Moyenne arithmético-géométrico-harmonique

CM - MOYENNE ARITHMETICO-
GEOMETRICO–HARMONIQUE
Préliminaires
Si (a1,...,an)est un n−uplet de nombres strictement positifs, on définit trois moyennes (strictement
positives) :
(i) la moyenne arithmétique
M(a1,...,an) = a1+···+an
n,
(ii) la moyenne géométrique
G(a1,...,an) = n
√a1···an,
(iii) la moyenne harmonique
H(a1,...,an) = n
1
a1
+···+1
an
.
Ces trois nombres sont compris entre min(a1,...,an)et max(a1,...,an).
On remarque que
H(a1,...,an) = 1
M1
a1,..., 1 an,
et que
G1
a1
,..., 1
an=1 G(a1,...,an).
Proposition 1 On a les inégalités suivantes :
H(a1,...,an)≤G(a1,...,an)≤M(a1,...,an),
et on ne peut avoir égalité dans une des deux inégalités que si les nnombres a1,...,ansont égaux.
Il est clair que l’on a égalité si tous les nombres sont égaux.
On peut démontrer l’inégalité de droite, sans utiliser la convexité de la fonction −ln, de la manière
suivante.

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On démontre tout d’abord par récurrence que, pour tout entier p≥1,
2p
√a1···a2p≤a1+···+a2p
2p,
et que l’égalité a lieu seulement si a1=···=a2p.
Pour p= 1, l’inégalité √a1a2≤a1+a2
2,
équivaut à
a1−2√a1a2+a2≥0,
ce qui est toujours vrai puisque le membre de gauche est le carré (√a1−√a2)2. De plus l’égalité a lieu
si et seulement si a1=a2.
Supposons la propriété vraie à l’ordre p. On applique l’inégalité à l’ordre 2 aux nombres
A1=G(a1,...,a2p) et A2=G(a2p+1,...,a2p+1 ).
On a alors, en appliquant l’hypothèse de récurrence,
A1≤M(a1,...,a2p) et A2≤M(a2p+1,...,a2p+1 ),
mais
M(M(a1,...,a2p), M(a2p+1,...,a2p+1 )) = M(a1, . . . , a2p+1 ),
donc
M(A1, A2)≤M(a1,...,a2p+1 ).
Par ailleurs
G(A1, A2) = G(a1,...,a2p+1 ).
De l’inégalité
G(A1, A2)≤M(A1, A2),
on déduit alors
G(a1,...,a2p+1 )≤M(a1,...,a2p+1 ).
L’inégalité est donc vraie à l’ordre p, donc pour tout entier p.
Pour que l’égalité ait lieu, il faut d’une part
G(A1, A2) = M(A1, A2),
ce qui nécessite A1=A2, mais il faut aussi
G(a1,...,a2p) = M(a1,...,a2p)
ce qui nécessite a1=···=a2p, et
G(a2p+1,...,a2p+1 ) = M(a2p+1 . . . a2p+1 ),

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ce qui nécessite a2p+1 =···=a2p+1 . Alors
a1=···=a2p=A1=A2=a2p+1 =···=a2p+1 .
Les nombres sont tous égaux.
On démontre ensuite le résultat pour un entier nquelconque. Si pest un entier tel que n < 2p, on pose
an+1 =···=a2p=M(a1,...,an).
On a alors
M(a1,...,a2p) = a1+···+an+ (2p−n)M(a1, . . . , an)
2p
=nM(a1,...,an) + (2p−n)M(a1,...,an)
2p
=M(a1,...,an),
et
G(a1,...,a2p) = 2p
pa1···an·M(a1,...,an)2p−n=2p
pG(a1,...,an)nM(a1,...,an)2p−n,
d’où l’on déduit
G(a1,...,a2p)1−n/2p≤M(a1,...,a2p)1−n/2p,
et finalement
G(a1···an)≤M(a1,...,an).
L’égalité n’est possible que si
a1=···=an=an+1 =···=a2p,
et là encore tous les nombres sont égaux.
Pour l’autre inégalité, on part de
G1
a1··· 1 an≤M1 a1
,..., 1
an,
ce qui donne, d’après les remarques faites plus haut,
1
G(a1,...,an)≤1 H(a1,...,an),
et finalement
H(a1,...,an)≤G(a1,...,an).

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Définition de la moyenne AGH de trois nombres positifs.
Soit trois nombres réels strictement positifs (u, v, w). On définit par récurrence trois suites (un)n≥0,
(vn)n≥0,(wn)n≥0, en posant
u0=u , v0=vet w0=w ,
et, pour tout entier n≥0,
un+1 =M(un, vn, wn), vn+1 =G(un, vn, wn) et un+1 =H(un, vn, wn).
Proposition 2 Les trois suites (un)n≥1,(vn)n≥1,(wn)n≥1sont monotones, et possèdent la même
limite.
Pour tout n≥1, on a, d’après la proposition 1,
wn≤vn≤un.
Alors
un+vn+wn≤3un,
d’où
un+1 =un+vn+wn
3≤un.
La suite (un)n≥1est donc décroissante.
La même méthode, à partir des inégalités
1
un≤1 vn≤1 wn
,
montre que 1
un
+1
vn
+1
wn≤3 wn
,
donc
wn≤3
1
un
+1
vn
+1
wn
=wn+1 ,
et la suite (wn)n≥1est croissante.
Alors
w1≤wn≤un≤u1.
La suite (wn)n≥1est croissante et majorée par u1. Elle converge donc. Notons ℓsa limite. La suite
(un)n≥1est décroissante et minorée par w1. Elle converge donc. Notons ℓ′′ sa limite. On a aussi
vn= 3un+1 −un−wn,

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et (vn)n≥1est la somme de trois suites convergentes. Elle possède une limite ℓ′qui vérifie
ℓ′= 3ℓ−ℓ−ℓ′′ .
Donc
ℓ=M(ℓ′, ℓ′′),
et ℓest compris entre ℓ′et ℓ′′. Mais par passage à la limite, on a
ℓ′′ ≤ℓ′≤ℓ .
Il en résulte que ℓ=ℓ′.
On a également 1
vn
+1
un
= 3 1
wn+1 −1 wn
,
donc, par passage à la limite, 1
ℓ′+1 ℓ=2 ℓ′′ .
Alors
ℓ′′ =H(ℓ, ℓ′).
Donc ℓ′′ est compris entre ℓet ℓ′, et cette fois ℓ′=ℓ′′ . Les trois suites ont bien la même limite.
Reste à étudier la monotonie de (vn)n≥1.
La différence vn+1 −vnest du signe de
v3
n+1 −v3 n=unvnwn−v3 n,
donc du signe de la différence
δn=unwn−v2
n,
ou encore du signe de u3
nw3 n−v6 n.
Si n≥0, le nombre δn+1 est du signe de
u3
n+1w3 n+1 −v6 n+1 =un+vn+wn
333unvnwn unvn+vnwn+wnyn3
−(unvnwn)2,
et cette expression est du signe de
(un+vn+wn)3unvnwn−(unvn+vnwn+wnun)3.
Etudions le polynôme de trois variables
P(X, Y, Z) = (X+Y+Z)3XY Z −(XY +Y Z +ZX)3.