dq - hyperplans et matrices orthogonales

DQ - HYPERPLANS
ET MATRICES ORTHOGONALES
L’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels étant muni du produit scalaire défini
par
X
< P, Q >= tr( tP.Q) =
pij qij
i,j
pour lequel la base canonique est orthonormée, tout hyperplan de Mn (R) est l’orthogonal d’une matrice H non nulle, et sera noté HH .
Rappelons que
tr(A.B) = tr(B.A) = tr( t A. t B) et
tr(P −1 AP ) = tr A .
Si U est une matrice orthogonale, soit ΦU l’application de Mn (R) dans lui même définie par
ΦU (P ) = t U.P.U = U −1 .P.U .
C’est un automorphisme de l’algèbre Mn (R), et
(ΦU )−1 = Φ t U .
On a également
ΦU ◦ ΦV = ΦV.U .
Propriété 1
L’application ΦU est une bijection de On sur lui-même.
Soit P une matrice orthogonale. On a
(ΦU (P ))−1 = (U −1 .P.U )−1
= U −1 .P −1 .U
=
t
U. t P.U
=
t t
=
t
( U.P.U )
(ΦU (P )) ,
et donc ΦU (P ) est orthogonale.
Comme de plus ΦU (P ) = Q équivaut à Φ tU (Q) = P , il en résulte que ΦU est une bijection de On sur
lui-même.
Propriété 2
L’application ΦU est une bijection de Sn sur lui-même.
DQ 2
Soit P une matrice symétrique. On a
t
(ΦU (P )) =
t t
( U.P.U )
=
t
U. t P U
=
t
U.P U
= ΦU (P ) ,
et donc ΦU (P ) est symétrique.
Comme de plus ΦU (P ) = Q équivaut à Φ tU (Q) = P , il en résulte que ΦU est une bijection de Sn sur
lui-même.
Propriété 3
La matrice P appartient à HH si et seulement si ΦU (P ) appartient à HΦU (H) .
On a
< ΦU (P ), ΦU (H) > = tr( t ( t U.P.U )( t U.H.U ))
= tr( t U. t P.U. t U.H.U )
= tr( t U. t P.H.U )
= tr( t P.H)
= < P, H > .
Donc < ΦU (P ), ΦU (H) > est nul si et seulement si < P, H > est nul.
Remarquons que si l’on considère l’espace vectoriel Rn , muni de sa base orthonormée canonique, et
si f est un endomorphisme de matrice H dans cette base, alors ΦU (H) est la matrice de f dans une
autre base orthonormée.
Théorème Si n ≥ 2, tout hyperplan HH de Mn (R) contient une matrice orthogonale.
De manière plus précise :
- il contient une matrice orthogonale et symétrique si n est pair,
- il contient une matrice orthogonale positive si n est impair.
1) Cas n = 2p.
Soit P dans On ∩ Sn . Puisque P est symétrique, on a les égalités
< P, H >=< t P, t H >=< P, t H > .
Donc, si P appartient à HH , les produits scalaires < P, H > et < P, t H > sont nuls. Il en résulte que
1
< P, (H + t H) >= 0
2
DQ 3
par suite, si l’on note Hs =
1
2
(H + t H), on en déduit que P appartient à HHs .
Réciproquement, si P appartient à HHs , alors < P, H + t H > est nul, donc
< P, H >= − < P, t H > ,
et, puisque P est symétrique,
< P, H >= − < t P, t H >
ou encore
< P, H >= − < P, H > .
On en déduit que < P, H > est nul, et que P est dans HH .
On en conclut que
On ∩ Sn ∩ HH = On ∩ Sn ∩ HHs .
On utilise maintenant le fait que la matrice Hs est symétrique, donc diagonalisable dans une base
orthonormée. Il existe alors une matrice orthogonale U telle que H ′ = ΦU (Hs ) soit diagonale.
Dans ce cas la matrice antidiagonale P ayant des 1 sur la deuxième diagonale et des zéros ailleurs est
orthogonale, symétrique et appartient à HH ′ . Donc Φ tU appartient à On ∩ Sn ∩ HH .
2) Cas n = 2p + 1 où p ≥ 1.
