Mise à niveau licence 1 de mathématiques Les fonctions racine

1
Mise à niveau licence 1 de mathématiques
Les fonctions racine carrée, valeur absolue ou partie entière
Exercice 1.
Déterminer la limite de
1
2
++ xx
quand x tend vers
∞
−
.
Exercice 2.
Vérifier que
(
)
52651
2
−=−. A-t-on l'égalité 51526 −=− ?
Exercice 3.
On souhaite étudier la parité de la fonction f définie par 1)(
2
+= xxf .
Deux étudiants répondent à cette question de la façon suivante :
réponse a) )()( xfxf
−
=
donc f est paire
réponse b)
2
1
1)( x xxf +=
donc )()( xfxf
−
−
=
ce qui montre que f est impaire.
Que pensez-vous de ces réponses?
Exercice 4.
Déterminer
1
2
lim
2
1
−
−+
→
x
xx
x
.
Exercice 5.
a) Etudier la représentation graphique de la fonction partie entière de x
b) Étudier la représentation graphique de la fonction définie sur IR ∗ par :
)
1
()(
x
Exf =
c) Après avoir remarqué que, pour tout réel x, xxEx
≤
<
−
)(1 , donner un encadrement de
)
1
(
x
E
.
Exercice 6
Etudiez la représentation graphique de la fonction définie sur IR par )()( xExxf
−
=
.
Exercice 7.
Résoudre graphiquement et par le calcul :
a)
b)

2
Les fonctions sinus, cosinus et tangente
Exercice8 :
Etudier sur 
2
;0
π
la fonction définie par : xxxxg cossin)(
−
=
, et en déduire que pour tout x de
2
;0
π
on a : xxx sincos
≤
Exercice 9 :
Démontrer que pour tout réel positif ou nul x, .sin xx
≤
Exercice 10:
Résoudre dans R :
2
2
2sin
03cos5cos2
2
−
=
=−+
x
xx
Exercice 11:
Etudier les variations de la fonction tangente, et donner sa représentation graphique
L'élévation à la puissance.
Exercice 12.
Quel est le monôme de degré 3 dans )13)(52()(
223
+−+++= xxxxxxP ?
Exercice 13.
Trouver le terme de degré 2 dans
32
)32( ++ xx (on pourra réaliser un arbre).
Exercice 14.
Calculer ))()((
22
jzyjxzjjyxzyx ++++++ sachant que 01
2
=++ jj .

3
Les simplifications.
Exercice 15.
Montrer que la suite définie par son terme général
)!3(
3
n
a
u
n
n
=
, où a est un nombre réel strictement
compris entre 0 et 1 est une suite strictement décroissante.
Exercice 16.
Retrouver rapidement le résultat suivant: pour tout n entier naturel,
2
)1(
...21
+
=+++ nn n
.
En déduire, pour tout n entier naturel,
)!1(
..21
+
+
+
+
n
n
.
Exercice 17.
Démontrer que le produit de l'inverse de la somme de deux nombres et de la somme des inverses de
ces deux nombres est égal à l'inverse de leur produit.
Exercice 18.
Démontrer que
C
C
C
p
n
p
n
p
n
1
1
1+
+
+
=+ .
Exercice 15.
Soit ( n u ) la suite définie par son terme général n
n
n
u
4
2
= . Etudier le signe de
1
1
−
+
n
n
u
u
.
Exercice 16.
Soit f une fonction réelle définie par
x
x
xxf −
+
=1
1
)(
. Calculer )(' xf si
]
[
1,1
−
∈
x et étudier le
signe de 'fsur cet intervalle.
Le calcul usuel de limites.
Exercice 17.
calculer
n
n
n
)
1
1(lim +
∞→

4
Utiliser et établir des inégalités
Exercice 22.
Déterminer l'ensemble des réels x vérifiant l'inégalité 0
1
1
1 >
+
−
x
.
Un étudiant a répondu de la manière suivante:
La résolution algébrique de
x
+
>
1
1
1 est donnée par 1+x > 1 , c'est-à-dire x>0.
Qu'en pensez-vous? Plus précisément, dessiner les courbes des fonctions définies par
1
1
)(
+
=
x
xf
et
1
)
(
=
x
g
, puis résoudre graphiquement l'exercice proposé.
Exercice 23.
Etablir les inégalités:
a) pour tout nombre réel x,
)(sin)(sin 24 xx ≤
b) pou tout nombre réel xxx ≤ ∈sin,
2
,0
π
Exercice 26.
Déterminer un encadrement de
x
e
x
−
−
1
pour ∈2
1
;0x .
Exercice 27.
a) en utilisant les dérivées successives de la fonction
!
5
!
3
sin
53
xx
xx −+− , démontrer que, pour
tout nombre réel
0
≥
x
, on a
!
4
!
2
1cos
!
2
1
422
xx
x
x+−≤≤−
et
!
5
!
3
sin
!
3
533
xx
xx
x
x+−≤≤− .
b) déterminer la limite de
3
cossin
x
xxx
−
lorsque x tend vers 0, x> 0.
De la récurrence et des suites
Exercice 28:
Soit u la suite définie par :
∈∀+=
−=
+
Nn ,4
3
1
1
1
0
nn
uu
u

5
Et soit v la suite définie par : 6
1
−=
+nn
uv , .Nn
∈
∀
1) Montrer que v est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la
raison.
2) En déduire l’expression de
n
u de puis ,v
n
en fonction de n.
Exercice 29 :
Soit w la suite géométrique de premier terme 7
0
−=wet de raison
3
1.
Calculer :
n
www +++ ........
10
.
Exercice 30:
On considère la suite Nnn U
∈
)( définie par :
+
+
+
+
=
=
+
)1(2
)2(3
)1(2
1
1
1
n
n
u
n
n
u
u
nn
1. Démontrer que cette suite est majorée par 3.
2. Démontrer que cette suite est monotone.
3. Démontrer que cette suite est convergente. Calculer sa limite.
Des complexes
1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants, puis en
donner une écriture exponentielle :
a)
1
−
b)
2
i
−
c)
3
i+ d)
2
1
i
+
e)
1
13
i
−
f)
37
25
i
i
+
−
2. Déterminer une valeur approchée d’un argument de chacun des complexes suivants :
a)
35
i
+
b)
43
55
i
−−
3. Effectuer les calculs suivants en utilisant l’écriture la mieux adaptée :
a)
3
4
(3 3 )
( 3 )
i
i
−
−
b)
7
cos sin
77
i
ππ
+
c) Les égalités suivantes sont-elles vraies ?
3
3 1 3 1 3
( )(6 6 )
4 4 2
i
i i e
π
−
+−
+ + =
2002
(1 )
ii
−=−
4. Soit
32
( ) 5 17 13
P z z z z
= + + +
a. Démontrer que l’équation
( ) 0
Pz
=
admet une unique solution réelle.
b. Démontrer qu’il existe deux nombres réels a et b tels
que :
2
( ) ( 1)( )
P z z z az b
= + + +
, en déduire les solutions de l’équation
( ) 0.
Pz
=
5. a. Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes :
1
13
2
i
z− =
et
2
13
zi
=− −
,
puis calculer
3
1
z
, et
3
2
z
.