Exercice 1

Exercice 1
On doit retourner la carte avec un A au verso pour vérifier la règle
Si derrière le 3 , il y a une voyelle alors la règle est contredite. On doit donc vérifier qu'il y a
une consonne derrière le 3.
Derrière le B, il peut y avoir un nombre pair ou impair , donc on ne la retourne pas
Si derrière le 4, il y a une consonne, alors la règle n'est pas contredite et si c'est une voyelle,
alors la règle est vérifiée, donc il ne sert à rien de retourner 4.
Exercice 2 : Le but de cet exercice est de prouver que 2 n'est pas un rationnel
A) forme des nombres pairs et impairs
1) Les nombres affichés sont 0,2,4,6,8,10
Les nombres de la forme 2k où k est un entier naturel , sont les nombres pairs
2) On considère l'algorithme suivant :
Les nombres affichés sont 1,3,5,7,9,11
Les nombres de la forme 2k + 1 où k est un entier naturel, sont les nombres impairs
3) a) Si n est impair , alors n = 2k + 1 (k entier) ,
donc n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 = 2k' + 1 est impair
b) Si n² est pair , n ne peut pas être impair , sinon n² serait impair d'après la question
précédente, donc n est pair
B) Supposons qu'il existe deux nombres entiers p et q tels que 2 = p
q
avec p
q fraction irréductible .
1) 2 = p
q donc p = 2q , donc p² =
( )
2q
2
= 2q²
donc d'après la partie A , p² est pair , et p est pair
La fraction p
q est irréductible, donc q est forcément impair.
2) Comme p est pair , p = 2k avec k entier
p² = 2q² , donc (2k)² = 2q² , donc 4k² = 2q² , puis q² = 2k² .
On en déduit que q² est pair , donc q est pair
3) On a montré que q était à la fois pair et impair, ce qui est impossible
Donc l'hypothèse de départ est fausse et 2 n'est pas un rationnel.

Exercice 3
Le but de cet algorithme est de tracer la droite perpendiculaire à (d) passant par A
Par construction , M et N sont sur le même cercle de centre A, donc AM = AN
Par construction , M et B sont sur le même cercle de centre N , donc NB = NM
N et B sont sur le même cercle de centre M , donc MN = MB
Des deux dernières égalités, on déduit que BN = BM
A et B sont à égale distance de M et N , donc (AB) est la médiatrice de [MN], donc (AB) est
perpendiculaire à (MN) , donc à (d).