Licence de Mathématiques - Espace Pédagogique Claroline

Université de Montpellier II Année Universitaire 2013-2014
Faculté des Sciences
Mathématiques
Licence de Mathématiques : Troisième Année
GLMA 506 Analyse Numérique des Équations
différentielles ordinaires
Pascal Azerad - Michel Cuer
13 décembre 2013

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Table des matières
0.1 Organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.3 Signification des termes utilisés dans le programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Représention des nombres en machines et arithmétiques des ordinateurs 10
1.1 La représentation des nombres en machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Le codage des entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Le codage des flottants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Quelques particularités des calculs en flottants illustrées par des exemples . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Calcul d’une somme évidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Calcul de πpar la méthode d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Un autre exemple d’élimination catastrophique de décimales. . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Un dernier exemple : un calcul rapide d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Appendice A Le code float.gui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Résolution des équations scalaires non linéaires 23
2.1 Quelques rappels d’analyse réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Deux démonstrations du théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1.1 Première démonstration théorique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1.2 Deuxième démonstration constructive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Le théorème du point fixe de Banach et la méthode des approximations successives . . 24
2.2 La méthode de Newton (ou de Newton-Raphson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Première démonstration. Cas où fest de classe C2, strictement monotone et convexe
ou concave et change de signe sur un intervalle [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Deuxième démonstration : convergence locale au voisinage d’un zéro ξoù f′(ξ)6= 0
qui englobe le cas d’un zéro qui est un point d’inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Quelques procédés d’accélération de convergence de suites qui font plutôt parties de notions
élémentaires d’analyse numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 La méthode d’accélération de convergence appelée ∆2d’Aitken . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Le procédé ∆2diagonal et la méthode de Aitken-Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Les méthodes de la fausse position, de la sécante et l’algorithme de Dekker-Brent . . . . . . . 31
2.4.1 Les méthodes de la fausse position et de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1.1 La méthode de la fausse position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1.2 La méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 L’algorithme de Dekker-Brent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Compléments : notions sur le calcul de zéros multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Appendice Le code fzerotx.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7 TD et TP des deux premiers chapitres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Interpolation. 60
3.1 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.1 Existence et unicité du polynôme d’interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.2 Interpolation et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 Phénomène de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
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