5) On appelle corps de scindement du polynˆome Ple plus petit corps (on admet qu’il est unique `a
isomorphisme pr`es) dans lequel Pest scind´e (i.e. admet nracines). On le note KP. Montrer que
dimKKP≤n!.
6) Montrer que Q[X]/(X3−2) est isomorphe au sous anneau Q[21
3, i√3] de Cengendr´e par 21 3et
i√3. En d´eduire que Q[21
3, i√3] est un corps. Montrer que dimQQ[21 3, i√3] = 6 = 3!.(Indication
on montrera par l’absurde que dim QQ[21
3] = 3 puis que dimQ[2 1
3]Q[21
3, i√3] = 2).
7) Reprendre l’exercice 14 et montrer que Kest le corps de scindement de Xq−X∈Z/pZet que
dimZ/pZK= logp(q)< q!.
16. Soit f∈ L(V), VKespace vectoriel de dimension n. On suppose qu’il existe x0∈Vtel que
(x0, f(x0), . . . , fn−1(x0)) est une base de V.
1) Montrer qu’il existe a0, . . . , an−1∈Ktels que fn+an−1fn−1+··· +a0= 0 ∈ L(V).
2) Montrer que si g∈ L(V) v´erifie g◦f=f◦galors il existe λ0, . . . , λn∈Ktels que g=Pn−1
i=0 λifi∈
L(V).
3) En prenant une base de V, (e1, . . . , en) et en consid´erant les applications lin´eaires f+et f−donn´ees
par f+(ei) = ei+1 et f−(ei) = ei−1,i= 1 . . . n, avec en+1 =e−1= 0, montrer que le centre de
(L(V),◦) est l’ensemble des homth´eties vectorielles :
(∀f∈ L(V), g ◦f=f◦g)⇒(∃λ∈K, g =λId) .
17. Montrer par r´ecurrence sur la dimension que pour tout f∈ L(V), il existe un polynˆome P∈K[X] de
degr´e inf´erieur ou ´egal `a n= dim Vtel que P(f) = 0 ∈ L(V). (Indication on pourra utiliser l’exercice
pr´ec´edent).
18. Soient F, G, H trois sous-espaces vectoriels de V,Kespace vectoriel de dimension finie. Montrer
l’in´egalit´e
dim(F+G+H)≤dim(F)+dim(G)+dim(H)−dim(F∩G)−dim(G∩H)−dim(H∩F)+dim(F∩G∩H).
Donner un exemple dans R2o`u l’in´egalit´e est stricte.
19. Montrer que si car K6= 2 et a∈K, l’application Φ : K[X]→K[X] d´efinie par Φ(P)(X) =
P(X+a) + P(X) est un isomorphisme.
20. Interpolation de Lagrange : Soient n∈N∗, Ω un ouvert de K=Rou Cet x1, . . . , xnnpoints distincts
de Ω.
1) Montrer que l’application Φ : Kn−1[X]→Knd´efinie par Φ(P) = (P(x1), . . . , P (xn)) est un
isomorphisme.
3

2) D´eterminer la base des Pi,i= 1, . . . n telle que Φ(Li) = ei, o`u eiest le i-`eme vecteur de la base
canonique de Kn.
3) Ecrire le polynˆome solution de P(xi) = yi,i= 1 . . . n `a l’aide des polynˆomes Lide la question
pr´ec´edente.
21. Interpolation de Hermite. Soient n∈N∗, Ω un ouvert de K=Rou C,x1, . . . , xnnpoints distincts de
Ω et α1, . . . αnnentiers distincts. On pose m=Pn
iαi.
1) Montrer que l’application Φ : Km+n−1[X]→Km+nd´efinie par
Φ(P) = P(x1), . . . , P (α1)(x1), . . . , P (xn), . . . , P αn(xn)est un isomorphisme.
2) On note pour i= 1, . . . , m +n,Pile polynˆome tel que Φ(Pi) = ei, o`u eiest le i-`eme vecteur
de la base canonique de Km+n. Sans chercher `a les expliciter r´esoudre `a l’aide de ces polynˆomes
l’´equation
P(k)(xi) = yk,i,i= 1 . . . n,k= 0, . . . αi.
3) Expliciter la base des Pk,k= 0 . . . α1dans le cas o`u n= 1 et r´esoudre explicitement l’´equation du
2).
2 Formes lin´eaires et multilin´eaires
Formes, d´eterminants, r´eductions des endomorphismes.
Dans les exercices qui suivent Kd´esigne un corps commutatif (de caract´eristique nulle) et Vun Kespace
vectoriel. Sauf mention contraire, on supposera Vde dimension finie.
1. 1) A-t-on (F+G)⊥=F⊥∩G⊥et (F∩G)⊥=F⊥+G⊥.
2) Soient f1, . . . , fp,p´el´ements de V∗, montrer que si on a pour tout x∈Vl’implication
(f1(x) = ··· =fp(x) = 0) ⇒(g(x) = 0),
alors g∈V ect(f1, . . . , fp).
