[ 00630 ] [correction].

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Enoncés
Conique
Exercice 1 [ 00630 ] [correction]
Donner la nature de la conique d’équation
16x2 − 24xy + 9y 2 + 25x − 50y = 0
1
Exercice 7 [ 03356 ] [correction]
On considère la courbe
√
√
Γ = (x, y) ∈ R+2 / x + y = 1
Déterminer la nature de la courbe Γ.
Préciser les sommet, foyer et directrice.
Exercice 8 [ 03511 ] [correction]
Déterminer l’excentricité de la conique d’équation
Exercice 2 [ 03014 ] [correction]
Réduire la conique d’équation :
x2 + 8xy − 5y 2 − 28x + 14y + 3 = 0
3x2 − 2xy + 3y 2 − 8x + 8y + 6 = 0
Donner, sa nature et ses éléments caractéristiques.
Exercice 3 [ 02930 ] [correction]
Donner l’équation réduite et la nature de la conique donnée par
x2 + 3xy + 2y 2 − x − 2y + 1 = 0
Exercice 4 [ 02932 ] [correction]
Soient des réels a, b, a0 , b0 . Montrer que les courbes du plan géométrique d’équation
respectives
(ax + by)2 + (a0 x + b0 y)2 = 1 et (ax + a0 y)2 + (bx + b0 y)2 = 1
sont isométriques.
Exercice 9 [ 02917 ] [correction]
Trouver l’image du cercle unité par f : C\ j, j 2 → C définie par
f :z→
1
1 + z + z2
Exercice 10 [ 02578 ] [correction]
Natures, axes et équation réduite de la conique d’équation
2x2 + 3xy + 2y 2 − 4x − 3y = 0
Exercice 11 [ 02545 ] [correction]
Allure de la courbe d’équation cartésienne
y 2 − (3x2 + 2x + 1) = 0
Lieu des points M d’affixe z tels que les points d’affixes z, z 2 et z 5 soit alignés ?
Exercice 5 [ 02933 ] [correction]
Reconnaître et tracer la courbe d’équation
13x2 − 32xy + 37y 2 = 5
Exercice 6 [ 01562 ] [correction]
Soient A(1, 0) et B(0, 2) dans un repère orthonormé (Oxy).
Déterminer une équation cartésienne de la parabole passant par A et B, et
tangente respectivement à (Ox) et (Oy) en ces points.
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Corrections
Corrections
Exercice 1: [énoncé]
16 −12
La matrice
a pour valeurs propres 0 et 25.
−12
9
Posons ~u = 53~i + 45~j et ~v = − 45~i + 35~j vecteurs propres unitaires associées à ces
valeurs propres.
Dans le repère orthonormé R = (O; ~u, ~v ) l’équation de Γ est
25y 2 − 50y − 25x = 0
2
Exercice 3 : [énoncé]
√
La forme quadratique sous-jacente a pour valeurs propres 3±2 10 . C’est une
conique à centre.
2
Par annulation des dérivées partielles, le centre est Ω .
−1
On obtient l’équation réduite
√
√
10 − 3 2 3 + 10 2
x −
y =1
2
2
La conique étudiée est une hyperbole.
soit encore
(y − 1)2 = x + 1
−1
Γ est la parabole de sommet S , d’axe focal (S; ~u) et de paramètre p = 1/4.
1
Le foyer est F = S + 12 ~u et la directrice passe par K = S − 12 ~u et est dirigée par ~v .
Exercice 4 : [énoncé]
Les deux courbes sont définies par des équations algébriques de degré 2, ce sont
donc des coniques.
Pour réduire la première, on développe l’équation
(a2 + a02 )x2 + (b2 + b02 )y 2 + 2(ab + a0 b0 )xy = 1
Exercice 2 : [énoncé]
La forme quadratique sous-jacente a pour valeurs propres 2 et 4. C’est une
conique à centre.
La forme quadratique est diagonalisée dans la base orthonormée formée des
vecteurs
1
1
~u = √ (~i + ~j) et ~v = √ (−~i + ~j)
2
2
1
Par annulation de gradient, le centre est Ω .
−1
L’équation dans le repère R = (Ω; ~u, ~v ) est
2x2 + 4y 2 + C = 0
avec la constante C égale à la valeur du premier membre de l’équation initiale en
Ω.
On obtient C = −2 et finalement on parvient à l’équation
et on étudie la réduction de la matrice symétrique représentant la forme
quadratique associée.
2
a + a02 ab + a0 b0
ab + a0 b0 b2 + b02
Son polynôme caractéristique est
X 2 − 2X(a2 + a02 + b2 + b02 ) + (ab0 − a0 b)2
Notons λ et µ les deux racines réelles de ce polynôme. Il existe un nouveau repère
orthonormé dans lequel la forme quadratique associée à l’équation de la première
conique s’exprime par λx2 + µy 2 et l’équation de la première conique dans ce
repère est alors
λx2 + µy 2 = 1
La réduction de la deuxième conique conduit au même polynôme caractéristique
et donc à la même équation dans un certain repère orthonormé. Les deux coniques
sont donc isométriques.
x2 + 2y 2 = 1
La conique est donc une ellipse de centre Ω, d’axe focal (Ω; ~u) et les valeurs
caractéristiques sont
√
√
√
a = 1, b = 1/ 2, c = 1/ 2 et e = 1/ 2
Exercice 5 : [énoncé]
13 −16
On réduit la matrice
de valeurs propres 5 et 45.
−16 37
C’est une conique à centre
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Pour ~u = √15 (2~i + ~j) et ~v =
équation :
√1 (~i
5
Corrections
− 2~j), dans le repère (O; ~u, ~v ) la courbe a pour
x2 + 9y 2 = 1
Exercice 7 : [énoncé]
2
La courbe Γ est incluse dans le pavé [0, 1] .
2
Pour (x, y) ∈ [0, 1] , on a
On reconnaît une ellipse d’axe focal (O; u) déterminée par a = 1 et b = 1/3.
(x, y) ∈ Γ ⇔ y = (1 −
puis
Exercice 6 : [énoncé]
Soit P une parabole solution. Une équation cartésienne de P est de la forme
ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey = k
avec ac − b2 = 0 car P est une conique dégénérée.
Puisque les tangentes (Ox) et (Oy) sont sécantes en O, la parabole P ne passe pas
O et donc k 6= 0. En divisant les coefficients inconnus a, b, c, d, e par k, on peut
supposer k = 1.
Puisque A ∈ P, on a
a + 2d = 1
Par dédoublement, la tangente en A à P a pour équation
3
√
x)2
√
(x, y) ∈ Γ ⇔ 2 x = 1 + x − y
et enfin
(x, y) ∈ Γ ⇔ x2 + y 2 − 2xy − 2x − 2y + 1 = 0
2
Ainsi Γ est la portion incluse dans [0, 1] de la conique
Γ0 : x2 + y 2 − 2xy − 2x − 2y + 1 = 0
La forme quadratique associée à cette équation a pour matrice dans la base
canonique
1 −1
−1 1
Cette droite correspond à l’axe (Ox) si, et seulement si,


