Mise à niveau licence 1 de mathématiques Les fonctions racine

Mise à niveau licence 1 de mathématiques
Les fonctions racine carrée, valeur absolue ou partie entière
Exercice 1.
Déterminer la limite de x + x 2 + 1 quand x tend vers − ∞ .
Exercice 2.
(
Vérifier que 1 − 5
2
)
= 6 − 2 5 . A-t-on l'égalité
6 − 2 5 = 1− 5 ?
Exercice 3.
On souhaite étudier la parité de la fonction f définie par f ( x) = x 2 + 1 .
Deux étudiants répondent à cette question de la façon suivante :
réponse a) f ( x ) = f (− x ) donc f est paire
réponse b) f ( x) = x 1 +
1
donc f ( x ) = − f ( − x) ce qui montre que f est impaire.
x2
Que pensez-vous de ces réponses?
Exercice 4.
Déterminer lim
x →1
x2 + x − 2
.
x −1
Exercice 5.
a) Etudier la représentation graphique de la fonction partie entière de x
1
x
b) Étudier la représentation graphique de la fonction définie sur IR ∗ par : f ( x ) = E ( )
c)
Après avoir remarqué que, pour tout réel x, x − 1 < E ( x ) ≤ x , donner un encadrement de
1
E( ) .
x
Exercice 6
Etudiez la représentation graphique de la fonction définie sur IR par f ( x ) = x − E ( x ) .
Exercice 7.
Résoudre graphiquement et par le calcul :
a)
b)
1
Les fonctions sinus, cosinus et tangente
Exercice8 :
 π
 la fonction définie par : g ( x ) = sin x − x cos x , et en déduire que pour tout x de
 2
Etudier sur 0;
 π
0; 2  on a : x cos x ≤ sin x


Exercice 9 :
Démontrer que pour tout réel positif ou nul x, sin x ≤ x.
Exercice 10:
Résoudre dans R :
2 cos 2 x + 5 cos x − 3 = 0
sin 2 x =
− 2
2
Exercice 11:
Etudier les variations de la fonction tangente, et donner sa représentation graphique
L'élévation à la puissance.
Exercice 12.
Quel est le monôme de degré 3 dans P ( x ) = ( x 3 + 2 x 2 + x + 5)( x 2 − 3 x + 1) ?
Exercice 13.
Trouver le terme de degré 2 dans ( x 2 + 2 x + 3) 3 (on pourra réaliser un arbre).
Exercice 14.
Calculer ( x + y + z )( x + jy + j 2 z )( x + j 2 y + jz ) sachant que 1 + j + j 2 = 0 .
2
Les simplifications.
Exercice 15.
Montrer que la suite définie par son terme général u n =
a 3n
, où a est un nombre réel strictement
(3n)!
compris entre 0 et 1 est une suite strictement décroissante.
Exercice 16.
Retrouver rapidement le résultat suivant: pour tout n entier naturel, 1 + 2 + ... + n =
En déduire, pour tout n entier naturel,
1 + 2 + .. + n
.
(n + 1)!
n(n + 1)
.
2
Exercice 17.
Démontrer que le produit de l'inverse de la somme de deux nombres et de la somme des inverses de
ces deux nombres est égal à l'inverse de leur produit.
Exercice 18.
Démontrer que
p
p +1
n
n
C +C
p +1
= C n +1 .
Exercice 15.
Soit ( u n ) la suite définie par son terme général u n =
u
n2
. Etudier le signe de n +1 − 1 .
n
un
4
Exercice 16.
Soit f une fonction réelle définie par f ( x) = x
1+ x
. Calculer f ' ( x ) si x ∈ ]− 1,1[ et étudier le
1− x
signe de f ' sur cet intervalle.
Le calcul usuel de limites.
Exercice 17.
1
n
calculer lim (1 + ) n
n →∞
3
Utiliser et établir des inégalités
Exercice 22.
Déterminer l'ensemble des réels x vérifiant l'inégalité 1 −
1
> 0.
1+ x
Un étudiant a répondu de la manière suivante:
La résolution algébrique de 1 >
1
est donnée par 1+x > 1 , c'est-à-dire x>0.
1+ x
Qu'en pensez-vous? Plus précisément, dessiner les courbes des fonctions définies par f ( x ) =
g ( x) = 1 , puis
1
et
x +1
résoudre graphiquement l'exercice proposé.
Exercice 23.
Etablir les inégalités:
a) pour tout nombre réel x,
b) pou tout nombre réel
sin 4 ( x ) ≤ sin 2 ( x )
 π
x ∈ 0, , sin x ≤ x
 2
Exercice 26.
Déterminer un encadrement de
e− x
1− x
pour
 1
x ∈ 0;  .
 2
Exercice 27.
a) en utilisant les dérivées successives de la fonction
sin x − x +
x3 x5
− , démontrer que, pour
3! 5!
x2
x2 x4
tout nombre réel x ≥ 0 , on a 1 −
≤ cos x ≤ 1 −
+
et
2!
2! 4!
x3
x3 x5
x−
≤ sin x ≤ x −
+ .
3!
3! 5!
sin x − x cos x
b) déterminer la limite de
lorsque x tend vers 0, x> 0.
x3
De la récurrence et des suites
Exercice 28:
u 0 = −1

Soit u la suite définie par : 
1
u n +1 = 3 u n + 4, ∀n ∈ N
4
Et soit v la suite définie par : v n +1 = u n − 6 , ∀n ∈ N .
1) Montrer que v est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la
raison.
2) En déduire l’expression de v n , puis de u n en fonction de n.
Exercice 29 :
Soit w la suite géométrique de premier terme w0 = −7 et de raison
1
.
3
Calculer : w0 + w1 + ........ + wn .
Exercice 30:
u1 = 1

On considère la suite (U n ) n∈N définie par : 
n
3(n + 2)
u n +1 = 2(n + 1) u n + 2(n + 1)

1. Démontrer que cette suite est majorée par 3.
2. Démontrer que cette suite est monotone.
3. Démontrer que cette suite est convergente. Calculer sa limite.
Des complexes
1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants, puis en
donner une écriture exponentielle :
a) −1 b) −2i c) i + 3 d)
1
2
3 + 7i
e)
f)
1+ i
2 − 5i
1− i 3
2. Déterminer une valeur approchée d’un argument de chacun des complexes suivants :
a) 3 + 5i b) −
4 3
− i
5 5
3. Effectuer les calculs suivants en utilisant l’écriture la mieux adaptée :
a)
(3 − 3i )3
( 3 − i )4


b)  cos
π
7
+ i sin
π
7
 c) Les égalités suivantes sont-elles vraies ?
7
π
3 +1
3 −1
3 −i
(
+i
)(6 + 6i ) = e 3
4
4
2
2002
(1 − i )
= −i
4. Soit P ( z ) = z 3 + 5 z 2 + 17 z + 13
a. Démontrer que l’équation P ( z ) = 0 admet une unique solution réelle.
b. Démontrer qu’il existe deux nombres réels a et b tels
que : P ( z ) = ( z + 1)( z 2 + az + b) , en déduire les solutions de l’équation P ( z ) = 0.
5. a. Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes : z1 =
1− i 3
et z2 = −1 − i 3 ,
2
puis calculer z13 , et z23 .
5