Trigonométrie 34 - Les leçons de mathématiques à l`oral du CAPES

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Leçon n°
34
Trigonométrie
Niveau
Prérequis
Références
9
De la 3e à la Terminale S
géométrie du triangle, théorème de Pythagore, notion de fonction, produit scalaire
[114], [115]
34.1 De la trigonométrie vue en classe de troisième
34.1.1 Définitions
Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente
\ de la manière suivante :
de l’angle aigu ABC
Définition 34.1
\
AC
côté opposé à ABC
=
hypoténuse
BC
\
\ = côté adjacent à ABC = AB
cos ABC
hypoténuse
BC
\
\ = côté opposé à ABC = AC .
tan ABC
AB
\
côté adjacent à ABC
\=
sin ABC
C
hypoténuse
côté opposé
A
B
côté adjacent
F IGURE 34.1 – Côté opposé, côté adjacent à un angle, hypoténuse
R
34.2
\:
On a aussi avec l’angle ACB
\=
cos ACB
AC
\ = AB , tan ACB
\ = AB .
, sin ACB
BC
BC
AC
Propriété 34.3 Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont strictement plus grands que 0 et strictement
plus petits que 1 et ils n’ont pas d’unité.
R
34.4
[Sur la calculatrice (Casio FX-92)]
1. Lorsque l’on connaît le sinus d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les touches :
Shift - sin .
2. Lorsque l’on connaît le cosinus d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les
touches : Shift - cos .
10
Leçon n°34 • Trigonométrie
3. Lorsque l’on connaît le tangente d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les
touches : Shift - tan .
Exemples 34.5 — Connaissant sinus, cosinus et tangente.
\ = 53, 13 degrés à 0, 01 près.
un angle aigu alors ABC
\ = 0, 8 et ABC
\ est
1. Si sin ABC
\ = 0, 5 et ABC
\ est un angle aigu alors ABC
\ = 60 degrés.
2. Si cos ABC
\ = 0, 2 et ABC
\ est un angle aigu alors ABC
\ = 11, 30 degrés à 0, 01 près.
3. Si tan ABC
34.1.2 Formules de trigonométrie
Propriété 34.6
Pour toutes valeurs de x, on a :
cos2 x + sin2 x = 1
et
tan x =
sin x
.
cos x
Dv
• Démonstration de la propriété 34.6 — On se place dans le cas où x est une valeur
strictement compris entre 0 et 90 degrés. Prenons un triangle ABC rectangle en A tel que
\ = x. On a alors :
ABC
AB
AC
AC
, sin x =
, tan x =
.
BC
BC
AB
cos x =
Ainsi,
cos2 x + sin2 x =
AB
BC
2
+
AC
BC
2
=
AB 2
AC 2
AB 2 + AC 2
+
=
.
2
2
BC
BC
BC 2
On sait que le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, on a
AB 2 + AC 2 = BC 2 . D’où :
cos2 x + sin2 x =
De plus :
sin x
=
cos x
AC
BC
AB
BC
=
BC 2
= 1.
BC 2
AC
BC
AC
×
=
= tan x.
BC
AB
AB
•
11
34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S
34.1.3 Quelques exemples
\ = 30° et DF = 5.
1. Soit DEF un triangle rectangle en D tel que DEF
Quelle est la mesure de EF ?. Comme DEF est un triangle rectangle en D :
Exemples 34.7
DE
DF
DE
sin 30 =
5
DE = 5 × sin 30
\=
sin DEF
DE = 2, 5
2. ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 7. On veut déterminer la mesure
\ à 0, 01 près. Comme ABC est un triangle rectangle en A.
de l’angle ABC
AC
AB
\= 7
tan ABC
5
\
ABC = 50, 19 degrés à 0,01 près.
\=
tan ABC
La dernière étape est faite grâce à la calculatrice (en tapant les touches Shift - tan ).
34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S
34.2.1 Le radian
Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que l’angle
plat (180°) mesure π radians.
