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td ari

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2016/2017
L3 Mathématiques
Algorithmique appliquée aux mathématiques
Université de Lorraine
Feuille de TD n◦5
Exercice 1.
(Nombres de Poulet)
On appelle nombre de Poulet un nombre pseudo-premier de base 2.
1. Déterminer l'ordre de 2 dans les groupes (multiplicatifs) (Z/11Z)× , (Z/31Z)× et (Z/341Z)× . En
déduire que 341 est un nombre de Poulet.
2. Soient n un nombre de Poulet et m = 2n − 1.
a) Montrer que n | m − 1.
b) Soient a, b ∈ N∗ . Montrer que si a | b, alors 2a − 1 | 2b − 1.
c) En déduire que m est un nombre de Poulet.
3. Les nombres de Poulet sont-ils en nombre ni ou inni ?
4. Montrer qu'un nombre de Mersenne Mp = 2p − 1, où p est premier et Mp composé, est un nombre
de Poulet.
n
5. Montrer qu'un nombre de Fermat Fn = 22 + 1 composé est un nombre de Poulet.
(Exercice de CAPES)
L'objet de cette partie est la caractérisation de certains nombres, appelés nombres de Carmichaël.
Rappelons qu'un nombre n est appelé nombre de Carmichaël si :
a) n n'est pas premier ;
b) pour tout nombre a premier avec n, an−1 ≡ 1[n].
1. Montrer que si n = p1 ×p2 . . .×pk où p1 , p2 , . . . , pk sont des nombres premiers deux à deux distincts
tels que (pi − 1) divise (n − 1) pour tout i ∈ J1; kK, alors n est un nombre de Carmichaël. Montrer
en particulier que 561 et 10585 sont des nombres de Carmichaël.
2. Dans toute cette question, on suppose que n est un nombre de Carmichaël et l'on désire établir la
réciproque du résultat obtenu en question 1.
a) On suppose tout d'abord que n est une puissance de 2, n = 2α , où α est un entier supérieur à 2.
Quel est le cardinal de (Z/nZ)× ? En déduire que pour tout entier a impair a(2α − 1) ne peut être
congru à 1 modulo n sauf si a est congru à 1 modulo n ; que peut-on conclure ?
b) On suppose désormais que n admet au moins un facteur premier impair
p1 et l'on note p1 , p2 , . . . , pk
Qk
αi
les facteurs premiers de n ; la décomposition de n est alors n = i=1 pi .
(i) Soit ω un entier dont la classe modulo pα1 1 est un générateur de ((Z/pα1 1 Z)× , ×) ; on admet
l'existence d'un tel ω . En utilisant le théorème des restes chinois, montrer qu'on ` peut trouver
un entier t tel que :
t ≡ ω[p1α1 ] et, pour tout i (s'il en existe) tel que i ∈ J2; kK, t ≡ 1[pαi i ].
Montrer qu'alors tn−1 ≡ 1[n].
(ii) En déduire que pα1 1 −1 (p1 − 1) divise (n − 1), puis que α1 = 1, et enn que (p1 − 1) divise
(n − 1).
(iii) Montrer que n est nécessairement impair et que n peut s'écrire sous la forme n = p1 × p2 ×
. . . × pk où p1 , p2 , . . . , pk sont des nombres premiers deux à deux distincts tels que (pi − 1) divise
(n − 1) pour tout i ∈ Jl; kK. Conclure.
3. Montrer qu'un nombre de Carmichaël admet au moins trois facteurs premiers.
4. Résoudre l'équation 85p − 16k = 1, où (k, p) ∈ Z2 .
Déterminer le plus petit nombre de Carmichaël divisible par 5 et 17.
5. Montrer que les nombres 6k + 1, 12k + 1 et 18k + 1 sont tous les trois premiers, alors leur produit
est un nombre de Carmichael.
Exercice 2.
2016/2017
L3 Mathématiques
Algorithmique appliquée aux mathématiques
Université de Lorraine
Exercice 3.
On va montrer ici qu'il y a une innité de nombres pseudo-premiers de base a avec a > 2. Pour cela,
soient a > 2 et p un nombre premier impair vériant p - a(a2 − 1). Posons n = (a2p − 1)/(a2 − 1).
1. Montrer que n est un entier composé.
2. Montrer que a2p ≡ 1[n].
3. Calculer (a2 − 1)(n − 1) puis montrer que p | (n − 1).
4. Montrer que 2 | (n − 1).
5. En déduire que n est pseudo-premier de base a. Conclure.
Exercice 4.
1. Pour quelles bases 15 est-il pseudo-premier ?
2. Montrer que 105(= 3 × 5 × 7) est pseudo-premier de base 13 mais n'est pas pseudo-premier de base
2.
3. Donner un algorithme qui prend en entrée un entier n composé et renvoie l'ensemble des bases pour
lesquelles n est pseudo-premier.
Exercice 5.
Calculer les symboles de Legendre suivants :
Exercice 6.
7
17
;
28
13
;
10
83
;
665
97
Ecrire un algorithme permettant de calculer les symboles de Legendre.
Soit p un nombre premier impair.
1. Montrer que les racines carrées
d'un entier α ∈ Z dans Z/pZ (i.e. l'ensemble des éléments x ∈ Z/pZ
2
tels que x ≡ α[p]) est 1 + αp .
Exercice 7.
2. Soient a, b, c ∈ Z vériant p - a. Montrer que l'équation ax2 + bx + c = 0 possède 1 +
dans Z/pZ où ∆ = − 4ac.
3. Déterminer le nombre de solutions dans Z/83Z des équations suivantes :
a) x2 + 1 = 0 ;
b) x2 + x + 1 = 0 ;
c) x2 − 4x + 13 = 0 ;
d) x2 + x + 21 = 0.
b2
Exercice 8.
Calculer :
Soit p un nombre premier impair.
p+1
2
p
!
.
∆
p
solutions
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