Approfondissement algébrique Développement

2nde, novembre 2010
Approfondissement alg´ebrique
Ce petit livret d’exercices vous sera utile pour approfondir et am´eliorer vos m´ethodes de calcul. Certaines
des exercices sont corrig´es, d’autres ont juste la r´eponse et certains n’ont aucune indication. Vous pouvez `a
tout moment me demander conseil et me donner vos ´ecrits afin que je les corrige.
D´eveloppement
L’objectif de cette s´erie d’exercices est d’inciter `a faire certains calculs mentalement. Ces exercices sont `a
faire sans calculatrice ni brouillon, directement sur cette feuille.
Exercice 1 : Calculer :
A1= 2 −5 + 1 = ...
A2=−3 + 4 + 5 = ...
A3= 5 −(1 −2) = ...
A4= 3 + (2 −4) = ...
A5= 7 −(8 + 3) + 2 = ...
A6=a−3a=...
A7=−2b+ 6b=...
A8= 2x−(x−3x) = ...
A9= 2a−3b+a−5b=...
A10 = 6a+2b+b−3a−5b=...
A11 = 2(a−b) + 3b=...
[Exercice corrig´e]
Exercice 2 : Dans les expressions suivantes, regrouper uniquement les termes en x. Les calculs seront
effectu´es de tˆete, sans ´etape interm´ediaire.
Expression Terme en xExpression Terme en x
2(x−3) −(x−4) 5(x+ 2) + (3 −x)−x
3(x+ 4) −2(4x−1) −2(4x+ 1) + 3(2x−4)
7(3 −2x) + 4x−2(x+ 1) 6(2x−3) + 2x−(1 + 3x)
[Exercice corrig´e]
Exercice 3 : Dans les expressions suivantes, regrouper uniquement les termes en x2.
Expression Terme en x2Expression Terme en x2
(2x+ 1)(1 −5x) (1 −x)(2 + x)
(x+ 3)(x−4) −2x(x+ 2) (2x+ 3)2
2(x+ 1)(3x−1) (2x+ 3)(1 −4x) + 3x2
[Exercice corrig´e]
Exercice 4 : Dans les expressions suivantes, donner la constante.
Expression Constante Expression Constante
(2x+ 3)(5 −3x) (1 −2x)(2x+ 1)
(2x+ 1)23(1 −x)(2 + x)
(2x+ 1)(x−3) + 4 (x+ 2)2+ (x−2)(x+ 3)
[Exercice corrig´e]

Exercice 5 : Dans les expressions suivantes, regrouper uniquement les termes en x.
Expression Terme en xExpression Terme en x
(x+ 2)(2x−1) (1 −3x)(5x+ 2)
(4x−1)(1 + x) (2x+ 3)2
2(3x−1)(x+ 4) (x+ 1)2+ (2x+ 1)(1 −x)
[Exercice corrig´e]
Exercice 6 : D´evelopper directement, en regroupant mentalement les termes de mˆeme degr´e, les expressions
suivantes
Expression D´eveloppement
(2x+ 1)(x−3)
(x+ 2)(3x−4)
3x(x+ 1) −4(x+ 2)
(x+ 3)2
(2x−1)2
(x+ 2)(2x−1) + 2(x2+ 3)
2(x2−3x+ 2) + 3(x2−5x−1)
(5x2+ 2x−1)(2 + x)
[Exercice corrig´e]
Factorisation
Exercice 7 : [Somme et produit]
1. Les expressions suivantes se pr´esentent-elles sous forme de sommes ou de produits ? Pour chaque
somme, pr´eciser le nombre de termes et les citer. Pour chaque produit, pr´eciser le nombre de facteurs
et les citer.
Exemples :
2x+ 3 est une somme de deux termes : 2xet 3.
(x−1)xest un produit de deux facteurs : xet x−1.
(a) 2x−5
(b) x(2 −x)
(c) 3
x+ 2
(d) x2
(e) 9x3
(f) (x−1)(x+1)+x(x+ 3)
(g) (x−1)2
(h) 3(x2+x+ 4)
(i) (x−4)(x+ 3) −6
(j) x2−1
2. ´ Ecrire
(a) une somme de deux termes dont le premier est un produit.
(b) un produit de deux facteurs dont le premier est une somme.
(c) un quotient dont le num´erateur est un produit de deux facteurs et le d´enominateur une diff´erence.
(d) une somme de deux carr´es.
(e) le carr´e d’une somme.
Exercice 8 : [Expressions ´egales ou oppos´ees]
1. On donne une expression A. Sans aucun calcul, pr´eciser si les expressions B,Cet Dsont ´egales `a A
ou `a l’oppos´e de A.

