Moyenne arithmético-géométrico-harmonique

CM - MOYENNE ARITHMETICOGEOMETRICO–HARMONIQUE
Préliminaires
Si (a1 , . . . , an ) est un n−uplet de nombres strictement positifs, on définit trois moyennes (strictement
positives) :
(i) la moyenne arithmétique
M (a1 , . . . , an ) =
a1 + · · · + an
,
n
(ii) la moyenne géométrique
G(a1 , . . . , an ) =
(iii) la moyenne harmonique
H(a1 , . . . , an ) =
√
n
a1 · · · an ,
n
.
1
1
+ ··· +
a1
an
Ces trois nombres sont compris entre min(a1 , . . . , an ) et max(a1 , . . . , an ).
On remarque que
H(a1 , . . . , an ) =
1
,
M
=
1
.
G(a1 , . . . , an )
1
1
a1 , . . . , an
et que
G
1
1
,...,
a1
an
Proposition 1 On a les inégalités suivantes :
H(a1 , . . . , an ) ≤ G(a1 , . . . , an ) ≤ M (a1 , . . . , an ) ,
et on ne peut avoir égalité dans une des deux inégalités que si les n nombres a1 , . . . , an sont égaux.
Il est clair que l’on a égalité si tous les nombres sont égaux.
On peut démontrer l’inégalité de droite, sans utiliser la convexité de la fonction − ln, de la manière
suivante.
CM 2
On démontre tout d’abord par récurrence que, pour tout entier p ≥ 1,
√
2p
a1 · · · a2p ≤
a1 + · · · + a2p
,
2p
et que l’égalité a lieu seulement si a1 = · · · = a2p .
Pour p = 1, l’inégalité
√
a1 + a2
,
a1 a2 ≤
2
équivaut à
√
a1 − 2 a1 a2 + a2 ≥ 0 ,
√
√
ce qui est toujours vrai puisque le membre de gauche est le carré ( a1 − a2 )2 . De plus l’égalité a lieu
si et seulement si a1 = a2 .
Supposons la propriété vraie à l’ordre p. On applique l’inégalité à l’ordre 2 aux nombres
A1 = G(a1 , . . . , a2p ) et A2 = G(a2p +1 , . . . , a2p+1 ) .
On a alors, en appliquant l’hypothèse de récurrence,
A1 ≤ M (a1 , . . . , a2p ) et A2 ≤ M (a2p +1 , . . . , a2p+1 ) ,
mais
M (M (a1 , . . . , a2p ), M (a2p +1 , . . . , a2p+1 )) = M (a1 , . . . , a2p+1 ) ,
donc
M (A1 , A2 ) ≤ M (a1 , . . . , a2p+1 ) .
Par ailleurs
G(A1 , A2 ) = G(a1 , . . . , a2p+1 ) .
De l’inégalité
G(A1 , A2 ) ≤ M (A1 , A2 ) ,
on déduit alors
G(a1 , . . . , a2p+1 ) ≤ M (a1 , . . . , a2p+1 ) .
L’inégalité est donc vraie à l’ordre p, donc pour tout entier p.
Pour que l’égalité ait lieu, il faut d’une part
G(A1 , A2 ) = M (A1 , A2 ) ,
ce qui nécessite A1 = A2 , mais il faut aussi
G(a1 , . . . , a2p ) = M (a1 , . . . , a2p )
ce qui nécessite a1 = · · · = a2p , et
G(a2p +1 , . . . , a2p+1 ) = M (a2p +1 . . . a2p+1 ) ,
CM 3
ce qui nécessite a2p +1 = · · · = a2p+1 . Alors
a1 = · · · = a2p = A1 = A2 = a2p +1 = · · · = a2p+1 .
Les nombres sont tous égaux.
On démontre ensuite le résultat pour un entier n quelconque. Si p est un entier tel que n < 2p , on pose
an+1 = · · · = a2p = M (a1 , . . . , an ) .
On a alors
a1 + · · · + an + (2p − n)M (a1 , . . . , an )
2p
nM (a1 , . . . , an ) + (2p − n)M (a1 , . . . , an )
=
2p
= M (a1 , . . . , an ) ,
M (a1 , . . . , a2p ) =
et
G(a1 , . . . , a2p ) =
p
2p
a1 · · · an · M (a1 , . . . , an )2p −n =
p
2p
G(a1 , . . . , an )n M (a1 , . . . , an )2p −n ,
d’où l’on déduit
p
p
G(a1 , . . . , a2p )1−n/2 ≤ M (a1 , . . . , a2p )1−n/2 ,
et finalement
G(a1 · · · an ) ≤ M (a1 , . . . , an ) .
L’égalité n’est possible que si
a1 = · · · = an = an+1 = · · · = a2p ,
et là encore tous les nombres sont égaux.
Pour l’autre inégalité, on part de
G
1
1
···
a1
an
≤M
1
1
,...,
a1
an
ce qui donne, d’après les remarques faites plus haut,
1
1
≤
,
G(a1 , . . . , an )
H(a1 , . . . , an )
et finalement
H(a1 , . . . , an ) ≤ G(a1 , . . . , an ) .
,
CM 4
Définition de la moyenne AGH de trois nombres positifs.
Soit trois nombres réels strictement positifs (u, v, w). On définit par récurrence trois suites (un )n≥0 ,
(vn )n≥0 , (wn )n≥0 , en posant
u0 = u , v0 = v et w0 = w ,
et, pour tout entier n ≥ 0,
un+1 = M (un , vn , wn ) ,
vn+1 = G(un , vn , wn ) et un+1 = H(un , vn , wn ) .