 d=1
a+d=0


b + e 6= 0
Celle-ci à pour valeurs propres 2 et 0.
Considérons alors de repère d’origine (0, 0) et dirigé par ~u = √12 (1, 1) et
~v = √12 (−1, 1).
Après calculs,
√
x~u + y~v ∈ Γ0 ⇔ 2y 2 − 2 2x + 1 = 0
1
1 1
Γ0 est donc une parabole de sommet S = 2√
~
u
=
,
et d’axe focal (S; ~u).
4
4
2
On en déduit a = −1 et d = 1.
L’étude similaire en B donne
Γ est la portion de cette parabole incluse dans [0, 1] .
Pour parfaire l’allure de Γ, on peut remarquer que les tangentes à Γ aux points
(1, 0) et (0, 1) sont les axes coordonnées
ax + by + d(x + 1) + ey = 1

4c + 4e = 1



 e = 1/2

2c + e = 0



2b + d 6= 0
On en déduit c = −1/4 et e = 1/2.
Enfin la condition ac − b2 = 0 donne b = ±1/2.
Or b + e 6= 0 (ou 2b + d 6= 0) impose b 6= −1/2 et il reste b = 1/2.
Au final
1
P : −x2 + xy − y 2 + 2x + y = 1
4
Inversement, cette parabole est solution.
2
Exercice 8 : [énoncé]
C’est une conique non dégénérée et les valeurs propres de la matrices représentant
la forme quadratique sont 3 et −7.
Par annulation du gradient, on obtient que le centre de cette conique est le point
de coordonnées (2, 3).
Dans un repère adapté, on obtient alors l’équation réduite
3x2 − 7y 2 = 4
√
√
La conique est donc une hyperbole avec a = 2/ 3 et b = 2/ 7.
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On en déduit
c=
p
Corrections
√
2 10
2
2
a +b = √
21
puis
√
10
e= √
3
4
Dans le repère orthonormée (Ω; ~u, ~v ) la conique étudiée a pour équation réduite
7 2 1 2
x + y =2
2
2
i.e.
x2
y2
2
+
= 1 avec a = √ et b = 2
2
2
a
b
7
La conique est une ellipse d’axe focal (Ω; ~v ) (puisque b > a).
Exercice 9 :[énoncé]
Pour z ∈ U \ j, j 2 , on peut écrire z = eiθ , et on vérifie
Exercice 11 : [énoncé]
f (z) =
1
1 + eiθ + e2iθ
e−iθ
=
1 + 2 cos θ
Les f (z) parcourent donc la courbe d’équation polaire
r=
soit encore
r=
1
1 + 2 cos(−θ)
1
1 + 2 cos(θ)
Il s’agit d’une hyperbole de foyer O, d’excentricité 2 et d’axe focal (Ox).
y 2 − (3x2 + 2x + 1) = 0 ⇔
(x + 13 )2
y2
−
=1
2/3
2/9
La courbe considérée est une hyperbole de centre Ω(−1/3, 0) et d’axe focal
vertical.
z = 0 et z = 1 sont évidemment solutions du problème d’alignement.
5
−z
Pour z 6= 0, 1, les points considérés sont alignés si, et seulement si, zz2 −z
∈ R i.e.
3
2
z + z + z + 1 ∈ R.
En écrivant z = x + iy avec x, y ∈ R, on parvient à l’équation y 3 = (3x2 + 2x + 1)y.
Finalement les points recherchés sont ceux formant l’hyperbole précédemment
présentées accompagnés de la droite réelle.
Exercice 10 : [énoncé]
La forme quadratique associée a pour matrice
2
3/2
3/2
2
de valeurs propres 27 et 12 .
~u = √12 (~i + ~j) et ~v = √12 (−~i + ~j) sont vecteurs propres associés aux valeurs
propres 72 et 12 .
Puisque 0 n’est pas valeur propre, la conique est non dégénérée et son centre Ω est
de coordonnées x et y solutions du système
(
4x + 3y − 4 = 0
3x + 4y − 3 = 0
Le centre Ω est donc le point de coordonnées x = 1 et y = 0 dans le repère initiale.
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