VARIABLES ALÉATOIRES

CHAPITRE 12
VARIABLES ALÉATOIRES
On rappelle qu’un espace probabilisé fini est un couple (Ω,P) où Ωest un ensemble fini et Pune probabilité
sur Ω, c’est-à-dire une application de P(Ω) dans [0,1] vérifiant :
•P(Ω)=1 ;
•si A,B∈ P(Ω) et A∩B=∅, alors P(A∪B)=P(A)+P(B).
Dans tout le chapitre, (Ω,P) désignera un espace probabilisé fini.
1 Variable aléatoire sur un univers fini
1.1 Définitions et notations
Définition 12.1
On appelle variable aléatoire réelle sur Ωune application
X:Ω→R
ω7→ X(ω)
Remarques
•Définir une variable aléatoire, c’est donc (en théorie) associer à chaque issue ωd’une expérience aléatoire
modélisée par un espace probabilisé (Ω,P) un nombre réel X(ω).
•Si Dest une partie de R, l’ensemble X−1(D)={ω∈Ω,X(ω)∈D}est une partie de Ω, c’est-à-dire un
événement. On le note [X∈D], ou (X∈D). On dispose de notations spécifiques pour les cas particuliers les
plus fréquents :
– si a∈R,X−1({a}) est noté [X=a] ;
– si a,b∈R,X−1(]a,b]) est noté [a<X6b] (avec des notations analogues pour les autres types d’inter-
valles bornés) ;
– si a∈R,X−1(] − ∞,a]) est noté [X6a] (avec des notations analogues pour les autres types d’intervalles
non bornés).
•L’ensemble des valeurs possibles pour Xest X(Ω)={X(ω), ω ∈Ω}. Comme Ωest fini, X(Ω) l’est également.
•Attention : Xest une fonction de Ωvers R, donc «X61» est la proposition «∀ω∈Ω,X(ω)61» qui peut
être vraie ou fausse suivant la variable aléatoire Xconsidérée. En revanche, [X61] est un événement (et ne
peut donc être vrai ou faux) : c’est l’ensemble {ω∈Ω,X(ω)61}. On a X61⇔([X61] = Ω).
On s’intéressera à l’exemple suivant tout au long du chapitre :
Exemple 12.1
On lance deux dés à 4faces et l’on s’intéresse à la somme des résultats obtenus.
L’univers Ωest donc ~1,42, et l’on suppose donnée une probabilité Psur Ω(qui sera uniforme si les dés
sont équilibrés).
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Chapitre 12 – Variables al´ eatoires
La variable aléatoire correspondant à la somme des deux dés est :
X:Ω = ~1,42→R
(x,y)7→ x+y
•On a X(Ω)=~2,8.
•On a [X=2] ={(1,1)},[X=3] ={(1,2),(2,1)},[X=−4] =∅.
Exemple 12.2
Si A est un événement (i.e. une partie de Ω), alors 1A, la fonction indicatrice de A est une variable
aléatoire sur (Ω,P). On rappelle que 1Aest définie ainsi :
1A:Ω→R
ω7→ 
1 si ω∈A
0 si ω<A
Théorème 12.2
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,P).
La famille d’événements ([X=x])x∈X(Ω)forme un système complet d’événements, et l’on a donc
X
x∈X(Ω)
P([X=x]) =1
Remarque
On utilisera extrêmement souvent la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements
([X=k])k∈X(Ω):
∀A⊂Ω,P(A)=X
x∈X(Ω)
P([X=k])P[X=k](A)
Exemple 12.3
Si l’on reprend l’exemple suivant en supposant que les dés sont équilibrés et que l’on note X1le résultat
du premier dé, on a
P([X>4]) =X
k∈X1(Ω)
P([X1=k])P[X1=k]([X>4]).
On a clairement X1(Ω)=~1,4et P([X1=k]) =1
4pour tout k ∈~1,4. De plus, P[X1=1]([X>4]) =1 2,
P[X1=2]([X>4]) =3
4et P[X1=3]([X>4]) =P[X1=4]([X>4]) =1, d’où
P([X>4]) =1
4×1 2+1 4×3 4+1 4×1+1 4×1=13 16
Ce type de technique sera largement développé (et appliqué à des exemples moins triviaux) dans le cha-
pitre suivant.
1.2 Loi d’une variable aléatoire
Définition 12.3
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,P). On appelle loi de X l’application
PX:R→R
x7→ P([X=x])
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Remarque
X(Ω) étant fini, on peut le noter {x1,...,xn}.
•Si x<X(Ω), on a P([X=x]) =0. Par conséquent la donnée de P([X=xi]) pour ivariant de 1 à nsuffit pour
déterminer la loi de X.
•En notant pi=P([X=xi]) pour i∈~1,n, on a
∀i∈~1,n,pi∈[0,1]
n
P
i=1pi=1
La loi de Xse résume à la liste des couples (xi,pi) que l’on présentera souvent sous la forme d’un tableau.
•([X=xi])16i6nforme un système complet d’événements.
•Dans la grande majorité des cas, la loi de Xest la seule chose qui nous intéresse : Ωne sera pas spécifié et X
ne sera connu qu’au travers de sa loi.
Exemple 12.4
On reprend l’exemple 1.
Ici, Ω = ~1,42est connu explicitement. On va supposer ici que les dés sont équilibrés, et donc prendre
pour Pla probabilité uniforme sur ~1,42. On souhaite déterminer la loi de X.