2. 1) Soient x1, . . . , xn,npoints distincts d’un ouvert Ω de K=Rou C. On note pour i= 1 . . . n,
ψila forme lin´eaire sur K[X] d´efinie par ψi(P) = P(xi). Montrer que les ψisont lin´eairement
ind´ependantes et que le sous-espace vectoriel ∩n
i=1 Ker ψiest un id´eal de K[X] dont on pr´ecisera
le g´en´erateur. En d´eduire que Kn−1[X] est un suppl´ementaire de ∩n
i=1 Ker ψi.
2) On prend maintenant K=Ret on prend trois r´eels distincts x1, x2et x3auxquels on associe les
forme ψ1,ψ2et ψ3sur R[X]. On consid`ere la forme ϕd´efinie par ϕ(P) = Rx2
x1P(x)dx. Montrer
que la famille (ψ1, ψ2, ψ3, ϕ) est libre si et seulement si x36=x1+x2
2.
3. Soient f1, . . . fp,pfonctions lin´eairement ind´ependantes de C0(I;R), Iintervalle compact de R. Montrer
qu’il existe pour tout (c1, . . . , cp)∈Rpune fonction h∈ C0(I;R) telle que RIh(x)fi(x)dx =ci, pour
tout i∈ {1, . . . , p}.
4. Montrer que tout sous-espace vectoriel de Vde dimension ppeut s’´ecrire comme l’intersection de n−p
hyperplans. (n= dim V.)
5. 1) Trouver une base duale de
1
3
3
,
2
2
2
,
3
2
3
dans R3et 
1
3
2
5
,
3
2
5
1
,
5
1
3
2
2
5
1
3
dans R4.
2) Trouver le rang du syst`eme
(S) : 
x1+2x2+3x3+4x4= 5
x2+3x3+2x3= 9
3x2+2x3+x4= 0.
Trouver aet btels que l’´equation suppl´ementaire 2x1−3x2+ax3+ 4x4=bne change pas
l’ensemble des solutions de (S).
4

6. 1) Pour tout n∈N, on note ϕnl’´el´ement de K[X]∗d´efini par
ϕn(Xi) = 0 si i6=n
1 si i=n.
La famille (ϕn)n∈Nest-elle libre dans K[X]∗? Est-elle g´en´eratrice ?
2) Montrer que le dual de K[X] s’identifie `a K[[X]].
3) Plus g´en´eralement, montrer que le dual de la somme directe ⊕i∈IVid’une famille (Vi)i∈Ide K
espace vectoriels est le produit Πi∈IV∗
i.
7. 1) Soit V1, . . . , Vp,pKespaces vectoriels de dimension finie. Montrer que le produit tensoriel V1⊗···⊗
Vpest solution du probl`eme universel suivant : Si West un Kespace vectoriel et ϕ:V1×···×Vp→
West multilin´eaire, alors il existe une unique application lin´eaire fϕ:V1⊗···⊗Vp→Vtelle que
∀(x1, . . . , xp)∈V1× ··· × Vp, ϕ(x1, . . . , xp) = fϕ(x1⊗ ··· ⊗ xp).
(Indication utiliser des bases Bide Vi,i= 1 . . . n).
2) On prend V1=··· =Vp=V. Ecrire le probl`eme universel satisfait par ∧pV. En d´eduire le rang
maximal d’une application p-lin´eaire altern´ee de Vpdans un K-espace vectoriel W.
8. D´eterminant de Vandermonde : On associe `a un p-uplet (α1, . . . , αp) de Kple d´eterminant
V(α1, . . . , αp) = 
1. . . 1
α1. . . αp
α2
1. . . α2
p
.
.
.. . . .
.
.
αp−1
1. . . αp−1
p
.
Montrer que V(α1, . . . , αn) = Πi<j (αj−αi). (Indication on consid`erera le polynˆome P(X) = V(X, α2, . . . , αn) ;
on cherchera ses racines et on calculera P(0).)
9. 1) On appelle wronskien en x∈Ide pfonctions f1, . . . , fpdans C∞(I;K), K=Rou Cet Iintervalle
de R, le d´eterminant
W[f1, . . . , fp](x) = det 
f1(x). . . fp(x)
f(1)
1(x). . . f(1)
p(x)
.
.
..
.
.
f(p−1)
1(x). . . f(p−1)
p(x)
.
Montrer l’implication
(∃x0∈I, W [f1, . . . , fp](x)6= 0) ⇒((f1, . . . , fp) libre) .
2) En d´eduire que la famille (eαx)α∈Rest libre dans C∞(I, R) ; que la famille (eαx)α∈Cest libre dans
C∞(I;C) ; que les familles (cos(αx))α∈Ret (sin(αx))α∈Rsont libres dans C∞(I, R).
10. Pour un n-uplet (a1, . . . , an)∈Cn, on consid`ere la matrice
A=
a1a2. . . an
ana1. . . an−1
.
.
..
.
..
.
..
.
.
a2a3. . . a1
.
On note ω=ei2π
n. Montrer que pour tout p∈ {0, . . . , n −1}, le vecteur Ωp=
1
ωp
.
.
.
(ωp)n−1
est
un vecteur propre de A. V´erifier que (Ω0,Ω1, . . . , Ωn−1) est une base de Cn. En d´eduire que Aest
diagonalisable et calculer det(A).
5