Cours proportionnalité

PROPORTIONNALITE
I) Définition :
1) Définition:
Dans un tableau, si les quotients d’un nombre de la seconde ligne par le
nombre correspondant de la première ligne sont égaux alors :
On dit que les nombres de la seconde ligne sont proportionnels à
ceux de la première ligne.
La valeur de ces quotients s’appelle le coefficient de
proportionnalité.
Exemple 1 :
Un réservoir est constitué d’un
parallélépipède rectangle.
On le remplit d’eau. Le
tableau ci-dessous donne la
hauteur d’eau (en cm) en
fonction de la durée de
remplissage (en seconde).
Durée (en s)
Hauteur d'eau (en cm)
hauteur d'eau
0
0
12
10
24
20
33
27,5
36
30
Est-ce une situation de proportionnalité ? Si oui, donner le coefficient de
proportionnalité.
Exemple 2 :
Un opérateur téléphonique a proposé à un client un nouvel abonnement.
Le prix dépend du temps de communication comme indiqué dans le
tableau suivant.
Temps de communication (en minute)
Prix (en €)
20
14
50
17
80
20
120
24
Est-ce une situation de proportionnalité ? Si oui, donner le coefficient de
proportionnalité.
1
II) Activité :
III) Calcul d’une quatrième proportionnelle :
1) En utilisant la définition de la proportionnalité:
Le tableau suivant donne les prix d’un opérateur Internet.
On sait que ces prix sont proportionnels à la durée de connexion.
On veut compléter le tableau suivant.
Durée de connexion (en minute)
Prix (en €)
7
2
Calculons le coefficient de proportionnalité k :
2
k=
7
Calculons a :
2 21
a = 10,5 × = = 3
7 7
Calculons b :
b=
3,4
7
= 3,4 × = 11,9
2
2
7
2) En utilisant le produit en croix:
Reprenons l’exemple précédent
7
10,5
2
a
Pour calculer a , on effectue un produit en croix
7 × a = 2 × 10,5
2 × 10,5 21
a=
= =3
7
7
2
10,5
a
b
3,4
7
b
2
3,4
Pour calculer b , on effectue aussi un produit en croix
7 × 3,4 = 2 × b
7 × 3,4 23,8
b=
=
= 11,9
2
2
Justification:
On donne le tableau de proportionnalité suivant :
a
a'
b
b'
avec a ≠ 0
Calculons le coefficient de proportionnalité k :
b
k=
car a ≠ 0
a
On a alors
b' = k × a'
b
b' = × a' et donc a × b' = b × a'
a
Exemple:
On donne le tableau de proportionnalité suivant :
8,5
6
b
a
7,2
3,6
Calculer a et b en utilisant le produit en croix.
Remarque:
Quand on calcule une quatrième proportionnelle par la méthode du produit
en croix, on n’est pas obligé de calculer le coefficient de proportionnalité.
Quand on fait le produit en croix, il est préférable d’utiliser la valeur de la
première ligne et la valeur de la seconde ligne données dans l’énoncé.
Quand on utilise le coefficient de proportionnalité, les calculs sont plus
rapides et plus simples mais il ne faut pas faire d’erreur dans le calcul de
ce coefficient.
3
IV) Représentation graphique d’une situation de proportionnalité :
1) Propriété :
Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement, dans un
repère, par des points alignés entre eux et avec l’origine du repère.
Exemple:
On donne ci-dessous un tableau de proportionnalité.
1
2
3
4
1,5
3
4,5
6
1) Représenter graphiquement cette situation de proportionnalité.
Echelle : en abscisse, 1 cm ↔ 1 unité
en ordonnée, 1 cm ↔ 1 unité
2) Retrouver graphiquement le coefficient de proportionnalité.
Remarque:
Les nombres de la première ligne du tableau représentent les abscisses des
points et les nombres de la deuxième ligne, les ordonnées des points.
