Leçon n° 34 Trigonométrie Niveau Prérequis Références 9 De la 3e à la Terminale S géométrie du triangle, théorème de Pythagore, notion de fonction, produit scalaire [114], [115] 34.1 De la trigonométrie vue en classe de troisième 34.1.1 Définitions Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente \ de la manière suivante : de l’angle aigu ABC Définition 34.1 \ AC côté opposé à ABC = hypoténuse BC \ \ = côté adjacent à ABC = AB cos ABC hypoténuse BC \ \ = côté opposé à ABC = AC . tan ABC AB \ côté adjacent à ABC \= sin ABC C hypoténuse côté opposé A B côté adjacent F IGURE 34.1 – Côté opposé, côté adjacent à un angle, hypoténuse R 34.2 \: On a aussi avec l’angle ACB \= cos ACB AC \ = AB , tan ACB \ = AB . , sin ACB BC BC AC Propriété 34.3 Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont strictement plus grands que 0 et strictement plus petits que 1 et ils n’ont pas d’unité. R 34.4 [Sur la calculatrice (Casio FX-92)] 1. Lorsque l’on connaît le sinus d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les touches : Shift - sin . 2. Lorsque l’on connaît le cosinus d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les touches : Shift - cos . 10 Leçon n°34 • Trigonométrie 3. Lorsque l’on connaît le tangente d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les touches : Shift - tan . Exemples 34.5 — Connaissant sinus, cosinus et tangente. \ = 53, 13 degrés à 0, 01 près. un angle aigu alors ABC \ = 0, 8 et ABC \ est 1. Si sin ABC \ = 0, 5 et ABC \ est un angle aigu alors ABC \ = 60 degrés. 2. Si cos ABC \ = 0, 2 et ABC \ est un angle aigu alors ABC \ = 11, 30 degrés à 0, 01 près. 3. Si tan ABC 34.1.2 Formules de trigonométrie Propriété 34.6 Pour toutes valeurs de x, on a : cos2 x + sin2 x = 1 et tan x = sin x . cos x Dv • Démonstration de la propriété 34.6 — On se place dans le cas où x est une valeur strictement compris entre 0 et 90 degrés. Prenons un triangle ABC rectangle en A tel que \ = x. On a alors : ABC AB AC AC , sin x = , tan x = . BC BC AB cos x = Ainsi, cos2 x + sin2 x = AB BC 2 + AC BC 2 = AB 2 AC 2 AB 2 + AC 2 + = . 2 2 BC BC BC 2 On sait que le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, on a AB 2 + AC 2 = BC 2 . D’où : cos2 x + sin2 x = De plus : sin x = cos x AC BC AB BC = BC 2 = 1. BC 2 AC BC AC × = = tan x. BC AB AB • 11 34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S 34.1.3 Quelques exemples \ = 30° et DF = 5. 1. Soit DEF un triangle rectangle en D tel que DEF Quelle est la mesure de EF ?. Comme DEF est un triangle rectangle en D : Exemples 34.7 DE DF DE sin 30 = 5 DE = 5 × sin 30 \= sin DEF DE = 2, 5 2. ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 7. On veut déterminer la mesure \ à 0, 01 près. Comme ABC est un triangle rectangle en A. de l’angle ABC AC AB \= 7 tan ABC 5 \ ABC = 50, 19 degrés à 0,01 près. \= tan ABC La dernière étape est faite grâce à la calculatrice (en tapant les touches Shift - tan ). 34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S 34.2.1 Le radian Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que l’angle plat (180°) mesure π radians. Définition 34.8 — Radian. R 34.9 Pour trouver la mesure d’un angle de x degrés, on a recours à un tableau de proportionnalité. degrés radians Exemple 34.10 180 π x α Un angle de 60° vaut en radians : α= π 60π = rad. 180 3 34.2.2 Cercle trigonométrique Si on munit le plan d’un repère orthonormé (O, #» ı , #» ). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d’une montre). #» # » Soit M un point du cercle tel que α soit une mesure (en radians) de l’angle orienté (OI, OM ). Définition 34.11 — Cercle trigonométrique. 