Fonction exponentielle

Chapitre 6
Fonction exponentielle
I. DEFINITION
Définition
Pour tout réel a, on appelle exponentielle de a et on note exp(a), l'unique réel b tel que
ln b=a.
Remarques
•On a donc
ln(exp(a))=a.
•
ln(1)=0
donc
exp (0)=1
•
ln(e)=1
donc
exp (1)=e
•par exemple, si
ln x=2
alors
exp (2)=x
et d'après le chapitre précédent
x=e2
donc
exp (2)=e2
Cette dernière remarque nous conduit à la définition suivante :
Définition
Pour tout réel x, on pose :
exp (x)=ex.
On définit alors une fonction, appelée fonction exponentielle.
II.PROPRIETES ALGEBRIQUES
Propriétés
Pour tout réel a, et tout réel strictement positif b, on a :
•
ea>0
•
ln b=a⇔b=ea
•
ln ea=a
et
eln b=b
•
ex+y=exey
•
1
ex=e−x
•
ex
ey=ex−y
•
(ex)n=enx
Exercice 1. Application : Calculs avec des exponentielles
1) Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=5−2x+ex.
Calculer
f(0), f (ln 2), et f(3 ln 5).
2) Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=3−ex
5+e2x.
Calculer
f(0), f (ln 4) et f
(
ln 2
2
)
.
3) Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=x+7+8ex
5+ex.
Calculer
f(0) et f(ln 3).
Chapitre 6 : Exponentielle 1

Exercice 2. Application : Modification d'expressions
1) Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=−e2x+2x+3ex−6.
Montrer que
f(x)=ex(−ex+2x e−x+3−6e−x).
2) Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=6e−x−3ex+3.
Montrer que
f(x)=3(e−x+1)(2−ex).
3) Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur
ℝ,
simplifier l'expression proposée :
a)
f(x)=ex+ln 7
b)
f(x)=(ex)3
c)
f(x)= 1
e−x+ln 2
d)
f(x)=e3ln x
Exercice 3. Application : Résolution d'équations
Résoudre dans
ℝ
les équations suivantes :
1)
2ex+5=0
2)
5+2
ex=6
3)
5ln x=−3
4)
3e5x−15=0
5)
−1
3ln x+4=0
Exercice 4. Application : Résolution d'inéquation
Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=5(ex−3)(2e−2x+8).
Résoudre l'inéquation
f(x)≥0.
III. ETUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
1) Ensemble de définition
Propriété
La fonction exponentielle est définie sur
ℝ
par
x→ex.
2) Fonction dérivée et sens de variation
Propriétés
La fonction exponentielle est dérivable sur
ℝ
et sa fonction dérivée est … elle-même :
La fonction f définie sur
ℝ
par
f(x)=ex
est dérivable sur
ℝ
et sa fonction dérivée est :
f ' (x)=ex.
Conséquence
La fonction exponentielle est strictement croissante sur
ℝ
car sa dérivée est strictement positive
sur
ℝ.
Remarque : pour obtenir cette propriété, il suffit de dériver chaque côté de l'égalité suivante :
ln (ex)=x.
Chapitre 6 : Exponentielle 2

Exercice 5 : Calculs de dérivées
Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction f définie sur I.
a)
f(x)=(x2+3)ex et I=ℝ
b)
f(x)=ex
x et I=]−∞;0 [∪] 0 ;+∞ [
c)
f(x)=1
x−ex et I=]−∞; 0 [
3) Limites
Propriétés : Limites de la fonction exponentielle
•
lim
x→+∞
ex=+∞
•
lim
x→−∞
ex=0
Exercice 6
Déterminer les limites aux bornes de leur ensemble de définition des fonctions f définies ci-dessous :
1)
f(x)=1
x+3ex ; I=]0 ;+∞[
2)
f(x)= ex
ln x ; I=]0 ; 1[
Propriété : Croissances comparées
Pour tout entier naturel n :
lim
x→+∞
ex
xn=+∞
Exercice 7
L'objectif est de déterminer les limites suivantes :
a)
lim
x→+∞
ex+2014
x
b)
lim
x→+∞
(ex−x2014)
c)
lim
x→+∞
x3
ex
1) Vérifier que chacune des limites correspond à une forme indéterminée.
2) Déterminer chacune des limites après avoir remarqué que :
a)
ex+2014
x=ex x+2014 x
b)
ex−x2014=x2014
(
ex
x2014 −1
)
c)
x3
ex=1
(
ex
x3
)
4) Tableau de variations et courbe
Tableau de variation de la fonction
exponentielle
Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=ex.
x
−∞
+∞
f ' (x)=ex
+
f(x)=ex
+∞
0
Courbe représentative de la fonction
exponentielle
Chapitre 6 : Exponentielle 3