(a) A= 5(x−1)
B=−5(x−1) C= 5(1 −x)D=−5(1 −x)
(b) A=x(2x−7)
B=−x(2x−7) C=x(−2x+ 7) D=−x(−2x+ 7)
(c) A= (3x−2)(x+ 5)
B=−(3x−2)(x+ 5) C= (2 −3x)(x+ 5) D= (3x−2)(−x−5)
2. Soit A= 10(1 −5x). Sans chercher `a d´evelopper A,
–´ Ecrire Aautrement.
–´ Ecrire de deux fa¸cons diff´erentes l’oppos´e de A.
[Exercice corrig´e]
Exercice 9 : [Facteur commun ] Pour factoriser une expression alg´ebrique, on peut rechercher comme
facteur commun :
un nombre r´eel une puissance de xune expression du type ax +b.
1. Trouver un facteur commun.
On consid`ere les expressions alg´ebriques suivantes :
A(x) = x(x+ 2) −3x
B(x) = 8x3+ 4
C(x) = 8x3+ 4x
D(x) = (5x−2)(x−1) + 3(x−1)
E(x) = 5(2x−1)2+ (2x−1)(x+ 2)
F(x) = 3x+ 3
G(x) = x2(x−2) + 3x3
H(x) = (x−3)2(x+ 1) −5x(x−3)
Classer chacune de ces expressions dans un des trois tableaux suivants puis compl´eter les tableaux.
Je peux mettre en facteur
un nombre r´eel dans... Quel est ce nombre r´eel ? Factorisation
Je peux mettre en facteur
une puissance de xdans...
Quel est cette puissance
de x?Factorisation
Je peux mettre en facteur
une expression du type
ax +bdans...
Quel est cette expres-
sion ? Factorisation
2. Le facteur commun est cach´e.
On peut parfois faire apparaitre un facteur commun par une transformation d’´ecriture simple.
Exemples :

(a)
2x+ 4 −3x(x+ 2) = 2(x+ 2) −3x(x+ 2)
= (x+ 2)(2 −3x)
(b)
2x(x−1) + (1 −x)(x+ 2) = 2x(x−1) −(x−1)(x+ 2)
= (x−1)(2x−(x+ 2))
= (x−1)(2x−x−2) = (x−1)(x−2)
Dans chacune des expressions ci-dessous, faire apparaitre dans chaque terme de la somme un facteur
commun puis factoriser.
A(x) = (2x+ 6) −(x+ 3)(4x+ 10)
B(x) = (x2+x)−x(x−3)
C(x) = (x+ 1)(x−3) + 2(3 −x)
D(x) = (2x−3)2+ 5x(3 −2x)
E(x) = 5(x−3) −2(x+ 4)(3 −x)
[Exercice corrig´e]
Exercice 10 : [Avec des identit´es remarquables]
1. Compl´eter les ´egalit´es suivantes :
Identit´e no1 : a2+ 2ab +b2=
Identit´e no2 : a2−2ab +b2=
Identit´e no3 : a2−b2=
2. Compl´eter le tableau suivant :
Expression `a
factoriser
Identit´e
no
a=. . . b =... 2ab =Expression
factoris´ee
16x2−9
9x2+ 24x+ 16
4x2−12x+ 9
49x2+ 28x+ 4
x2−3
(x−2)2−9
16x2−(x+ 1)2
(3x−2)2−(x+ 1)2
4(x+ 2)2−(3x+ 2)2
3. Inventer 6 expressions que l’on pourra factoriser en utilisant les identit´es remarquables no1, no2 ou
no3.
Exercice 11 : [Construction d’une expression `a factoriser]
1. Pr´eparer une somme de trois termes `a factoriser de la fa¸con suivante :
– Choisir un facteur commun du type ax +b
–≪D´eguiser ≫ce facteur commun de plusieurs fa¸cons diff´erentes : en le multipliant par 2, par −1,
par x2, en l’´elevant au carr´e...
– Construire la somme demand´ee avec trois des termes pr´ec´edents.
Exemple :
On choisit comme facteur commun x−5.