12 Leçon n°34 • Trigonométrie On appelle cosinus et sinus de α et on note cos α et sin α, les coordonnées du point M dans le repère (O, #» ı , #» ): Définition 34.12 — Sinus et cosinus. # » #» # » OM = (cos α)OI + (sin α)OJ. Soit ∆ la droite (verticale) d’équation x = 1 dans le repère orthonormé (O, #» ı , #» ) et H le point défini par (OM ) ∩ ∆. Ce point H existe dès lors que ∆ et (OM ) ne sont pas parallèles, c’est-à-dire dès que M n’est ni en J(0, 1), ni en J 0 (0, −1), c’est-à-dire dès que α 6= π2 + 2kπ (k ∈ Z). Définition 34.13 — Tangente. le repère (O, #» ı , #» ). On appelle tangente de α et on note tan α, l’ordonnée du point H dans J H sin α M tan α Oα cos α I J0 F IGURE 34.2 – Cercle trigonométrique, cosinus, sinus et tangente d’un angle La table 34.1 rappelle les valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente. α sin α cos α tan α 0 0 1 0 π 6 1 √2 3 √2 3 3 π √4 2 √2 2 2 1 π √3 3 2 1 √2 3 π 2 1 0 non définie TABLE 34.1 – Valeurs remarquables Dv • Calcul de valeurs remarquables — Pour calculer les valeurs de sin π4 et cos π4 , on exploite la diagonale du carré (de côté 1). 13 34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S y (0, 1) √ 3 1 2 ,2 − √ 3 2 √ 2 2 , 2 2 − √ − 21 , π 3 120◦ 5π 6 90◦ 60◦ − 3 1 2 , −2 √ − √ 2 2 2 ,− 2 − 21 , − 330◦ 240◦ 5π 4 4π 3 √ 3 2 (1, 0) 2π 360 0◦ ◦ 7π 6 3 1 2 ,2 30◦ 210◦ √ √ π 6 180◦ π √ 2 2 , 2 2 π 4 150◦ (−1, 0) √ π 2 2π 3 3π 4 √ 3 1 , 2 2 270◦ 3π 2 (0, −1) 11π 6 300◦ √ 7π 4 5π 3 3 1 2 , −2 √ √ 3 1 , − 2 2 √ 2 2 2 ,− 2 F IGURE 34.3 – Cercle trigonométrique et quelques valeurs remarquables x 14 Leçon n°34 • Trigonométrie D C √ 2 π 4 A B 1 Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : √ π BC 1 2 sin = =√ = 4 AC 2 2 √ π AB 1 2 cos = =√ = 4 AC 2 2 π BC tan = = 1. 4 AB Pour calculer les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente de π3 et π6 , on exploite naturellement la configuration du triangleq équilatéral de côté 1 avec une de ses hauteurs qui, d’après √ 2 le théorème de Pythagore, mesure 12 − 21 = 23 . C π 6 1 A √ 3 2 π 3 H B 1 2 Dans le triangle AHC rectangle en H, on a : √ π AH 1 π CH 3 π AH sin = = , cos = = , tan = = 6 AC 2 6 AC 2 6 CH 1 √2 3 2 √ CH π AH 1 π CH π 3 sin = = , cos = = , tan = = 3 AC 2 3 AC 2 3 AH √ 1 3 =√ = 3 3 √ 3 2 1 2 = √ 3. • 15 34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S 1. cos(x + 2kπ) = cos x Propriété 34.14 — Sinus et cosinus. 2. sin(x + 2kπ) = sin x 3. cos2 x + sin2 x = 1 4. −1 ≤ cos x ≤ 1 5. −1 ≤ sin x ≤ 1 √ √ π π On admet que cos 12 = 6+4 2 , on veut calculer la valeur exacte de sin 12 . On utilise la relation 3 : π π cos2 + sin2 = 1. 12 12 π : On calcule cos2 12 Exemple 34.15 π cos = 12 2 D’où : √ 6+ 4 √ !2 2 √ √ 6 + 2 12 + 2 2+ 3 = = . 16 4 √ √ 2+ 3 2− 3 π 2 π = 1 − cos =1− = . sin 12 12 4 4 2 Or √ A2 = |A| donc : π Or, sin 12 ≥ 0 car π 12 ∈ [0 , π]. Donc : sin π = 12 π sin = 12 s s √ 2− 3 . 4 √ 2− 3 . 4 34.2.3 Fonction sinus et cosinus Définition 34.16 — Fonction périodique. réel x, on a : f (x + T ) = f (x). Une fonction f est dite périodique de période T si pour tout Pour étudier une fonction périodique, on se limite à une période car : · · · = f (x + 2T ) = f (x + T ) = f (x) = f (x − T ) = f (x − 2T ) = · · · Théorème 34.17 Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. De plus, la fonction cosinus est paire (cos(−x) = cos x) et la fonction sinus est impaire (sin(−x) = − sin x). y −5 −4 −3 −2 −1 O 1 2y 3 y = sin(x) 4 5 = cos(x) x F IGURE 34.4 – Représentation graphique de x 7→ sin(x) et x 7→ cos(x) 16 Leçon n°34 • Trigonométrie 34.2.4 Résolution des équations cos x = a et sin x = a (x ∈ R) — Si a ∈ / [−1 , 1] alors ces équations n’ont pas de solutions (car −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1) — Si