Conséquence
La fonction exponentielle est strictement croissante donc : pour tous réels a et b :
ea<eb
si et seulement si
a<b.
IV. FONCTIONS DE TYPE exp( u )
1) Limites
Propriété
Soit u une fonction définie sur un intervalle I de
ℝ.
On considère les limites suivantes en un nombre réel, ou en
+∞
ou
−∞ .
•si
lim
x→...
u(x)=+∞
alors
lim
x→...
eu(x)=+∞
•si
lim
x→...
u(x)=−∞
alors
lim
x→...
eu(x)=0
•si
lim
x→...
u(x)=a
avec
a∈ℝ ,
alors
lim
x→...
eu(x)=ea
Exemple
Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=e−2x+3.
Déterminer les limites de f aux bornes de son
ensemble de définition.
•
lim
x→−∞ −2x+3=+∞
donc
lim
x→−∞
e−2x+3=+∞
c'est-à-dire
lim
x→−∞
f(x)=+∞
•
lim
x→+∞ −2x+3=−∞
donc
lim
x→+∞
e−2x+3=0
c'est-à-dire
lim
x→+∞
f(x)=0
Exercice 8 : Limites de fonctions de type
eu
Déterminer les limites des fonctions f aux bornes de leur ensemble de définition I.
1)
f(x)=e
1
x+2 ; I=]2 ;+∞[
2)
f(x)=e3+1
x ; I=]−∞; 0 [
3)
f(x)=e−x2+1 ; I=ℝ
2) Dérivée
Propriété
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de
ℝ.
La fonction
eu
est dérivable sur
ℝ
et
(eu)'=u ' eu.
Autrement dit, soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=eu(x).
f est dérivable sur
ℝ
et
f ' (x)=u ' (x)eu(x).
Exemple
Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=ex2−2x.
Calculer la dérivée de f.
On reconnaît la forme
eu
avec
u(x)=x2−2x
donc
u ' (x)=2x−2 .
Rappel :
(eu)'=u ' eu.
Donc :
f ' (x)=(2x−2)ex2−2x.
Exercice 9
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, dérivables sur
ℝ.
1)
f(x)=e3x
2)
f(x)=x e−2x
3)
f(x)=e−x
t2.
Chapitre 6 : Exponentielle 4

3) Primitives
Propriété
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de
ℝ,
de fonction dérivée u'.
Une primitive de la fonction
u ' eu
est la fonction
eu.
Autrement dit, si
f(x)=u' (x)eu(x)
alors une primitive de la fonction f est la fonction F définie
sur I par
F(x)=eu(x).
Exemple
Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=2x ex2+3.
Déterminer une primitive de la fonction f.
Solution :
On reconnaît la forme
u ' eu
avec
u(x)=x2+3 d'où u ' (x)=2x
donc une primitive de la
fonction f sur
ℝ
est
eu
c'est-à-dire :
F(x)=ex2+3.
Rappel : l'ensemble des primitives de la fonction f est de la forme
F(x)=ex2+3+c
où c est une
constante réelle.
Exercice 10 : Calcul de primitives
Déterminer les primitives des fonctions f définies sue
ℝ:
a)
f(x)=(6x−7)e3x2−7x
b)
f(x)=e3x
c)
f(x)=x e x2+3
Chapitre 6 : Exponentielle 5