Fiche 8 Lois continues (3) - Cours en Ligne

Fiche 8 Lois continues (3) Lois Normales (ou Gaussiennes) I Loi normale d’espérance µ et de variance σ2 a) Définition On dit que X suit la loi normale d’espérance µ et de variance σ2(ou d’écart type σ) si sa densité est: et on note X→
On a bien E(X)=µ et V(X)=σ2 Remarque : la notation n’est pas universelle, l’autre école consiste à noter la même loi. Nous gardons la première notation dans un souci d’homogénéité avec la suite du cours. b) Centrage et réduction d’une loi normale La propriété suivante : Si X →
alors permet le calcul des probabilités. Exercice Une population d’individus dont la taille X est supposée admette une distribution normale a une moyenne de 1,70m et un écart-­‐type de 0,1m. • Calculer : p(1,65<X<1,80) p(X1,5) p(X>2) ème
• Chercher le 3 quartile Q3 tel que p(X<Q3) = 0,75 • Donner l’intervalle centré sur la moyenne 1,70m contenant 95% des observations. // Film loi de
. c) S’entraîner : Les âges des étudiants suivent une loi normale d’espérance 21 ans et d’écart-­‐type 2 ans. •
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Quel est le pourcentage d’étudiants de plus de 23 ans ? Quel est l’âge au-­‐dessous duquel on trouve 33% des étudiants ? Quel est le pourcentage d’étudiants d’âge compris entre 20 ans et 22,5 ans ? Dans quel intervalle centré sur la moyenne 21 ans se trouvent 90% des étudiants ? II Somme et combinaison linéaires de lois Normales a) variables indépendantes Exo Soit X →
aX+bY, X-­‐Y et Y→
indépendantes, donner les lois de : X+b, aX, aX+b, X+Y, b) non indépendantes EXO Rappeler la définition de cov(X,Y) et de ρ(X,Y) le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y. Donner les espérances et variances des va précédentes. // Film corrigé : Σ et CL de va gaussiennes III Le Théorème Central limite Pour i = 1 à n avec n≥30 a) Si Xi sont des variables indépendantes et de même loi (iid en abrégé) d’espérance θ et d’écart type σ, donner la loi approchée de et de b) Soit X→B(30,1/3), par quelle loi peut-­‐on approcher X ? Calculer p(8≤X≤13) en faisant la correction de continuité. Calculer de même p(X=10). Pour s’entraîner : •
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On lance une pièce équilibrée 20 fois de suite. Soit X le nombre de faces, calculer p(X=8) sans faire d’approximation puis en approchant la loi de X par une loi normale et en faisant la correction de continuité. Dans une population, la taille X des individus suit une loi quelconque d’espérance 1,70m et d’écart type 9 cm. On suppose que l’on fait 25 tirages indépendants d’un individu dans cette population. Soit la moyenne des 25 tailles obtenues. Donner la loi approchée de . Calculer la probabilité que soit inférieure à 1,69m.