VARIABLES ALÉATOIRES

CHAPITRE
12
VARIABLES ALÉATOIRES
On rappelle qu’un espace probabilisé fini est un couple (Ω, P) où Ω est un ensemble fini et P une probabilité
sur Ω, c’est-à-dire une application de P(Ω) dans [0, 1] vérifiant :
• P(Ω) = 1 ;
• si A, B ∈ P(Ω) et A ∩ B = ∅, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini.
1 Variable aléatoire sur un univers fini
1.1 Définitions et notations
Définition 12.1
On appelle variable aléatoire réelle sur Ω une application
X: Ω
ω
→
7
→
R
X(ω)
Remarques
• Définir une variable aléatoire, c’est donc (en théorie) associer à chaque issue ω d’une expérience aléatoire
modélisée par un espace probabilisé (Ω, P) un nombre réel X(ω).
• Si D est une partie de R, l’ensemble X −1 (D) = {ω ∈ Ω, X(ω) ∈ D} est une partie de Ω, c’est-à-dire un
événement. On le note [X ∈ D], ou (X ∈ D). On dispose de notations spécifiques pour les cas particuliers les
plus fréquents :
– si a ∈ R, X −1 ({a}) est noté [X = a] ;
– si a, b ∈ R, X −1 (]a, b]) est noté [a < X 6 b] (avec des notations analogues pour les autres types d’intervalles bornés) ;
– si a ∈ R, X −1 (] − ∞, a]) est noté [X 6 a] (avec des notations analogues pour les autres types d’intervalles
non bornés).
• L’ensemble des valeurs possibles pour X est X(Ω) = {X(ω), ω ∈ Ω}. Comme Ω est fini, X(Ω) l’est également.
• Attention : X est une fonction de Ω vers R, donc «X 6 1» est la proposition «∀ω ∈ Ω, X(ω) 6 1» qui peut
être vraie ou fausse suivant la variable aléatoire X considérée. En revanche, [X 6 1] est un événement (et ne
peut donc être vrai ou faux) : c’est l’ensemble {ω ∈ Ω, X(ω) 6 1}. On a X 6 1 ⇔ ([X 6 1] = Ω).
On s’intéressera à l’exemple suivant tout au long du chapitre :
Exemple 12.1
On lance deux dés à 4 faces et l’on s’intéresse à la somme des résultats obtenus.
L’univers Ω est donc ~1, 42 , et l’on suppose donnée une probabilité P sur Ω (qui sera uniforme si les dés
sont équilibrés).
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1
Chapitre 12 – Variables aléatoires
La variable aléatoire correspondant à la somme des deux dés est :
X : Ω = ~1, 42
(x, y)
→ R
7
→
x+y
• On a X(Ω) = ~2, 8.
• On a [X = 2] = {(1, 1)}, [X = 3] = {(1, 2), (2, 1)}, [X = −4] = ∅.
Exemple 12.2
Si A est un événement (i.e. une partie de Ω), alors 1A , la fonction indicatrice de A est une variable
aléatoire sur (Ω, P). On rappelle que 1A est définie ainsi :
1A : Ω
→
ω
7→
R