Définition 34.8 — Radian.
R
34.9
Pour trouver la mesure d’un angle de x degrés, on a recours à un tableau de proportionnalité.
degrés
radians
Exemple 34.10
180
π
x
α
Un angle de 60° vaut en radians :
α=
π
60π
= rad.
180
3
34.2.2 Cercle trigonométrique
Si on munit le plan d’un repère orthonormé (O, #»
ı , #»
 ).
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens direct (sens
contraire des aiguilles d’une montre).
#» # »
Soit M un point du cercle tel que α soit une mesure (en radians) de l’angle orienté (OI, OM ).
Définition 34.11 — Cercle trigonométrique.
12
Leçon n°34 • Trigonométrie
On appelle cosinus et sinus de α et on note cos α et sin α, les
coordonnées du point M dans le repère (O, #»
ı , #»
):
Définition 34.12 — Sinus et cosinus.
# »
#»
# »
OM = (cos α)OI + (sin α)OJ.
Soit ∆ la droite (verticale) d’équation x = 1 dans le repère orthonormé (O, #»
ı , #»
 ) et H le point défini
par (OM ) ∩ ∆. Ce point H existe dès lors que ∆ et (OM ) ne sont pas parallèles, c’est-à-dire dès que
M n’est ni en J(0, 1), ni en J 0 (0, −1), c’est-à-dire dès que α 6= π2 + 2kπ (k ∈ Z).
Définition 34.13 — Tangente.
le repère (O, #»
ı , #»
 ).
On appelle tangente de α et on note tan α, l’ordonnée du point H dans
J
H
sin α
M
tan α
Oα
cos α
I
J0
F IGURE 34.2 – Cercle trigonométrique, cosinus, sinus et tangente d’un angle
La table 34.1 rappelle les valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente.
α
sin α
cos α
tan α
0
0
1
0
π
6
1
√2
3
√2
3
3
π
√4
2
√2
2
2
1
π
√3
3
2
1
√2
3
π
2
1
0
non définie
TABLE 34.1 – Valeurs remarquables
Dv
• Calcul de valeurs remarquables — Pour calculer les valeurs de sin π4 et cos π4 , on exploite
la diagonale du carré (de côté 1).
13
34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S
y
(0, 1)
√
3 1
2 ,2
−
√
3
2
√ 2
2
,
2
2
−
√
− 21 ,
π
3
120◦
5π
6
90◦
60◦
−
3
1
2 , −2
√
−
√ 2
2
2 ,− 2
− 21 , −
330◦
240◦
5π
4
4π
3
√
3
2
(1, 0)
2π
360
0◦ ◦
7π
6
3 1
2 ,2
30◦
210◦
√
√
π
6
180◦
π
√ 2
2
,
2
2
π
4
150◦
(−1, 0)
√
π
2
2π
3
3π
4
√ 3
1
,
2 2
270◦
3π
2
(0, −1)
11π
6
300◦
√
7π
4
5π
3
3
1
2 , −2
√
√ 3
1
,
−
2
2
√ 2
2
2 ,− 2
F IGURE 34.3 – Cercle trigonométrique et quelques valeurs remarquables
x
14
Leçon n°34 • Trigonométrie
D
C
√
2
π
4
A
B
1
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
√
π
BC
1
2
sin =
=√ =
4
AC
2
2
√
π
AB
1
2
cos =
=√ =
4
AC
2
2
π
BC
tan =
= 1.
4
AB
Pour calculer les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente de π3 et π6 , on exploite naturellement la configuration du triangleq
équilatéral de côté 1 avec une de ses hauteurs qui, d’après
√
2
le théorème de Pythagore, mesure 12 − 21 = 23 .
