Trigonométrie 34 - Les leçons de mathématiques à l`oral du CAPES

9
Trigonométrie
34
Leçon n°
Niveau De la 3eà la Terminale S
Prérequis géométrie du triangle, théorème de Pythagore, notion de fonction, produit scalaire
Références [114], [115]
34.1 De la trigonométrie vue en classe de troisième
34.1.1 Définitions
Définition 34.1 Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente
de l’angle aigu \ ABC de la manière suivante :
sin \ ABC =côté opposé à \
ABC
hypoténuse =AC BC
cos \ ABC =côté adjacent à \
ABC
hypoténuse =AB BC
tan \ ABC =côté opposé à \
ABC
côté adjacent à \ ABC =AC
AB .
côté adjacent
côté opposé
hypoténuse
A B
C
FIGURE 34.1 – Côté opposé, côté adjacent à un angle, hypoténuse
R34.2 On a aussi avec l’angle \
ACB :
cos \ ACB =AC
BC ,sin \
ACB =AB
BC ,tan \
ACB =AB
AC .
Propriété 34.3 Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont strictement plus grands que 0 et strictement
plus petits que 1 et ils n’ont pas d’unité.
R34.4 [Sur la calculatrice (Casio FX-92)]
1. Lorsque l’on connaît le sinus d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les touches :
Shift -sin .
2. Lorsque l’on connaît le cosinus d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les
touches : Shift -cos .

10 Leçon n°34 •Trigonométrie
3. Lorsque l’on connaît le tangente d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les
touches : Shift -tan .
Exemples 34.5 — Connaissant sinus, cosinus et tangente. 1. Si sin \ ABC = 0,8et \ ABC est
un angle aigu alors \ ABC = 53,13 degrés à 0,01 près.
2. Si cos \ ABC = 0,5et \ ABC est un angle aigu alors \ ABC = 60 degrés.
3. Si tan \ ABC = 0,2et \ ABC est un angle aigu alors \ ABC = 11,30 degrés à 0,01 près.
34.1.2 Formules de trigonométrie
Propriété 34.6 Pour toutes valeurs de x,ona:
cos2x+ sin2x= 1 et tan x=sin x
cos x.
Dv
•Démonstration de la propriété 34.6 —On se place dans le cas où xest une valeur
strictement compris entre 0et 90 degrés. Prenons un triangle ABC rectangle en Atel que
\
ABC =x. On a alors :
cos x=AB
BC ,sin x=AC BC ,tan x=AC AB .
Ainsi,
cos2x+ sin2x=AB
BC 2
+AC
BC 2
=AB2
BC2+AC2 BC2=AB2+AC2 BC2.
On sait que le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, on a
AB2+AC2=BC2. D’où :
cos2x+ sin2x=BC2
BC2= 1.
De plus :
sin x
cos x=
AC
BC
AB
BC
=AC
BC ×BC AB =AC AB = tan x.
•

34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S 11
34.1.3 Quelques exemples
Exemples 34.7 1. Soit DEF un triangle rectangle en Dtel que \ DEF = 30° et DF = 5.
Quelle est la mesure de EF ?. Comme DEF est un triangle rectangle en D:
sin \ DEF =DE
DF
sin 30 = DE
5
DE = 5 ×sin 30
DE = 2,5
2. ABC est un triangle rectangle en Atel que AB = 5 et AC = 7. On veut déterminer la mesure
de l’angle \ ABC à0,01 près. Comme ABC est un triangle rectangle en A.
tan \ ABC =AC
AB
tan \ ABC =7
5
\
ABC = 50,19 degrés à 0,01 près.
La dernière étape est faite grâce à la calculatrice (en tapant les touches Shift -tan ).
34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S
34.2.1 Le radian
Définition 34.8 — Radian. Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que l’angle
plat (180°) mesure πradians.
R34.9 Pour trouver la mesure d’un angle de xdegrés, on a recours à un tableau de proportionnalité.
degrés 180 x
radians π α
Exemple 34.10 Un angle de 60° vaut en radians :
α=60π
180 =π 3rad.
34.2.2 Cercle trigonométrique
Définition 34.11 — Cercle trigonométrique. Si on munit le plan d’un repère orthonormé (O, #» ı , #» ).
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre Oet de rayon 1orienté dans le sens direct (sens
contraire des aiguilles d’une montre).
Soit Mun point du cercle tel que αsoit une mesure (en radians) de l’angle orienté (
# »
OI,
# »
OM).

12 Leçon n°34 •Trigonométrie
Définition 34.12 — Sinus et cosinus. On appelle cosinus et sinus de αet on note cos αet sin α, les
coordonnées du point Mdans le repère (O, #» ı , #» ):
# »
OM = (cos α)
# »
OI + (sin α)
# »
OJ.
Soit ∆la droite (verticale) d’équation x= 1 dans le repère orthonormé (O, #» ı , #» )et Hle point défini
par (OM)∩∆. Ce point Hexiste dès lors que ∆et (OM )ne sont pas parallèles, c’est-à-dire dès que
Mn’est ni en J(0,1), ni en J0(0,−1), c’est-à-dire dès que α6=π
2+ 2kπ (k∈Z).
Définition 34.13 — Tangente. On appelle tangente de αet on note tan α, l’ordonnée du point Hdans
le repère (O, #» ı , #» ).
sin α
cos α
tan α
O I
J
J0
M
H
α
FIGURE 34.2 – Cercle trigonométrique, cosinus, sinus et tangente d’un angle
La table 34.1 rappelle les valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente.
α0π
6
π
4
π
3
π
2
sin α01
2
√2
2
√3
21
cos α1√3
2
√2
2
1
20
tan α0√3
31√3non définie
TABLE 34.1 – Valeurs remarquables
Dv
•Calcul de valeurs remarquables — Pour calculer les valeurs de sin π
4et cos π 4, on exploite
la diagonale du carré (de côté 1).

34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S 13
x
y
0◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
360◦
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
√3
2,1 2
√2
2,√2 2
1
2,√3 2
−√3
2,1 2
−√2
2,√2 2
−1
2,√3 2
−√3
2,−1 2
−√2
2,−√2 2
−1
2,−√3 2
√3
2,−1 2
√2
2,−√2 2
1
2,−√3 2
(−1,0) (1,0)
(0,−1)
(0,1)
FIGURE 34.3 – Cercle trigonométrique et quelques valeurs remarquables