DM 9, bis : fractions égyptiennes Introduction La

D.M. 9, bis : fractions ´egyptiennes
Pour le lundi 17 d´ecembre
Introduction
ll y a environ 4000 ans, les ´egyptiens invent`erent une curieuse arithm´etique des fractions qui
repose sur l’´ecriture de tous les nombres rationnels entre 0 et 1 comme somme de fractions dont le
num´erateur vaut toujours 1, c’est-`a-dire de la forme 1
n, qu’on appelera ici fractions unit´es et dont
les d´enominateurs sont deux `a deux distincts. Par exemple, 2
3est la somme de 1 2et 1 6. De telles
sommes sont appel´ees fractions egyptiennes. Comme autres exemples une fraction ´egyptienne pour
3
5est 1 2+1 10 ou encore 6 19 =1 4+1 19 +1 76 .
1. Exprimer 4
5,9 10 et 11 12 comme fractions ´egyptiennes.
2. Trouver deux fractions ´egyptiennes diff´erentes pour 7
12 .
N.B. Pour jouer le jeu, vous devez r´esoudre 1. et 2. avant de lire la suite !
La m´ethode de Fibonacci
1. Algorithme pour ´ecrire les nombres entre ]0,1[ comme fraction ´egyptienne :
Cet algorithme n’est pas ´egyptien : on ne connaˆıt pas la m´ethode des ´eqyptiens. Il est de 1202, dˆu `a
Leonardo di Pisa, plus connu sous le nom de Fibonacci.
Id´ee : soit x=a/b ∈Q∩]0,1[ avec a∧b= 1. Soit n0le plus petit entier naturel tel que
1/n0≤x.
On pose x1=x−1
n0=a1/b1avec a1∧b1= 1.
Et on recommence pour x1(on a un n1etc..).
(a) Justifier que 0 ≤a1< a. Qu’en conclure sur l’algorithme ?
(b) Justifier que l’on a bien n0< n1<· · · < nk.
(c) Appliquer cet algorithme `a 6
19 . Le r´esultat est-il identique `a la d´ecomposition ci-dessus ?
2. Un d´etour par la s´erie harmonique : pour tout n∈N∗, on note Hn=
n
X
k=1
1
k. On va montrer
que Hn−→
n→+∞
+∞.
(a) Justifier que (Hn) a une limite dans R∪ {+∞}.
(b) Montrer que pour tout n∈N,H2n−Hn≥1
2.
(c) Conclure.
3. Ecriture de 1 avec des d´enominateurs aussi grands qu’on veut :
(a) Soit nun entier ≥2. Montrer qu’il existe p>ntel que :
1
n+1 n+ 1 +· · · +1 p−1<1≤1 n+1 n+ 1 +· · · +1 p.
(b) En d´eduire que pour tout n∈N, on peut ´ecrire 1 comme une fraction ´egyptienne dont
toutes les fractions ont des d´enominateurs plus grands que n.
4. En d´eduire que tout nombre dans Q+∗peut s’´ecrire comme une fraction ´egyptienne.
MPSI 1 1D.M. 9, bis