C
π
6
1
A
√
3
2
π
3
H
B
1
2
Dans le triangle AHC rectangle en H, on a :
√
π
AH
1
π
CH
3
π
AH
sin =
= , cos =
=
, tan =
=
6
AC
2
6
AC
2
6
CH
1
√2
3
2
√
CH
π
AH
1
π
CH
π
3
sin =
=
, cos =
= , tan =
=
3
AC
2
3
AC
2
3
AH
√
1
3
=√ =
3
3
√
3
2
1
2
=
√
3.
•
15
34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S
1. cos(x + 2kπ) = cos x
Propriété 34.14 — Sinus et cosinus.
2. sin(x + 2kπ) = sin x
3. cos2 x + sin2 x = 1
4. −1 ≤ cos x ≤ 1
5. −1 ≤ sin x ≤ 1
√
√
π
π
On admet que cos 12
= 6+4 2 , on veut calculer la valeur exacte de sin 12
. On
utilise la relation 3 :
π
π
cos2
+ sin2
= 1.
12
12
π
:
On calcule cos2 12
Exemple 34.15
π
cos
=
12
2
D’où :
√
6+
4
√ !2
2
√
√
6 + 2 12 + 2
2+ 3
=
=
.
16
4
√
√
2+ 3
2− 3
π
2 π
= 1 − cos
=1−
=
.
sin
12
12
4
4
2
Or
√
A2 = |A| donc :
π
Or, sin 12
≥ 0 car
π
12
∈ [0 , π]. Donc :
sin π =
12 π
sin
=
12
s
s
√
2− 3
.
4
√
2− 3
.
4
34.2.3 Fonction sinus et cosinus
Définition 34.16 — Fonction périodique.
réel x, on a : f (x + T ) = f (x).
Une fonction f est dite périodique de période T si pour tout
Pour étudier une fonction périodique, on se limite à une période car :
· · · = f (x + 2T ) = f (x + T ) = f (x) = f (x − T ) = f (x − 2T ) = · · ·
Théorème 34.17 Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. De plus, la fonction
cosinus est paire (cos(−x) = cos x) et la fonction sinus est impaire (sin(−x) = − sin x).
y
−5
−4
−3
−2
−1
O
1
2y
3 y = sin(x)
4
5
= cos(x)
x
F IGURE 34.4 – Représentation graphique de x 7→ sin(x) et x 7→ cos(x)
16
Leçon n°34 • Trigonométrie
34.2.4 Résolution des équations cos x = a et sin x = a (x ∈ R)
— Si a ∈
/ [−1 , 1] alors ces équations n’ont pas de solutions (car −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤
sin x ≤ 1)
— Si a ∈ [−1 , 1], elles ont une infinité
Pour cos x = a on résout déjà l’équation sur l’intervalle [0 , 2π] en cherchant à l’aide du
cercle trigonométrique les deux angles α et −α dont le cosinus vaut a. On trouve les
solutions de l’équation en ajoutant les multiples de 2π.
cos x = a ⇔ x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ,
k∈Z
Pour cos x = a on résout déjà l’équation sur l’intervalle [0 , 2π] en cherchant à l’aide du
cercle trigonométrique les deux angles α et π − α dont le sinus vaut a. On trouve les
solutions de l’équation en ajoutant les multiples de 2π.
sin x = a ⇔ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ,
k∈Z
34.2.5 Angles associés
Propriétés 34.18
On a les propriétés suivantes :
π
2
1. cos(−x) = cos x,
+x
π
2
−x
2. sin(−x) = sin x,
3. cos(π − x) = − cos x,
4. sin(π − x) = sin x,
π−x
x
π+x
−x
5. cos(π + x) = − cos x,
6. sin(π + x) = − sin x
7. cos( π2 + x) = − sin x,
8. sin( π2 + x) = cos x,
9. cos( π2 − x) = sin x,
10. sin( π2 − x) = cos x.
Dv
• Démonstration des propriétés 34.18 — Les relations cos(−x) = cos x et sin(−x) =
− sin x s’obtiennent immédiatement par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
Supposons tout d’abord que x est un angle aigu (c’est-à-dire x ∈ [0 , π2 ]. On montre les
relations :
π
π
cos
− x = sin x et sin
− x = cos x.
