Contrôle : « Thalès et Pythagore »

3ème
3 octobre 2009
Contrôle : « Thalès et Pythagore »
La présentation de la copie, la rédaction et l'orthographe sont prises en compte dans la notation.
Exercice 1 (1,5 points)
Pour chacune des figures, donne les quotients égaux sans justifier. On suppose ici que les droites
représentées par un trait épais sont parallèles.
1/
2/
I
C
W
O
T
M
S
3/
P
L
H
V
N
Q
X
B
Exercice 2 (4 points)
Pour ces deux questions, justifie le mieux possible ta réponse.
1/ Les droites OM  et UJ  sont parallèles. Sachant que MP=3,5 cm et
PU =5cm et OM =3cm , calcule la longueur UJ .
Donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
2/ On sait que DO=3 cm , OB=9 cm , OC=2 cm et OA=6 cm .
Les droites (AB) et (DC) sont-elles parallèles ?
O
M
P
U
J
D
A
O
C
Exercice 3 (3 points)
[ EF ] est un segment de 10 cm de longueur et C  est le cercle de
diamètre [EF ] . G est un point du cercle tel que EG=9 cm . Calcule la longueur FG .
B
Exercice 4 (6 points)
ABC est un triangle rectangle en B tel que : AC =20 cm et BC =16 cm .
F est un point du segment [BC ] tel que CF=4 cm . La perpendiculaire
A
à la droite BC passant par F coupe [CA ] en E .
1/ Calcule la longueur AB (justifie !).
E
2/ Pourquoi les droites EF  et  AB sont parallèles ? (justifie !)
C
3/ Calcule EF . (justifie !)
B
F
Exercice 5 (6 points)
Les droites EF  et MP sont parallèles. On sait que AM =6 cm ; MP=4,8cm ; AP=3,6 cm
C
; EF=6 cm ; AC =4,5 cm et AB=7,5 cm .
1/ Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle (justifie !).
A
M
E
2/ Calculer AE puis la longueur ME (seul le détail des calculs est
demandé dans cette question).
3/ Démontrer que les droites MP et BC sont parallèles (seul le détail des
P
calculs et la conclusion sont demandés dans cette question).
F
B
3ème
3 octobre 2009
Correction
Exercice 1 (1,5 points)
IS IW SW
1/ IC = IQ =CQ
HM HP MP
2/ HL = HB = BL
VN VT NT
3/ VX =VO = XO
Exercice 2 (5 points)
1/ Les droites OM  et UJ  sont parallèles. Les droites OJ  et  MU  sont
sécantes en P .
PO PM OM
=
=
D'après le théorème de Thalès, on a :
.
PJ PU UJ
3,5 3
5×3
30
U
=
D'où :
; UJ=
; UJ=
; UJ≈4,3 cm (arrondi au
5
UJ
3,5
7
millimètre).
D
O
M
P
OD 3 1 OC 2 1
O
= = ;
= = .
2/ Calculons séparément :
OB 9 3 OA 6 3
C
OD OC
=
On remarque que
. De plus, les points O , D , B et O , C , A
OB OA
sont alignés dans un même ordre. Donc d'après la réciproque de Thalès, les droite  AB et
 DC  sont parallèles.
Exercice 3 (3 points)
•
Montrons tout d'abord que EFG est rectangle.
EFG est un triangle inscrit dans le cercle de diamètre [ EF ] .
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et si l'un de ses côtés
est un diamètre alors il est rectangle.
Donc EFG est rectangle en G .
•
Calculons la longueur FG .
Nous venons de montrer que EFG est rectangle. On peut donc
appliquer le théorème de Pythagore :
EF 2=EG 2FG 2
2
2
2
10 =9 FG
FG 2=102 – 92
2
FG =100 – 81
FG 2=19
FG= 19
FG≈4,4 cm (arrondi au millimètre)
J
A
B
3ème
3 octobre 2009
Exercice 4 (6 points)
1/ ABC est un triangle rectangle en B . On peut donc
A
appliquer le théorème de Pythagore :
AC 2= AB2BC 2
E
2
2
2
20 = AB 16
C
B
F
400= AB2256
AB²=400 – 256
2
AB =144
AB= 144=12 cm
2/ Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre
elles. Dans notre figure,  AB et  EF sont perpendiculaires à BC  . Donc  AB et  EF
sont parallèles.
3/ D'après la question précédente, on sait que  AB et  EF sont parallèles. De plus, les droites
CA et CB sont sécantes en C . On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
CA CB AB
=
=
CE CF EF
16 12
=
4
EF
4×12
EF=
16
EF=3 cm
Exercice 5 (6 points)
1/ Calculons séparément : AM 2=6 2=36 ; AP 2PM 2=3,6 24,82=36 .
On remarque que AM²=AP² PM² . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le
triangle AMP est rectangle en P .
2/ D'après le théorème de Thalès :
C
AE EF
=
AM MP
A
M
E
AE 6
=
6
4,8
6×6
P
AE=
F
4,8
AE=7,5 cm
AP 3,6 4
AM 6
4
=
= ;
= =
3/
AC 4,5 5
AB 7,5 5
AP AM
=
Puisque
, les droites  MP et CB sont parallèles.
AC AB
B