1


0
si ω ∈ A
si ω < A
Théorème 12.2
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P).
La famille d’événements ([X = x]) x∈X(Ω) forme un système complet d’événements, et l’on a donc
X
P([X = x]) = 1
x∈X(Ω)
Remarque
On utilisera extrêmement souvent la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements
([X = k])k∈X(Ω) :
X
∀A ⊂ Ω, P(A) =
P([X = k])P[X=k] (A)
x∈X(Ω)
Exemple 12.3
Si l’on reprend l’exemple suivant en supposant que les dés sont équilibrés et que l’on note X1 le résultat
du premier dé, on a
X
P([X1 = k])P[X1 =k] ([X > 4]).
P([X > 4]) =
k∈X1 (Ω)
On a clairement X1 (Ω) = ~1, 4 et P([X1 = k]) = 14 pour tout k ∈ ~1, 4. De plus, P[X1 =1] ([X > 4]) = 12 ,
P[X1 =2] ([X > 4]) = 43 et P[X1 =3] ([X > 4]) = P[X1 =4] ([X > 4]) = 1, d’où
P([X > 4]) =
1 1 1 3 1
1
13
× + × + ×1+ ×1=
4 2 4 4 4
4
16
Ce type de technique sera largement développé (et appliqué à des exemples moins triviaux) dans le chapitre suivant.
1.2 Loi d’une variable aléatoire
Définition 12.3
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle loi de X l’application
PX : R
x
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→
7
→
R
P([X = x])
2
Chapitre 12 – Variables aléatoires
Remarque
X(Ω) étant fini, on peut le noter {x1 , . . . , xn }.
• Si x < X(Ω), on a P([X = x]) = 0. Par conséquent la donnée de P([X = xi ]) pour i variant de 1 à n suffit pour
déterminer la loi de X.
• En notant pi = P([X = xi ]) pour i ∈ ~1, n, on a


∈ ~1, n, pi ∈ [0, 1]


∀i
n
P



 pi = 1
i=1
La loi de X se résume à la liste des couples (xi , pi ) que l’on présentera souvent sous la forme d’un tableau.
• ([X = xi ])16i6n forme un système complet d’événements.
• Dans la grande majorité des cas, la loi de X est la seule chose qui nous intéresse : Ω ne sera pas spécifié et X
ne sera connu qu’au travers de sa loi.
Exemple 12.4
On reprend l’exemple 1.
Ici, Ω = ~1, 42 est connu explicitement. On va supposer ici que les dés sont équilibrés, et donc prendre
pour P la probabilité uniforme sur ~1, 42 . On souhaite déterminer la loi de X.
1. On détermine X(Ω), qui vaut ici ~2, 8.
2. Pour chacun des x ∈ X(Ω), on détermine P([X = x]) :
x
2
3
4
5
6
7
8
P([X = x])
1
16
1
8
3
16
1
4
3
16
1
8
1
16
Loi de X
3. On peut représenter graphiquement cette loi par un diagramme en bâtons.
Attention, deux variables aléatoires qui suivent la même loi n’ont aucune raison d’être égales :
Exemple 12.5
On lance une pièce équilibrée : on pose Ω = {P, F} et l’on considère la probabilité uniforme sur Ω. On
peut définir deux variables aléatoires X et Y comme suit :
• X vaut 1 si l’on obtient Face, 0 sinon ;
• Y vaut 1 si l’on obtient Pile, 0 sinon.
X et Y suivent la même loi (on a P([X = 1]) = P([Y = 1]) = 21 et P([X = 0]) = P([Y = 0]) = 12 ), et
pourtant X n’est pas égale à Y (on a en fait Y = 1 − X).
1.3 Fonction de répartition
Définition 12.4
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P).
On appelle fonction de répartition de X l’application
FX : R
x
→
7
→
R
P([X 6 x])
Proposition 12.5
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P(Ω)).
On note X(Ω) = {x1 , . . . , xn } avec x1 < · · · < xn et l’on pose pi = P([X = xi ]) pour i dans ~1, n.
La fonction de répartition de X est en escalier (ou constante par morceaux) :
• si x < x1 , F X (x) = 0 ;
• si x1 6 x < x2 , F X (x) = p1 ;
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3
Chapitre 12 – Variables aléatoires
•
•
•
•
•
si x2 6 x < x3 , F X (x) = p1 + p2 ;
...
si xi 6 x < xi+1 , F X (x) = p1 + · · · + pi ;
...
si x > xn , F X (x) = 1.
Remarques
• F X est une fonction croissante et vérifie ∀x ∈ R, 0 6 F X (x) 6 1.
• On a F X (x) −→ 0 et F X (x) −→ 1. En réalité, F X est même constante égale à 0 au voisinage de −∞,
x→−∞
x→+∞
constante égale à 1 au voisinage de +∞.
• Comme vu dans la propriété, la loi de X détermine entièrement F X . On peut procéder en sens inverse : la
donnée de F X est suffisante pour retrouver la loi de X (cf exercice 12.6).
Exercice 12.6
Une variable aléatoire X sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω)) a la fonction de répartition suivante :
FX : R
x
→
7→
R