a ∈ [−1 , 1], elles ont une infinité Pour cos x = a on résout déjà l’équation sur l’intervalle [0 , 2π] en cherchant à l’aide du cercle trigonométrique les deux angles α et −α dont le cosinus vaut a. On trouve les solutions de l’équation en ajoutant les multiples de 2π. cos x = a ⇔ x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ, k∈Z Pour cos x = a on résout déjà l’équation sur l’intervalle [0 , 2π] en cherchant à l’aide du cercle trigonométrique les deux angles α et π − α dont le sinus vaut a. On trouve les solutions de l’équation en ajoutant les multiples de 2π. sin x = a ⇔ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ, k∈Z 34.2.5 Angles associés Propriétés 34.18 On a les propriétés suivantes : π 2 1. cos(−x) = cos x, +x π 2 −x 2. sin(−x) = sin x, 3. cos(π − x) = − cos x, 4. sin(π − x) = sin x, π−x x π+x −x 5. cos(π + x) = − cos x, 6. sin(π + x) = − sin x 7. cos( π2 + x) = − sin x, 8. sin( π2 + x) = cos x, 9. cos( π2 − x) = sin x, 10. sin( π2 − x) = cos x. Dv • Démonstration des propriétés 34.18 — Les relations cos(−x) = cos x et sin(−x) = − sin x s’obtiennent immédiatement par symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Supposons tout d’abord que x est un angle aigu (c’est-à-dire x ∈ [0 , π2 ]. On montre les relations : π π cos − x = sin x et sin − x = cos x. 2 2 On note I, J, M et N les points du cercle trigonométrique correspondants aux angles de 0, π2 , x et π2 − x radians respectivement. Notons H (resp. K) le projeté orthogonal de M (resp. N ) 17 34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S sur l’axe des abscisses (resp. ordonnées). D’après la relation de Chasles sur les angles : #» # » #» # » # » # » (OI, OJ) = (OI, ON ) + (ON , OJ) π 2 +x π π # » # » = − x + (ON , OJ) (mod 2π) 2 2 # » # » ⇔ (ON , OJ) = x (mod 2π). (mod 2π) ⇔ J K N M π−x x O x HI Les coordonnées du point M sont M (cos x, sin x), celles du point N sont : N (cos( π2 − x), sin( π2 − x)). Comme x est un angle aigu, toutes ces coordonnées sont positives et : π+x π −x π − x = KN et sin − x = OK. cos 2 2 Mais par ailleurs, d’après les relations métriques dans le triangle ON K rectangle en K, on a: cos x = OK et sin x = KN. π D’où les relations : cos 2 − x = sin x et sin π2 − x = cos x. Les autres relations se démontrent de manière analogue. Par exemple, si x appartient à [− π2 , 0], on pose y = −x. Comme y est un angle aigu, on a, par exemple, en utilisant ce qui précède : π π − y = sin y et cos + y = − sin y, cos 2 2 c’est-à-dire : π cos + x = sin(−x) = − sin x 2 et cos π 2 − x = − sin(−x) = sin x. De même, si x appartient à [ π2 , 3π 2 ], alors on pose y = π − x et on utilise les formules précédentes. • 34.2.6 Formules trigonométriques Proposition 34.19 — Formules d’addition. 2. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b, 3. sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b, 4. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Dv 1. cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b, 18 Leçon n°34 • Trigonométrie • Justification d’une formule de trigonométrie — Méthode utilisant le produit scalaire On va étudier la quantité cos(a − b) où a et b sont deux nombres réels. Dans un repère orthonormé (O, #» ı , #» ), considérons deux vecteurs #» u #» et v unitaires tels que : ( #» ı , #» u) = a et ( #» ı , #» v ) = b. → − → − u → − v b−a b Oa → −ı Une première expression du produit scalaire donne : #» u · #» v = cos( #» u , #» v ). D’après la relation de Chasles : ( #» u , #» v ) = ( #» u , #» ı ) + ( #» ı , #» v) = b−a donc #» u · #» v = cos(b − a) = cos(a − b) car la fonction cosinus est paire. D’autre part, d’après la définition du cosinus et du sinus, on