Proposition 2 Les trois suites (un )n≥1 , (vn )n≥1 , (wn )n≥1 sont monotones, et possèdent la même
limite.
Pour tout n ≥ 1, on a, d’après la proposition 1,
wn ≤ vn ≤ un .
Alors
un + vn + wn ≤ 3un ,
d’où
un+1 =
un + vn + wn
≤ un .
3
La suite (un )n≥1 est donc décroissante.
La même méthode, à partir des inégalités
1
1
1
≤
≤
,
un
vn
wn
montre que
1
1
3
1
+
+
≤
,
un vn wn
wn
donc
wn ≤
3
= wn+1 ,
1
1
1
+
+
un vn wn
et la suite (wn )n≥1 est croissante.
Alors
w1 ≤ wn ≤ un ≤ u1 .
La suite (wn )n≥1 est croissante et majorée par u1 . Elle converge donc. Notons ℓ sa limite. La suite
(un )n≥1 est décroissante et minorée par w1 . Elle converge donc. Notons ℓ′′ sa limite. On a aussi
vn = 3un+1 − un − wn ,
CM 5
et (vn )n≥1 est la somme de trois suites convergentes. Elle possède une limite ℓ′ qui vérifie
ℓ′ = 3ℓ − ℓ − ℓ′′ .
Donc
ℓ = M (ℓ′ , ℓ′′ ) ,
et ℓ est compris entre ℓ′ et ℓ′′ . Mais par passage à la limite, on a
ℓ′′ ≤ ℓ′ ≤ ℓ .
Il en résulte que ℓ = ℓ′ .
On a également
1
1
1
1
+
=3
−
,
vn un
wn+1 wn
donc, par passage à la limite,
1
1
2
+ = ′′ .
ℓ′
ℓ
ℓ
Alors
ℓ′′ = H(ℓ, ℓ′ ) .
Donc ℓ′′ est compris entre ℓ et ℓ′ , et cette fois ℓ′ = ℓ′′ . Les trois suites ont bien la même limite.
Reste à étudier la monotonie de (vn )n≥1 .
La différence vn+1 − vn est du signe de
3
− vn3 = un vn wn − vn3 ,
vn+1
donc du signe de la différence
δn = un wn − vn2 ,
ou encore du signe de u3n wn3 − vn6 .
Si n ≥ 0, le nombre δn+1 est du signe de
3
u3n+1 wn+1
−
6
vn+1
=
un + vn + wn
3
3 3un vn wn
un vn + vn wn + wn yn
3
− (un vn wn )2 ,
et cette expression est du signe de
(un + vn + wn )3 un vn wn − (un vn + vn wn + wn un )3 .
Etudions le polynôme de trois variables
P (X, Y, Z) = (X + Y + Z)3 XY Z − (XY + Y Z + ZX)3 .
CM 6
On obtient tout d’abord en développant
P (X, Y, Z) = (X 3 + Y 3 + Z 3 + 3(X 2 Y + XY 2 + Y 2 Z + Y Z 2 + Z 2 X + ZX 2 ) + 6XY Z)XY Z
−(X 3 Y 3 + Y 3 Z 3 + Z 3 X 3 + 6X 2 Y 2 Z 2
+3(X 2 Y 3 Z + XY 3 Z 2 + Y 2 Z 3 X + Y Z 3 X 2 + Z 2 X 3 Y + ZX 3 Y 2 ))
= (X 3 + Y 3 + Z 3 )XY Z − (X 3 Y 3 + Y 3 Z 3 + Z 3 X 3 )
= X 4 Y Z + XY 4 Z + XY Z 4 − (X 3 Y 3 + Y 3 Z 3 + Z 3 X 3 ) .
Mettons X 2 en facteur dans les termes qui le contiennent, et YZ dans les autres. On obtient
P (X, Y, Z) = X 2 (X 2 Y Z − XY 3 − XZ 3 ) − Y Z(Y 2 Z 2 − XY 3 − XZ 3 ) .
Mais l’on remarque que
X 2 Y 2 Z 2 = X 2 (Y 2 Z 2 ) = Y Z(X 2 Y Z) ,
et donc
P (X, Y, Z) = X 2 (Y 2 Z 2 + X 2 Y Z − XY 3 − XZ 3 ) − Y Z(X 2 Y Z + Y 2 Z 2 − XY 3 − XZ 3 )
= (X 2 − Y Z)(Y 2 Z 2 + X 2 Y Z − XY 3 − XZ 3 ) .
Le polynôme P se factorise complètement, et l’on trouve
P (X, Y, Z) = (X 2 − Y Z)(Y 2 − ZX)(Z 2 − XY ) .
Alors le signe de δn+1 est celui de (u2n − vn wn )(vn2 − wn un )(wn2 − un vn ). Mais, si n ≥ 1, le nombre
u2n − vn wn est positif et le nombre wn2 − un vn est négatif. Il en résulte que les nombres δn+1 et δn ont
le même signe : celui de δ1 , qui est lui même du signe de (u2 − vw)(v 2 − wu)(w2 − uv).
La suite (vn )n≥1 est donc :
– strictement croissante si (u2 − vw)(v 2 − wu)(w2 − uv) > 0,
– strictement décroissante si (u2 − vw)(v 2 − wu)(w2 − uv) < 0,
– constante si (u2 − vw)(v 2 − wu)(w2 − uv) = 0 .
Remarque
: dans le dernier cas, puisque la suite (vn )n≥1 est constante, la limite commune n’est autre
√
3
que v1 = abc, et l’on a pour tout n ≥ 1,
un wn = vn2 = v12 .