0




1





 31


2



3



4



1
si x < −2
si x ∈ [−2, 0[
si x ∈ [0, 7[
si x ∈ [7, 8[
si x > 8
Déterminer la loi de X.
Exercice 12.7
En reprenant la variable aléatoire X de l’exemple 1, déterminer F X et la représenter graphiquement.
1.4 Transformation de variable aléatoire
Proposition 12.6
Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P(Ω)) et g : R → R.
g ◦ X est une variable aléatoire sur (Ω, P(Ω)), que l’on note usuellement g(X). Sa loi est donnée par :
X
∀y ∈ R, P([g(X) = y]) =
P([X = x])
x∈X(Ω)
g(x)=y
Remarque
g n’a en fait pas besoin d’être définie sur R : elle doit être définie au moins sur X(Ω).
Exemple 12.8
• Si g : x 7→ x2 , alors, pour tout y ∈ R, on a :



∅
si y < 0




2
[g(X) = y] = [X = y] = 
[X = 0]
si y = 0




[x = √y] ∪ [x = − √y] si y > 0
et l’union étant disjointe dans le dernier cas,
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4
Chapitre 12 – Variables aléatoires



0
si y < 0




2
P([g(X) = y]) = P([X = y]) = 
P([X
=
0])
si
y=0




P([X = √y]) + P([X = − √y]) si y > 0
• Si g : x 7→ ax + b avec a ∈ R∗ et b ∈ R, alors, pour tout y ∈ R, on a :
"
#!
y−b
P([g(X) = y]) = P([aX + b = y]) = P X =
a
Et si a = 0 dans le deuxième cas ?
2 Moments
2.1 Espérance
Définition 12.7
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle espérance de X, et l’on note E(X), le réel :
X
E(X) =
xP([X = x])
x∈X(Ω)
Remarques
• En notant X(Ω) = {x1 , . . . , xn } et ∀i ∈ ~1, n, P([X = xi ]) = pi , on a E(X) =
n
P
xi pi .
i=1
• L’espérance est la moyenne des valeurs prises par X, pondérée par la probabilité que ces valeurs soient prises.
• Si X(Ω) = {x1 , . . . , xn } avec x1 < · · · < xn , alors x1 6 E(X) 6 xn .
P
• On a aussi E(X) =
X(ω)P(ω).
ω∈Ω
• Si X est une fonction constante égale à un réel a (on parle de variable certaine), alors E(X) = a.
• En termes d’«unités», l’espérance de X est homogène à X : si X se mesure en mètres, son espérance aussi.
Théorème 12.8
Transfert
Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P) et g : X(Ω) → R.
On a
X
E(g(X)) =
g(x)P([X = x])
x∈X(Ω)
Exercice 12.9
On considère le jeu suivant : le joueur paie 20 euros pour faire une partie puis tire au hasard un jeton
dans un sac en contenant n, numérotés de 1 à n. Il gagne le carré du numéro qu’il a tiré. Comment choisir
n pour que le jeu soit équitable ?
Proposition 12.9
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et λ ∈ R.