a : cos a cos b #» #» u = et v = sin a sin b D’après l’expression du produit scalaire avec les coordonnées (xx0 + yy 0 ), on obtient alors : #» u · #» v = cos a cos b + sin a sin b. Ce qui nous donne une formule trigonométrique : cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Méthode n’utilisant pas le produit scalaire On étudie cette fois-ci cos(a + b) où a et b sont deux nombres réels. On considère le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère #» # » orthonormé (O, #» ı , #» ). Sur ce cercle, on place un point A tel que (OI, OA) = a, le point # » # » # » # » M tel que (OA, OM ) = b et le point A0 tel que (OA, OA0 ) = π2 . 19 34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S A0 J M A b O a I D’après la relation de Chasles pour les angles, on a : #» # » #» # » # » # » (OI, OM ) = (OI, OA) + (OA, OM ) = a + b (mod 2π) Donc : # » #» # » OM = cos(a + b)OI + sin(a + b)OJ. Mais en se plaçant dans le repère orthonormé (O, A, A0 ), on a : # » # » # » OM = cos(b)OA + sin(b)OA0 # » # » et en exprimant les coordonnées des vecteurs OA et OA0 dans le repère (O, #» ı , #» ), on a : # » #» # » OA = cos(a)OI + sin(a)OJ et π #» π # » # » #» # » + a OI + sin + a OJ = − sin(a)OI + cos(a)OJ. OA0 = cos 2 2 Finalement : # » #» # » #» # » OM = cos(b) cos(a)OI + cos(b) sin(a)OJ − sin(b) sin(a)OI + sin(b) cos(a)OJ #» # » = [cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)]OI + [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)]OJ et par unicité des coordonnées d’un vecteur dans un repère, il vient les deux relations : cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) • Proposition 34.20 — Formules de duplication. 2. sin(2a) = 2 sin a cos a. Dv 1. cos(2a) = cos2 a − sin2 a, 20 Leçon n°34 • Trigonométrie • Démonstration de la proposition 34.20 — cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a − sin a sin a = cos2 a − sin2 a sin(2a) = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a • Proposition 34.21 — Formule de linéarisation. 2. sin2 a = 1. cos2 a = 1−cos(2a) . 2 1+cos(2a) , 2 Dv • Démonstration de la proposition 34.21 — On rappelle que sin2 x + cos2 x = 1 quelque soit le réel x. Donc : cos(2a) = cos2 a − (1 − cos2 a) = 2 cos2 a − 1, d’où cos2 a = 1+cos(2a) . 2 De même, cos(2a) = (1 − sin2 a) − sin2 a = 1 − 2 sin2 a, d’où sin2 a = 1−cos(2a) . 2 • π π On va calculer les valeurs exactes de cos π8 , sin π8 , cos 12 , sin 12 . En utilisant les formules de linéarisation : Exemple 34.22 et comme cos π8 1 + cos π4 1+ π cos = = 8 2 2 √ √ 2 π > 0, il vient cos 8 = 2+ 2 et comme sin π8 1 − cos π4 1− π sin2 = = 8 2 2 √ √ 2 > 0, il vient sin π8 = 2− . D’où : 2 2 π tan = 8 s √ √ 2+ 2 = 4 √ √ 2− 2 = 2 2 2 2 2 √ 2− 2 √ . 2+ 2 Or : √ √ √ √ √ √ 2− 2 (2 − 2)2 6−4 2 √ = √ √ = = 3 − 2 2 = 1 − 2 2 + 2 = (1 − 2)2 . 4−2 2+ 2 (2 − 2)(2 + 2) D’où : tan √ √ π = 1 − 2 = 2 − 1. 8 34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S 21 En utilisant les formules d’addition : √ √ √ √ √ π π π π π π π 1 2 3 2 6+ 2 cos = cos cos + sin sin = × = cos − + × = 12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 2 √ √ √ √ √ π π π π π π π 3 2 1 2 6− 2 = sin cos − cos sin = sin = sin − × − × = . 12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 2 D’où √ √ √ √ √ √ 6− 2 ( 6 − 2)2 8 − 2 12 π √ = √ √ √ √ = =√ = 2 − 3. tan 12 6−2 6+ 2 ( 6 + 2)( 6 − 2) 22 Leçon n°34 • Trigonométrie Bibliographie [1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre. [2] C. L E B OT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/ wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf. [3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html [4] O. 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