Leçon 231 - site de Vincent obaton

Leçon 231
Espérance, Variance, Covariance, Loi faible des grands nombres ...
I. Espérance d'une v.a.r : E(X)
Définition :
v.a.r discrète
Si
∑
k1
xkpX=xk
CA alors E(X) =
∑
k1
xkpX=xk
v.a.r continue à densité f
Si
∫
ℝ
tf tdt
CA alors E(X) =
∫
ℝ
tf tdt
Interprétation :
Moyenne des valeurs prises pndérée par leurs proba.
Ex : Si X représente un gain au jeu alors E(X)
représente le gain moyen que l'on peut espérer.
E(X)=0 ( Equilibré )
E(X)<0 On peut espérer perdre plus que l'on gagne.
Exemples d'espérances :
Loi de Bernouilli : E(X) = p
Loi de poisson : E(X) = 
Loi uniforme : E(X) =
ab
2
Loi exponentielle : E(X) =
1
Propriétés :
1)
v.a.r discrète :
Si  est une application de ℝ dans ℝ telle que (X) admet une espérance
alors E((x))=
∑
k1
 xkpX=xk
v.a.r continue à densité f
Si  est une application de ℝ dans ℝ continue sur Y() telle que (X) admet une espérance
alors E((X))=
∫
ℝ
tftdx
Ex : Si X admet une espérance
E(aX+b) = aE(X)+b
2 ) Si X et Y admettent une espérance
alors E( X + Y ) = E( X ) + E ( Y )
3 ) Si X et Y sont indépendantes E(XY)=E(X)E(Y)
II. Variance et écart-type
Définition :
Si X est une v.a.r, si X² ( et par suite X ) admet une espérance alors X admet :
Une variance V(X) = E [ (X – E(X))² ]
Formule de Huyghens : V(X) = E(X²) – E²(X)
Un écart-type (X) =
VX
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v.a.r discrète
V(X) =
∑
k1
xk−EX²pX=xk
v.a.r continue à densité f
V(X) =
∫
ℝ
t−EX²f tdt
Interprétation :
Deux v.a.r peuvent avoir la même espérance tout en présentant des caractéristiques de dispersion différentes.
On mesure la dispersion grâce à la variance et l'écart-type.
Exemples de variances :
Loi de Bernouilli V(X) = pq
Loi de Poisson V(X) = 
Loi uniforme V(X) =
b−a²
12
Loi exponentielle V(X) =
1
²
Propriétés :
1 ) Si X admet une variance V(aX+b)=a²V(X)
2 ) Si X et Y indépendants V(X+Y)=V(X)+V(Y)
III.Covariance
Définition :
Si X et Y admettent une variance ( XY admet une espérance ), on définit la covariance comme :
Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = E(XY) – E(X)E(Y)
Propriétés :
1 ) Cov(X,Y) = Cov(Y,X) ( Symétrique )
2 ) Cov est bilinéaire ( linéaire par rapport à X et Y )
3 ) Si X et Y indépendantes Cov(X,Y)=0 ( récip fausse )
4 ) Si
X1, ... , X n
v.a.r admettent une espérance alors
VX1...Xn=∑
i=1
i=n
VXi2∑
1 ijn
Cov Xi, X j
Conséquence
si
Xiet X j
indépendants ∀ i ≠j alors
V∑Xi=∑VXi
IV.Loi faible des grands nombres
Définition :
On dit que
Xnn1
cv en probabilité vers X si
∀ 0 lim
∞
p
∣
Xn−X
∣
=0
Inégalité de Biénaymé-Tchebychev
Soit X une v.a.r admettant une variance
∀ 0 p
∣
X−EX
∣
Vx
²
Théorème : Loi faible des grands nombres
Soit
Xnn1
suite de v.a.r de même loi, deux à deux indépendantes et admettant une variance.
Posons
Sn=
∑
i=1
n
Xi
n
alors
Sn
cv en probabilité vers la v.a.r égale à
EXn
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donc
∀ 0 lim
∞
p
∣
Sn−E
∣
=0
V. Application :
On lance une pièce n fois.
Trouver n tq
p0,46 Sn
n0,540,95
Développements possibles
1. Démonstratin du théorème de la loi faible des grands nombres et de l'inégalité de Biénaymé-Tchebychev
2. Les propriétés de l'espérance :
- Si X admet une espérance
E(aX+b) = aE(X)+b
- Si X et Y admettent une espérance
alors E( X + Y ) = E( X ) + E ( Y )
- Si X et Y sont indépendantes E(XY)=E(X)E(Y)
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