• Si X > 0, alors E(X) > 0
• E(λX + Y) = λE(X) + E(Y)
• Si X 6 Y, alors E(X) 6 E(Y)
• Si X > 0 et E(X) = 0, alors X = 0
• |E(X)| 6 E (|X|)
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positivité.
linéarité.
croissance.
définie.
inégalité triangulaire.
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
Définition 12.10
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P).
• Si E(X) = 0, on dit que X est une variable centrée.
• La variable aléatoire X − E(X) est appelée variable centrée associée à X.
Remarque
X − E(X) est effectivement une variable centrée : E(X − E(X)) = E(X) − E(E(X)) = E(X) − E(X) = 0 (l’avant
dernière étape utilise le fait que E(X) est une constante).
2.2 Moment d’ordre r
Définition 12.11
Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P) et r ∈ N∗ .
• On appelle moment d’ordre r le réel mr (X) = E(X r ).
• On appelle moment centré d’ordre r le réel µr (X) = E (X − E(X))r .
Remarque
On a m1 (X) = E(X) et µ1 (X) = 0.
Proposition 12.12
Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que 0 6 X 6 Y.
On a
∀r ∈ N∗ , mr (X) 6 mr (Y)
2.3 Variance et écart-type
Définition 12.13
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P).
On appelle variance de X et l’on note V(X) le réel
V(X) = E (X − E(X))2
Remarques
• Autrement dit, la variance de X est son moment centré d’ordre 2 : V(X) = µ2 (X).
• Une variance est un réel positif ou nul.
• Si X est en mètres (en kg,. . .), alors V(X) est en m2 (en kg2,. . .). Mathématiquement, on peut bien sûr calculer
E(X) + V(X), par exemple, mais il y a peu de chance que cela ait un sens. . .
Exemple 12.10
En reprenant le X de l’exemple 1, calculer V(X).
Théorème 12.14
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P).
• Si a, b ∈ R, alors V(aX + b) = a2 V(X).
• V(X) = 0 ssi X = E(X) (autrement dit ssi X est certaine).
• Formule de Huygens : V(X) = E(X 2 ) − E(X)2 .
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
Remarques
• En pratique, si l’on veut calculer une variance, on le fait le plus souvent à l’aide de la formule de Huygens.
• Attention, la variance n’est pas linéaire : en particulier, la variance d’une somme n’est pas du tout égale à la
somme des variances.
• En posant X(Ω) = {x1 , . . . , xn } et ∀i ∈ ~1, n, pi = P([X = xi ]), la formule de Huygens s’écrit :
V(X) =
n
X
xi2 pi
i=1
 n
2
X