Il existe une matrice orthogonale U telle que les éléments diagonaux d1,1 , . . . , dn,n de D = ΦU (H)
vérifient
|d1,1 | ≤ |d2,2 | ≤ · · · ≤ |dn,n | .
En effet, si f est un endomorphisme de Rn dans la base canonique, changer l’ordre des éléments diagonaux revient à faire un changement de base en permutant l’ordre des vecteurs de base, c’est-à-dire un
changement de base orthonormée.
Remarquons tout d’abord que si dn,n = 0, alors tous les éléments diagonaux sont nuls et on peut
prendre P = In qui est orthogonale.
On suppose désormais dn,n non nul. Notons εk le signe de dk,k si dk,k 6= 0, et εk = 1 si dk,k = 0. Soit
P ′ la matrice diagonale d’ordre 2p − 1 dont les éléments diagonaux sont (−1)k εk , pour k compris entre
1 et 2p − 1. C’est une matrice orthogonale. Posons aussi
ε2p cos θ
−ε2p sin θ
Aθ =
,
ε2p+1 sin θ ε2p+1 cos θ
et
La matrice Pθ est orthogonale, et l’on a
′
P
0
Pθ =
.
0 Aθ
DQ 4
< Pθ , D > =
=
2p−1
X
(−1)k εk dk,k + (ε2p d2p,2p + ε2p+1 d2p+1,2p+1 ) cos θ + (ε2p+1 d2p+1,2p − ε2p d2p,2p+1 ) sin θ
k=1
2p−1
X
k=1
(−1)k |dk,k | + (|d2p,2p | + |d2p+1,2p+1 |) cos θ + (ε2p+1 d2p+1,2p − ε2p d2p,2p+1 ) sin θ .
Il reste à voir que l’on peut choisir θ pour que < Pθ , D > soit nul. Cette condition s’écrit
(|d2p,2p | + |d2p+1,2p+1 |) cos θ + (ε2p+1 d2p+1,2p − ε2p d2p,2p+1 ) sin θ =
2p−1
X
k=1
(−1)k−1 |dk,k | .
Elle est donc de la forme
a cos θ + b sin θ = c ,
avec a > 0 et, si α est un angle tel que
sin α = √
a
+ b2
a2
et
cos α = √
b
,
+ b2
a2
elle s’écrit encore
p
a2 + b2 sin(θ + α) = c .
Pour qu’elle soit vérifiée pour au moins un angle θ, il suffit que |c| ≤
√
a2 + b2 , et même que |c| ≤ |a| .
Montrons tout d’abord le lemme suivant :
Lemme
Soit (an )n≥1 une suite croissante de nombres réels positifs. Alors, quel que soit p ≥ 1,
2p−1
X
0≤
k=1
(−1)k−1 ak ≤ a2p + a2p+1 .
Tout d’abord
2p−1
X
k−1
(−1)
k=1
p−1
X
ak =
(a2k+1 − a2k ) + a1 ≥ 0 .
k=1
On démontre l’autre inégalité par récurrence. Pour p = 1, elle devient
a1 ≤ a2 + a3
ce qui est bien vérifié.
DQ 5
Supposons la propriété vraie à l’ordre p. Alors
2p+1
X
(−1)k−1 ak =
2p−1
X
k=1
k=1
(−1)k−1 ak + a2p+1 − a2p
≤ a2p + a2p+1 + a2p+1 − a2p
≤ 2a2p+1
≤ a2p+2 + a2p+3
et l’inégalité est vraie à l’ordre p + 1. Elle est donc vraie pour tout p ≥ 1.
On peut alors terminer la démonstration du théorème.
Puisque d’après le lemme
|c| =
2p−1
X
k=1
(−1)k−1 |dk,k | ≤ |d2p,2p | + |d2p+1,2p+1 | = |a|
la condition d’existence d’un angle θ tel que < Pθ , D >= 0 est satisfaite.
Alors pour un angle θ ainsi choisi, la matrice Φ tU (Pθ ) appartient à On ∩ HH .
Pour finir, on constate qui si det Φ tU (Pθ ) = −1, alors det(−Φ tU (Pθ )) = 1, et donc une des deux
matrices −Φ tU (Pθ ) ou Φ tU (Pθ ) est dans On+ .