Fiche 8 Lois continues (3) - Cours en Ligne

Fiche&8&Lois&continues&(3)&
Lois&Normales&(ou&Gaussiennes)&
&
I&Loi&normale&d’espérance&µ&et&de&variance&σ2&
a)&Définition&
On&dit&que&X&suit&la&loi&normale&d’espérance&µ&et&de&variance&σ2(ou&d’écart&type&&σ)&si&sa&densité&est:&
&et&on&note&X→&
On&a&bien&E(X)=µ&et&V(X)=σ2&
&
Remarque&:&la&notation& &n’est&pas&universelle,&l’autre&école&consiste&à&noter& &la&même&
loi.&Nous&gardons&la&première&notation&dans&un&souci&d’homogénéité&avec&la&suite&du&cours.&
b)&Centrage&et&réduction&d’une&loi&normale&
La&propriété&suivante&:&
Si&X&→&alors& &permet&le&calcul&des&probabilités.&
Exercice&&Une&population&d’individus&dont&la&taille&X&est&supposée&admette&une&distribution&normale&a&
une&moyenne&de&1,70m&et&un&écartWtype&de&0,1m.&
• Calculer&:&p(1,65<X<1,80)&p(X1,5)&& p(X>2)&
• Chercher&le&3ème&quartile&Q3&tel&que&&p(X<Q3)&=&0,75&
• Donner&l’intervalle&centré&sur&la&moyenne&1,70m&contenant&95%&des&observations.&
//&Film&loi&de .&
c)&S’entraîner&:&
Les&âges&des&étudiants&suivent&une&loi&normale&d’espérance&21&ans&et&d’écartWtype&2&ans.&
• Quel&est&le&pourcentage&d’étudiants&de&plus&de&23&ans&?&
• Quel&est&l’âge&auWdessous&duquel&on&trouve&33%&des&étudiants&?&
• Quel&est&le&pourcentage&d’étudiants&d’âge&compris&entre&20&ans&et&22,5&ans&?&
• Dans&quel&intervalle&centré&sur&la&moyenne&21&ans&se&trouvent&90%&des&étudiants&?&
II&Somme&et&combinaison&linéaires&de&lois&Normales&&
a)&variables&indépendantes&

Exo&Soit&X&→&et&Y→&indépendantes,&donner&les&lois&de&:&X+b,&aX,&aX+b,&X+Y,&
aX+bY,&XWY&
b)&non&indépendantes&
EXO&Rappeler&la&définition&de&cov(X,Y)&et&de&ρ(X,Y)&le&coefficient&de&corrélation&linéaire&entre&X&et&Y.&
Donner&les&espérances&et&variances&des&va&précédentes.&&&&&
//&Film&corrigé&:&Σ&et&CL&de&va&gaussiennes&
III&Le&Théorème&Central&limite&
Pour&i&=&1&à&n&avec&n≥30&
a)&Si&Xi&sont&des&variables&indépendantes&et&de&même&loi&(iid&en&abrégé)&d’espérance&θ&et&d’écart&type&
σ,&donner&la&loi&approchée&de&
& &&
et&de&
& &
b)&Soit&X→B(30,1/3),&par&quelle&loi&peutWon&approcher&X&?&
Calculer&p(8≤X≤13)&en&faisant&la&correction&de&continuité.&
Calculer&de&même&p(X=10).&
&
Pour&s’entraîner&:&
• On&lance&une&pièce&équilibrée&20&fois&de&suite.&Soit&X&le&nombre&de&faces,&calculer&p(X=8)&sans&
faire&d’approximation&puis&en&approchant&la&loi&de&X&par&une&loi&normale&et&en&faisant&la&
correction&de&continuité.&
• Dans&une&population,&la&taille&X&des&individus&suit&une&loi&quelconque&&d’espérance&1,70m&et&
d’écart&type&9&cm.&On&suppose&que&l’on&fait&25&tirages&indépendants&d’un&individu&dans&cette&
population.&Soit& &la&moyenne&des&25&tailles&obtenues.&Donner&la&loi&approchée&de&& .&Calculer&
la&probabilité&que& &soit&inférieure&à&1,69m.&
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