Fonction exponentielle

Chapitre 6
Fonction exponentielle
I. DEFINITION
Définition
Pour tout réel a, on appelle exponentielle de a et on note exp(a), l'unique réel b tel que ln b=a .
Remarques
• On a donc ln(exp( a))=a.
•
ln(1)=0 donc exp (0)=1
•
ln(e)=1 donc exp (1)=e
• par exemple, si ln x=2 alors exp (2)= x et d'après le chapitre précédent x =e 2 donc
exp (2)=e 2
Cette dernière remarque nous conduit à la définition suivante :
Définition
Pour tout réel x, on pose : exp ( x)=e x .
On définit alors une fonction, appelée fonction exponentielle.
II. PROPRIETES ALGEBRIQUES
Propriétés
Pour tout réel a, et tout réel strictement positif b, on a :
a
•
•
e >0
•
ln b=a ⇔ b=e a
•
ln e a =a et e ln b =b
•
•
•
e
x+ y
x
=e e
y
1
=e−x
x
e
ex
=e x−y
y
e
(e x )n =e nx
Exercice 1. Application : Calculs avec des exponentielles
1) Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x )=5−2 x+e x .
Calculer f (0) , f (ln 2) , et f (3ln 5).
3−e x
2) Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x)=
.
5+e 2 x
ln 2
.
Calculer f (0) , f (ln 4) et f
2
8e x
3) Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x)= x+7+
.
5+e x
Calculer f (0) et f (ln 3).
( )
Chapitre 6 : Exponentielle
1
Exercice 2. Application : Modification d'expressions
1) Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x)= −e2 x +2 x+3 e x −6.
Montrer que
2)
Soit f la fonction définie sur ℝ par
Montrer que
3)
a)
f ( x)=e x (−e x+2 x e− x +3−6e − x).
f ( x)=6 e −x −3 e x +3.
f ( x)=3(e− x +1)(2−e x ).
Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur ℝ , simplifier l'expression proposée :
f ( x)=e x+ln 7
b)
f ( x)=(e x )3
c)
f ( x)=
1
e− x+ln 2
d)
f ( x)=e 3 ln x
Exercice 3. Application : Résolution d'équations
Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
2 e x +5=0
1)
2
5+ x =6
2)
e
3)
5ln x= −3
3e 5 x −15=0
4)
1
− ln x+4=0
5)
3
Exercice 4. Application : Résolution d'inéquation
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x)=5(e x −3)(2 e−2x +8).
Résoudre l'inéquation f ( x)≥0.
III. ETUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
1)
Ensemble de définition
Propriété
La fonction exponentielle est définie sur ℝ par x → e x .
2)
Fonction dérivée et sens de variation
Propriétés
La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et sa fonction dérivée est … elle-même :
La fonction f définie sur ℝ par f ( x )=e x est dérivable sur ℝ et sa fonction dérivée est :
f ' ( x )=e x .
Conséquence
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ car sa dérivée est strictement positive
sur ℝ .
Remarque : pour obtenir cette propriété, il suffit de dériver chaque côté de l'égalité suivante :
x
ln (e )= x.
Chapitre 6 : Exponentielle
2
Exercice 5 : Calculs de dérivées
Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction f définie sur I.
a) f ( x )=(x 2+3)e x et I =ℝ
ex
b) f ( x )=
et I=]−∞;0 [∪] 0 ;+∞ [
x
1
c) f ( x)= −e x et I =]−∞; 0 [
x
3)
Limites
Propriétés : Limites de la fonction exponentielle
x
•
lim e =+∞
x →+∞
•
x
lim e =0
x →−∞
Exercice 6
Déterminer les limites aux bornes de leur ensemble de définition des fonctions f définies ci-dessous :
1
f ( x)= +3 e x ; I=]0 ;+∞[
1)
x
ex
2)
f ( x )=
; I =]0 ; 1 [
ln x
Propriété : Croissances comparées
x
e
Pour tout entier naturel n : lim n =+∞
x →+∞ x
Exercice 7
L'objectif est de déterminer les limites suivantes :
e x +2014
lim (e x− x 2014 )
a)
b)
lim
x
x →+∞
x →+∞
1)
Vérifier que chacune des limites correspond à une forme indéterminée.