1. On détermine X(Ω), qui vaut ici ~2,8.
2. Pour chacun des x ∈X(Ω), on détermine P([X=x]) :
x2345678
P([X=x]) 1
16 1 83 16 1 43 16 1 81 16
Loi de X
3. On peut représenter graphiquement cette loi par un diagramme en bâtons.
Attention, deux variables aléatoires qui suivent la même loi n’ont aucune raison d’être égales :
Exemple 12.5
On lance une pièce équilibrée : on pose Ω = {P,F}et l’on considère la probabilité uniforme sur Ω. On
peut définir deux variables aléatoires X et Y comme suit :
•X vaut 1si l’on obtient Face, 0sinon ;
•Y vaut 1si l’on obtient Pile, 0sinon.
X et Y suivent la même loi (on a P([X=1]) =P([Y=1]) =1
2et P([X=0]) =P([Y=0]) =1 2), et
pourtant X n’est pas égale à Y (on a en fait Y =1−X).
1.3 Fonction de répartition
Définition 12.4
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,P).
On appelle fonction de répartition de Xl’application
FX:R→R
x7→ P([X6x])
Proposition 12.5
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,P(Ω)).
On note X(Ω)={x1,...,xn}avec x1<··· <xnet l’on pose pi=P([X=xi]) pour idans ~1,n.
La fonction de répartition de Xest en escalier (ou constante par morceaux) :
•si x<x1,FX(x)=0 ;
•si x16x<x2,FX(x)=p1;
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•si x26x<x3,FX(x)=p1+p2;
•...
•si xi6x<xi+1,FX(x)=p1+··· +pi;
•...
•si x>xn,FX(x)=1.
Remarques
•FXest une fonction croissante et vérifie ∀x∈R,06FX(x)61.
•On a FX(x)−→
x→−∞ 0 et FX(x)−→ x→+∞1. En réalité, FXest même constante égale à 0 au voisinage de −∞,
constante égale à 1 au voisinage de +∞.
•Comme vu dans la propriété, la loi de Xdétermine entièrement FX. On peut procéder en sens inverse : la
donnée de FXest suffisante pour retrouver la loi de X(cf exercice 12.6).
Exercice 12.6
Une variable aléatoire X sur un espace probabilisé (Ω,P(Ω)) a la fonction de répartition suivante :
FX:R→R
x7→
0 si x<−2
1
3si x∈[−2,0[
1
2si x∈[0,7[
3
4si x∈[7,8[
1 si x>8
Déterminer la loi de X.
Exercice 12.7
En reprenant la variable aléatoire X de l’exemple 1, déterminer FXet la représenter graphiquement.
1.4 Transformation de variable aléatoire
Proposition 12.6
Soient Xune variable aléatoire sur (Ω,P(Ω)) et g:R→R.
g◦Xest une variable aléatoire sur (Ω,P(Ω)), que l’on note usuellement g(X). Sa loi est donnée par :
∀y∈R,P([g(X)=y]) =X
x∈X(Ω)
g(x)=y
P([X=x])
Remarque
gn’a en fait pas besoin d’être définie sur R: elle doit être définie au moins sur X(Ω).
Exemple 12.8
•Si g :x7→ x2, alors, pour tout y ∈R,ona:
[g(X)=y]=[X2=y]=
∅si y<0
[X=0] si y=0
[x=√y]∪[x=−√y] si y>0
et l’union étant disjointe dans le dernier cas,
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P([g(X)=y]) =P([X2=y]) =
0 si y<0
P([X=0]) si y=0
P([X=√y]) +P([X=−√y]) si y>0
•Si g :x7→ ax +b avec a ∈R∗et b ∈R, alors, pour tout y ∈R,ona:
P([g(X)=y]) =P([aX +b=y]) =P "X=y−b
a#!
Et si a =0dans le deuxième cas ?
2 Moments
2.1 Espérance
Définition 12.7
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,P). On appelle espérance de X, et l’on note E(X), le réel :
E(X)=X
x∈X(Ω)
xP([X=x])
Remarques
•En notant X(Ω)={x1,...,xn}et ∀i∈~1,n,P([X=xi]) =pi, on a E(X)=
n
P
i=1xipi.
•L’espérance est la moyenne des valeurs prises par X, pondérée par la probabilité que ces valeurs soient prises.
•Si X(Ω)={x1,...,xn}avec x1<··· <xn, alors x16E(X)6xn.
•On a aussi E(X)=P
ω∈Ω
X(ω)P(ω).
•Si Xest une fonction constante égale à un réel a(on parle de variable certaine), alors E(X)=a.
•En termes d’«unités», l’espérance de Xest homogène à X: si Xse mesure en mètres, son espérance aussi.
Théorème 12.8
Transfert
Soient Xune variable aléatoire sur (Ω,P) et g:X(Ω)→R.
On a
E(g(X)) =X
x∈X(Ω)
g(x)P([X=x])
Exercice 12.9
On considère le jeu suivant : le joueur paie 20 euros pour faire une partie puis tire au hasard un jeton
dans un sac en contenant n, numérotés de 1à n. Il gagne le carré du numéro qu’il a tiré. Comment choisir
n pour que le jeu soit équitable ?
Proposition 12.9
Soient X,Ydeux variables aléatoires sur (Ω,P) et λ∈R.
•Si X>0, alors E(X)>0positivité.
•E(λX+Y)=λE(X)+E(Y)linéarité.
•Si X6Y, alors E(X)6E(Y)croissance.
•Si X>0 et E(X)=0, alors X=0définie.
•|E(X)|6E(|X|)inégalité triangulaire.
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