2
2
On note I, J, M et N les points du cercle trigonométrique correspondants aux angles de 0, π2 ,
x et π2 − x radians respectivement. Notons H (resp. K) le projeté orthogonal de M (resp. N )
17
34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S
sur l’axe des abscisses (resp. ordonnées). D’après la relation de Chasles sur les angles :
#» # »
#» # »
# » # »
(OI, OJ) = (OI, ON ) + (ON , OJ)
π
2
+x
π
π
# » # »
= − x + (ON , OJ) (mod 2π)
2
2
# » # »
⇔ (ON , OJ) = x (mod 2π).
(mod 2π) ⇔
J
K
N
M
π−x
x
O
x
HI
Les coordonnées du point M sont M (cos x, sin x), celles du point N sont : N (cos( π2 −
x), sin( π2 − x)). Comme x est un angle aigu, toutes ces coordonnées sont positives et :
π+x
π −x
π
− x = KN et sin
− x = OK.
cos
2
2
Mais par ailleurs, d’après les relations métriques dans le triangle ON K rectangle en K, on
a:
cos x = OK et sin x = KN.
π
D’où les relations : cos 2 − x = sin x et sin π2 − x = cos x. Les autres relations se
démontrent de manière analogue.
Par exemple, si x appartient à [− π2 , 0], on pose y = −x. Comme y est un angle aigu, on a,
par exemple, en utilisant ce qui précède :
π
π
− y = sin y et cos
+ y = − sin y,
cos
2
2
c’est-à-dire :
π
cos
+ x = sin(−x) = − sin x
2
et
cos
π
2
− x = − sin(−x) = sin x.
De même, si x appartient à [ π2 , 3π
2 ], alors on pose y = π − x et on utilise les formules
précédentes.
•
34.2.6 Formules trigonométriques
Proposition 34.19 — Formules d’addition.
2. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
3. sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b,
4. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Dv
1. cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b,
18
Leçon n°34 • Trigonométrie
• Justification d’une formule de trigonométrie —
Méthode utilisant le produit scalaire On va étudier la quantité cos(a − b) où a et b sont
deux nombres réels. Dans un repère orthonormé (O, #»
ı , #»
 ), considérons deux vecteurs #»
u
#»
et v unitaires tels que :
( #»
ı , #»
u) = a
et
( #»
ı , #»
v ) = b.
→
−
→
−
u
→
−
v
b−a
b
Oa
→
−ı
Une première expression du produit scalaire donne :
#»
u · #»
v = cos( #»
u , #»
v ).
D’après la relation de Chasles :
( #»
u , #»
v ) = ( #»
u , #»
ı ) + ( #»
ı , #»
v) = b−a
donc #»
u · #»
v = cos(b − a) = cos(a − b) car la fonction cosinus est paire. D’autre part,
d’après la définition du cosinus et du sinus, on a :
cos a
cos b
#»
#»
u =
et v =
sin a
sin b
D’après l’expression du produit scalaire avec les coordonnées (xx0 + yy 0 ), on obtient
alors :
#»
u · #»
v = cos a cos b + sin a sin b.
Ce qui nous donne une formule trigonométrique :
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b.
Méthode n’utilisant pas le produit scalaire On étudie cette fois-ci cos(a + b) où a et b sont
deux nombres réels. On considère le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère
#» # »
orthonormé (O, #»
ı , #»
 ). Sur ce cercle, on place un point A tel que (OI, OA) = a, le point
#
»
# » # »
# »
M tel que (OA, OM ) = b et le point A0 tel que (OA, OA0 ) = π2 .
19
34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S
A0
J
M
A
b
O
a
I
D’après la relation de Chasles pour les angles, on a :
#» # »
#» # »
# » # »
(OI, OM ) = (OI, OA) + (OA, OM ) = a + b (mod 2π)
Donc :
# »
#»
# »
OM = cos(a + b)OI + sin(a + b)OJ.
