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Introduction Rx
af(t)dtCalcul Annexes
Calcul Intégral - Equations Différentielles
M211-1
Michel Fournié
[email protected]
http://www.math.univ-toulouse.fr/ ˜fournie/
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Table des matières
1Introduction
Préliminaires, Rappels
Valeurs approchées - Intégrale définie
Propriétés
Formule de la moyenne
2Intégrale définie en fonction de sa borne supérieure
3Calcul d’une intégrale définie
4Annexes - Démonstrations
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Rappels
Préliminaires, Rappels
Définition : Intégrale définie
•Soit fdéfinie continue sur I= [a,b]telle que f(x)>0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.5 1 1.5 2 2.5
x
•On peut alors délimiter une surface par :
le graphe de f, l’axe Ox, les droites x=a,x=b,
puis lui associer un nombre réel noté Sappelé
aire de la surface
(l’unité de mesure étant un cube de coté 1).
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Approximation
Valeurs approchées - Intégrale définie
•Une valeur approchée Inde Speut
être obtenue en partageant Ien nparties
égales :
x0=a,··· ,xk=a+kb−a
n,··· ,xn=b
Subdivision avec n=5
(b-a)/n
b
a
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.5 1 1.5 2 2.5
x
•et en calculant la somme des aires
des rectangles de base b−a
net de hauteur
f(x1),··· ,f(xn):
In=b−a
n[f(x1) +···+f(xk) +···+f(xn)]
Valeur approchØe =5.470628265
Valeur exacte =5.443664273
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.5 1 1.5 2 2.5
x
Définition (Propriété admise):
Si fest continue sur I= [a,b]alors lim
n−→+∞In=I.
Isera appelée intégrale définie de la fonction fcontinue entre
les bornes aet b
Animation Maple
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Propriétés
Propriétés
Proposition (Linéarité):
Zb
a
f(x) + g(x)dx=Zb
a
f(x)dx+Zb
a
g(x)dx
Zb
a
λf(x)dx=λZb
a
f(x)dx
Démonstration
Proposition :
Za
a
f(x)dx=0
Zb
a
f(x)dx+Zc
b
f(x)dx=Zc
a
f(x)dx(Chasles)
Zb
a
f(x)dx=−Za
b
f(x)dx
Démonstration
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