Contrôle : « Thalès et Pythagore »

B
E
C
F
A
3ème 3 octobre 2009
Contrôle : «
Contrôle : « Thalès et Pythagore » Thalès et Pythagore »
La présentation de la copie, la rédaction et l'orthographe sont prises en compte dans la notation.
Exercice 1 (1,5 points)
Pour chacune des figures, donne les quotients égaux sans justifier. On suppose ici que les droites
représentées par un trait épais sont parallèles.
1/ 2/ 3/
Exercice 2 (4 points)
Pour ces deux questions, justifie le mieux possible ta réponse.
1/ Les droites
OM 
et
UJ 
sont parallèles. Sachant que
MP=3,5 cm
et
PU =5cm
et
OM=3cm
, calcule la longueur
UJ
.
Donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
2/ On sait que
DO=3cm
,
OB=9cm
,
OC=2cm
et
OA=6cm
.
Les droites (AB) et (DC) sont-elles parallèles ?
Exercice 3 (3 points)
[EF]
est un segment de
10 cm
de longueur et
C
est le cercle de
diamètre
[EF ]
.
G
est un point du cercle tel que
EG=9cm
. Calcule la longueur
FG
.
Exercice 4 (6 points)
ABC
est un triangle rectangle en
B
tel que :
AC =20 cm
et
BC =16 cm
.
F
est un point du segment
[BC ]
tel que
CF=4cm
. La perpendiculaire
à la droite
BC
passant par F coupe
[CA ]
en
E
.
1/ Calcule la longueur
AB
(justifie !).
2/ Pourquoi les droites
EF
et
AB
sont parallèles ? (justifie !)
3/ Calcule
EF
. (justifie !)
Exercice 5 (6 points)
Les droites
EF
et
MP
sont parallèles. On sait que
AM =6cm
;
MP=4,8cm
;
AP=3,6 cm
;
EF=6cm
;
AC =4,5 cm
et
AB=7,5 cm
.
1/ Démontrer que le triangle
AMP
est un triangle rectangle (justifie !).
2/ Calculer
AE
puis la longueur
ME
(seul le détail des calculs est
demandé dans cette question).
3/ Démontrer que les droites
MP
et
BC
sont parallèles (seul le détail des
calculs et la conclusion sont demandés dans cette question).
C
E
F
P
B
MA
Q
W
I
S
C
B
L
M
P
H
O
X
T
N
V
O
M
P
JU
D
C
OA
B

3ème 3 octobre 2009
Correction
Correction
Exercice 1 (1,5 points)
1/
IS
IC =IW IQ =SW CQ
2/
HM
HL =HP HB =MP BL
3/
VN
VX =VT VO =NT XO
Exercice 2 (5 points)
1/ Les droites
OM 
et
UJ 
sont parallèles. Les droites
OJ 
et
MU 
sont
sécantes en
P
.
D'après le théorème de Thalès, on a :
PO
PJ =PM PU =OM UJ
.
D'où :
3,5
5=3 UJ
;
UJ=5×3
3,5
;
UJ=30
7
;
UJ≈4,3 cm
(arrondi au
millimètre).
2/ Calculons séparément :
OD
OB =3 9=1 3
;
OC
OA =2 6=1 3
.
On remarque que
OD
OB =OC OA
. De plus, les points
O
,
D
,
B
et
O
,
C
,
A
sont alignés dans un même ordre. Donc d'après la réciproque de Thalès, les droite
AB
et
DC
sont parallèles.
Exercice 3 (3 points)
• Montrons tout d'abord que
EFG
est rectangle.
EFG
est un triangle inscrit dans le cercle de diamètre
[EF ]
.
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et si l'un de ses côtés
est un diamètre alors il est rectangle.
Donc
EFG
est rectangle en
G
.
•Calculons la longueur
FG
.
Nous venons de montrer que
EFG
est rectangle. On peut donc
appliquer le théorème de Pythagore :
EF2=EG2FG2
102=92FG2
FG2=102–92
FG2=100 –81
FG2=19
FG= 19
FG≈4,4 cm
(arrondi au millimètre)
O
M
P
JU
D
C
OA
B

B
E
C
F
A
3ème 3 octobre 2009
Exercice 4 (6 points)
1/
ABC
est un triangle rectangle en
B
. On peut donc
appliquer le théorème de Pythagore :
AC2=AB2BC2
202=AB2162
400=AB2256
AB²=400 –256
AB2=144
AB= 144=12 cm
2/ Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre
elles. Dans notre figure,
AB
et
EF
sont perpendiculaires à
BC 
. Donc
AB
et
EF
sont parallèles.
3/ D'après la question précédente, on sait que
AB
et
EF
sont parallèles. De plus, les droites
CA
et
CB
sont sécantes en
C
. On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
CA
CE =CB CF =AB EF
16
4=12 EF
EF=4×12
16
EF=3cm
Exercice 5 (6 points)
1/ Calculons séparément :
AM2=62=36
;
AP2PM2=3,624,82=36
.
On remarque que
AM²=AP²PM²
. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le
triangle
AMP
est rectangle en
P
.
2/ D'après le théorème de Thalès :
AE
AM =EF MP
AE
6=6 4,8
AE=6×6
4,8
AE=7,5 cm
3/
AP
AC =3,6 4,5 =4 5
;
AM
AB =6 7,5 =4 5
Puisque
AP
AC =AM AB
, les droites
MP
et
CB
sont parallèles.
C
E
F
P
B
MA