Mais en se plaçant dans le repère orthonormé (O, A, A0 ), on a :
# »
# »
# »
OM = cos(b)OA + sin(b)OA0
# » # »
et en exprimant les coordonnées des vecteurs OA et OA0 dans le repère (O, #»
ı , #»
 ), on a :
# »
#»
# »
OA = cos(a)OI + sin(a)OJ
et
π
#»
π
# »
# »
#»
# »
+ a OI + sin
+ a OJ = − sin(a)OI + cos(a)OJ.
OA0 = cos
2
2
Finalement :
# »
#»
# »
#»
# »
OM = cos(b) cos(a)OI + cos(b) sin(a)OJ − sin(b) sin(a)OI + sin(b) cos(a)OJ
#»
# »
= [cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)]OI + [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)]OJ
et par unicité des coordonnées d’un vecteur dans un repère, il vient les deux relations :
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
•
Proposition 34.20 — Formules de duplication.
2. sin(2a) = 2 sin a cos a.
Dv
1. cos(2a) = cos2 a − sin2 a,
20
Leçon n°34 • Trigonométrie
• Démonstration de la proposition 34.20 —
cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a − sin a sin a = cos2 a − sin2 a
sin(2a) = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a
•
Proposition 34.21 — Formule de linéarisation.
2. sin2 a =
1. cos2 a =
1−cos(2a)
.
2
1+cos(2a)
,
2
Dv
• Démonstration de la proposition 34.21 — On rappelle que sin2 x + cos2 x = 1 quelque
soit le réel x. Donc :
cos(2a) = cos2 a − (1 − cos2 a) = 2 cos2 a − 1,
d’où cos2 a =
1+cos(2a)
.
2
De même,
cos(2a) = (1 − sin2 a) − sin2 a = 1 − 2 sin2 a,
d’où sin2 a =
1−cos(2a)
.
2
•
π
π
On va calculer les valeurs exactes de cos π8 , sin π8 , cos 12
, sin 12
. En utilisant les
formules de linéarisation :
Exemple 34.22
et comme cos π8
1 + cos π4
1+
π
cos
=
=
8
2
2
√ √
2
π
> 0, il vient cos 8 = 2+
2
et comme sin π8
1 − cos π4
1−
π
sin2 =
=
8
2
2
√ √
2
> 0, il vient sin π8 = 2−
. D’où :
2
2
π
tan =
8
s
√
√
2+ 2
=
4
√
√
2− 2
=
2
2
2
2
2
√
2− 2
√ .
2+ 2
Or :
√
√
√
√
√
√
2− 2
(2 − 2)2
6−4 2
√ =
√
√ =
= 3 − 2 2 = 1 − 2 2 + 2 = (1 − 2)2 .
4−2
2+ 2
(2 − 2)(2 + 2)
D’où :
tan
√ √
π = 1 − 2 = 2 − 1.
8
34.2 De la trigonométrie vue en classe de Première S
21
En utilisant les formules d’addition :
√
√
√
√
√
π
π
π π
π
π
π
1
2
3
2
6+ 2
cos
= cos cos + sin sin = ×
= cos
−
+
×
=
12
3
4
3
4
3
4
2
2
2
2
2
√
√
√
√
√
π
π
π π
π
π
π
3
2 1
2
6− 2
= sin cos − cos sin =
sin
= sin
−
×
− ×
=
.
12
3
4
3
4
3
4
2
2
2
2
2
D’où
√
√
√
√
√
√
6− 2
( 6 − 2)2
8 − 2 12
π
√ = √
√ √
√ =
=√
= 2 − 3.
tan
12
6−2
6+ 2
( 6 + 2)( 6 − 2)
22
Leçon n°34 • Trigonométrie
Bibliographie
[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.
[2] C. L E B OT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/
wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.
[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne.
net/graphes-ancien/coloration/sommets.html
[4] O. G ARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine.
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