2)
Déterminer chacune des limites après avoir remarqué que :
ex
e x +2014 e x 2014
a)
b) e x− x 2014 =x 2014 2014 −1
= +
x
x
x
x
(
4)
Tableau de variations et courbe
Tableau de variation de la fonction
exponentielle
Soit f la
x
f ( x )=e .
définie
−∞
x
f ' ( x )=e
f ( x )=e
fonction
)
c)
c)
x3
x
x →+∞ e
lim
x3
1
x =
x
e
e
3
x
( )
Courbe représentative de la fonction
exponentielle
sur ℝ par
+∞
+
x
+∞
x
0
Chapitre 6 : Exponentielle
3
Conséquence
La fonction exponentielle est strictement croissante donc : pour tous réels a et b :
e a <eb si et seulement si a<b.
IV.
FONCTIONS DE TYPE exp(u)
1)
Limites
Propriété
Soit u une fonction définie sur un intervalle I de ℝ .
On considère les limites suivantes en un nombre réel, ou en +∞ ou −∞ .
• si lim u( x)=+∞ alors lim eu (x)=+∞
x → ...
x → ...
x → ...
x → ...
•
si lim u ( x)= −∞ alors lim eu (x)=0
•
si lim u( x)=a avec a ∈ℝ , alors lim eu (x)=e a
x → ...
x → ...
Exemple
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x )=e−2 x+3 . Déterminer les limites de f aux bornes de son
ensemble de définition.
•
lim −2 x+3=+∞ donc lim e−2 x+3=+∞ c'est-à-dire lim f ( x)=+∞
•
x →−∞
x →−∞
x →+∞
x →+∞
x →−∞
lim −2 x+3=−∞ donc lim e−2 x+3 =0 c'est-à-dire lim f ( x)=0
x →+∞
Exercice 8 : Limites de fonctions de type e u
Déterminer les limites des fonctions f aux bornes de leur ensemble de définition I.
1
2)
1)
f ( x)=e x+2 ; I =]2;+∞[
2)
3)
f ( x)=e x ; I =]−∞; 0 [
− x +1
f ( x )=e
; I =ℝ
3+
1
2
Dérivée
Propriété
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ .
La fonction e u est dérivable sur ℝ et (e u )'=u ' e u .
Autrement dit, soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x )=e u(x ) . f est dérivable sur ℝ et
f ' ( x )=u ' ( x) e u(x) .
Exemple
x −2 x
. Calculer la dérivée de f.
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x )=e
u
2
On reconnaît la forme e avec u( x )= x −2 x donc u ' ( x)=2 x−2 .
x −2 x
.
Rappel : (e u )'=u ' e u . Donc : f ' ( x )=(2 x−2) e
2
2
Exercice 9
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, dérivables sur ℝ .
e− x
1) f ( x)=e 3 x
2) f ( x)= x e− 2 x
3) f ( x )= 2 .
t
Chapitre 6 : Exponentielle
4
3)
Primitives
Propriété
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ , de fonction dérivée u'.
Une primitive de la fonction u ' e u est la fonction e u .
Autrement dit, si f ( x )=u ' ( x)e u( x) alors une primitive de la fonction f est la fonction F définie
sur I par F ( x )=e u(x) .
Exemple
x +3
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x )=2 x e . Déterminer une primitive de la fonction f.
Solution :
On reconnaît la forme u ' e u avec u( x )= x 2 +3 d'où u ' ( x)=2 x donc une primitive de la
fonction f sur ℝ est e u c'est-à-dire :
x +3
F ( x )=e .
x +3
Rappel : l'ensemble des primitives de la fonction f est de la forme F ( x )=e +c où c est une
constante réelle.
2
2
2
Exercice 10 : Calcul de primitives
Déterminer les primitives des fonctions f définies sue ℝ:
3 x −7x
a) f ( x )=(6 x−7)e
b) f ( x )=e 3 x
2
Chapitre 6 : Exponentielle
c)
f ( x )= x e
x 2+3
5