2) Réciproque :
Si les points d’un graphique sont alignés entre eux et avec l’origine du
repère, alors ces points représentent une situation de proportionnalité.
Exemple:
Un magasin de location de DVD propose à ses clients trois tarifs
différents : tarif A, tarif B et tarif C.
On a représenté graphiquement ces trois tarifs.
4
Prix (en €)
Tarif C
100
Tarif B
80
Tarif A
60
40
20
0
5
10
15
20
25 Nombre de DVD loués
Parmi ces trois tarifs, lequel ou lesquels représente une situation de
proportionnalité ? Justifier.
V) Pourcentage :
1) Propriété 1:
ୟ
Pour appliquer un pourcentage a %, on multiplie par la fraction
ଵ଴଴
.
Exemple:
5 % des habitants d’une ville de 225 000 habitants vont au cinéma une
fois par semaine.
Quelle est le nombre d’habitants de cette ville allant au cinéma une fois
par semaine ?
2) Propriété 2:
Calculer un pourcentage revient à calculer une quatrième proportionnelle.
Exemple:
Dans un collège de 560 élèves, 168 élèves étudient l’italien.
Quelle est le pourcentage d’élèves étudiant l’italien dans ce collège ?
5
VI) Vitesse moyenne, distance et temps:
1) Vitesse moyenne:
La vitesse moyenne v d’un mobile est le quotient de la distance
parcourue d par le temps de parcours t.
distance parcourue
ୢ
v=
୲
vitesse moyenne
temps de parcours
Exemple:
Un athlète a couru 400 mètres en 50 secondes.
Quelle a été sa vitesse moyenne ?
2) Distance:
La distance parcourue d par un mobile est le produit de la vitesse
moyenne v et du temps de parcours t.
d= v×t
Justification:
d
v d
v=
donc = , effectuons un produit en croix v × t = d × 1
t
1 t
et donc d = v × t .
Exemple:
Une voiture a roulé deux heures et demie à la vitesse de 70 km/h.
Quelle distance a-t-elle parcourue ?
6
3) Temps:
Le temps de parcours t d’un mobile est le quotient de la distance
parcourue d par la vitesse moyenne v .
d
t=
v
Justification:
d
v d
v=
donc = , effectuons un produit en croix v × t = d × 1
t
1 t
d
et donc t = .
v
Exemple:
Un motard a effectué 2500 mètres à la vitesse de 20 m/s.
En combien de temps, le motard a-t-il parcouru ces 2500 mètres ?
4) Changement d’unité pour le calcul de vitesse:
a) Rappels :
1 heure ↔ 60 minutes ↔ 3600 secondes
1 minute ↔ 60 secondes
1 km = 1000 mètres
Attention
2 h 30 min correspond à 2,5 h.
2 h 15 min correspond à 2,25 h.
2 h 45 min correspond à 2,75 h.
7
b) Méthode :
Le 5 décembre, la rame 325 du TGV Atlantique bat le record du
monde de vitesse sur rail en atteignant la vitesse de 8040 m/min.
1) Exprimons la vitesse de ce record en km/h (ou km.h-1)
temps en minute
1
60
distance en m
8040
d
d × 1 = 60 × 8040 donc d = 482400
Il a parcouru 482400 m en 60 min.
Donc v = 482400 m/h = 482,4 km/h
2) Exprimons la vitesse de ce record en m/s
temps en seconde
60
1
distance en m
8040
d
60 × d = 1 × 8040
donc
d=
8040
= 134 m/s
60
c) Exemples :
1) Une antilope peut courir à la vitesse moyenne de 28 m/s.
Exprimer cette vitesse en km/h.
2) Un lévrier court à la vitesse moyenne de 72 km/h.
Exprimer cette vitesse en m/s.
d) Remarque :
Pour passer de km/h à m/s, on divise par 3,6.
Pour passer de m/s à km/h, on multiplie par 3,6.
: 3,6
vitesse en m/s
vitesse en km/h
8
× 3,6