(a) −3(x−5) = −3x+ 15
(b) x(x−5) = x2−5x
(c) (x−5)(x+ 5) = x2−25
On construit alors la somme : A(x) = (−3x+ 15) + (x2−5x) + (x2−25)
2. Factoriser l’expression construite `a la question pr´ec´edente.
3. Reprendre deux ou trois fois les questions pr´ec´edentes.
techniques permettant de factoriser une expression alg´ebrique.
Equations
Exercice 12 : R´esoudre, en choisissant la m´ethode appropri´ee, les ´equations suivantes :
(E1) : (x−5)(2x+ 3) + 4(x−5) = 0
(E2) : (x−5)(2x+ 3) −2x(x+ 1) = 0
(E3) : x2+ 3x= 5x
(E4) : x2+ 3x= 3x+ 9
(E5) : x2(2x+ 1) = 4(2x+ 1)
(E6) : (x−1)(2x+ 3) + (x−1)(3x−4) = 0
(E7) : (x−1)(2x+ 3) + (x−1)(3x−4) = 1
(E8) : (4x+ 1)(x+ 2) −2x(2x+ 3) = 0
(E9) : (x2−9)(x+ 1) + (x+ 3)(x2−1) = 0
[Exercice corrig´e]
Exercice 13 : R´esoudre
(E1) : 2x−5
3−x+ 4 4= 2 + 5−6x 6
(E2) : 5
7x+ 2 6−2 7x= 8 −6 7x;
(E3) : 4 −4 + 3x
6=2x 3−x+ 4 2
Exercice 14 : Les ´equations suivantes sont particuli`eres. Les r´esoudre sans calcul.
(E1) : x+ 2 = 2 + x
(E2) : 0x= 5
(E3) : 3x= 0
(E4) : x2=−3
(E5) : x= 7
(E6) : 0x= 0
[Exercice corrig´e]
Exercice 15 : On pose a=1 + √3
3. V´erifier que aest une solution de l’´equation 9x2−6x−2 = 0.
[Exercice corrig´e]
Exercice 16 : R´esoudre dans Rles ´equations suivantes :
(E1) : 4x2−9 = 0
(E2) : (x−3)(x+ 2) + (x2−6x+ 9) = 0
(E3) : (x−1)2+ 3 = 0
(E4) : 4x+ 3
4x−7= 1
(E5) : 1
x−1−2 x+ 1 =2x x2−1
[Exercice corrig´e]
Exercice 17 : Utiliser une identit´e remarquable puis r´esoudre l’´equation propos´ee.
(E1) : x2−4x+ 4 = 0
(E2) : 25x2−10x+ 1 = 0
(E3) : 4 −12x+ 9x2= 0
(E4) : 6x+ 9 + x2= 0
(E5) : 9x2−4 = 0
(E6) : x2−3 = 0
(E7) : −4 + 5x2= 0
(E8) : 49x2−25 = 0