− 
xi pi  .
i=1
Exercice 12.11
Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P) et n ∈ N∗ . On suppose que X suit une loi uniforme sur ~1, n,
c’est-à-dire que X(Ω) = ~1, n et que ∀k ∈ X(Ω), P(X = k) = 1n .
Déterminer l’espérance et la variance de X.
Définition 12.15
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P).
On appelle écart-type de X, et l’on note σ(X), le réel
σ(X) =
p
V(X).
Si σ(X) = 1 (ce qui équivaut à V(X) = 1), on dit que X est une variable réduite.
Remarque
L’écart-type de X a même dimension que X, et donc aussi que E(X). Des expressions du type E(X) + 2σ(X)
sont d’ailleurs très courantes (plutôt en statistiques).
Proposition 12.16
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P).
• Si a, b ∈ R, σ(aX + b) = |a|σ(X).
• σ(X) = 0 ssi X = E(X) ssi X est certaine.
Exercice 12.12
Soit X une variable aléatoire sur une espace probabilisé (Ω, P).
On suppose que X(Ω) ⊂ ~0, 20 et que X n’est pas une variable certaine.
Montrer qu’il existe f : R → R affine telle que E[ f (X)] = 10 et σ( f (X)) = 4.
A-t-on nécessairement f (X)(Ω) ⊂ [0, 20] ?
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
2.4 Inégalités classiques
Théorème 12.17
Soit A un événement (une partie de Ω).
On a E(1A ) = P(A).
Théorème 12.18
Inégalité de Markov
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P) telle que X > 0.
On a
E(X)
∀a > 0, P(X > a) 6
a
Exercice 12.13
Un certain chat ronronne en moyenne quarante minutes par jour. Majorer la probabilité qu’il ronronne
au moins deux heures un jour donné.
Remarque
Cette inégalité est optimale (c’est-à-dire que l’on peut trouver une variable aléatoire et un a ∈ R pour lesquels
on a en fait égalité), mais elle est assez grossière (parce qu’elle n’utilise que des hypothèses très faibles sur X).
Par exemple, en supposant que la taille moyenne d’un Français soit d’un mètre soixante-dix, elle nous permet
seulement d’affirmer que la probabilité que la taille d’un Français choisi au hasard soit supérieure ou égale à trois
mètres quarante est d’au plus 21 .
Théorème 12.19
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P).
On a
V(X)
∀ε > 0, P |X − E(X)| > ε 6 2
ε
Remarques
• Une probabilité est une grandeur sans dimension et sans unité. Il faut donc qu’il en soit de même pour le
membre de droite, ce qui est bien le cas puisque ε est homogène à X et V(X) à X 2 .
• Cette inégalité est en règle générale plus précise que celle de Markov, mais l’on peut souvent faire mieux si
l’on a plus d’informations sur X (si l’on connaît sa loi, en particulier).
3 Lois usuelles
3.1 Loi uniforme
Définition 12.20
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On note X(Ω) = {x1 , . . . , xn }.
On dit que X suit une loi uniforme sur X(Ω) si
∀i ∈ ~1, n, P(X = xi ) =
1
n
On note alors X ,→ U({x1 , . . . , xn }).
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
Exemple 12.14
Si l’on note X le résultat du lancer d’un dé équilibré à six faces, alors X ,→ U(~1, 6).
Proposition 12.21
Soient n ∈ N∗ et X une variable aléatoire sur (Ω, P) telle que X ,→ U(~1, n).
On a
n+1
n2 − 1
E(X) =
et V(X) =
2
12
Remarque
Attention à ne pas utiliser ce résultat quand X suit une loi uniforme sur un ensemble autre que ~1, n (par
exemple ~0, n − 1 ou ~0, n). Il faut dans ce cas recalculer l’espérance et la variance (cf exercice 12.15).
Exercice 12.15
Soient a, b ∈ Z (a 6 b) et X ,→ U(~a, b). Calculer l’espérance et la variance de X et représenter
graphiquement sa fonction de répartition.
3.2 Loi de Bernoulli
Définition 12.22
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P) et p ∈]0, 1[.
On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si



X(Ω) = {0, 1}


P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p
On note alors X ,→ B(p).
L’issue 1 est appelée «succès«, l’issue 0 «échec».
Remarque
Quelques situations typiques modélisées par des variables de Bernoulli :
• tirer une boule dans une urne contenant une proportion p de boules blanches et 1 − p de boules noires en
notant X = 1 si la boule tirée est blanche, X = 0 sinon ;
• tirer à pile ou face avec une pièce truquée faisant «pile» avec probabilité p, en notant X = 1 si l’on obtient
«pile» et X = 0 sinon.
Proposition 12.23
Soit p ∈]0, 1[ et X ,→ B(p).
On a
E(x) = p
et
V(X) = p(1 − p).
Remarque
Ces résultats restent valables si p = 0 ou p = 1, mais l’on parlera plutôt de variable certaine que de variable de
Bernoulli de paramètre 0 ou 1.
Exemple 12.16
Représenter graphiquement la loi et la fonction de répartition d’une variable de Bernoulli de paramètre
p ∈]0, 1[.
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
3.3 Loi binomiale
On considère une urne contenant une proportion p de boules blanches et 1− p de boules noires, avec 0 < p < 1.
On tire successivement et avec remise n boules et l’on note X le nombre de boules blanches obtenues.
On a alors X(Ω) = ~0, n et, pour tout k ∈ ~0, n, P(X = k) = nk pk (1 − p)n−k .
Définition 12.24
Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P), n ∈ N∗ et p ∈]0, 1[.
On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p si



X(Ω) = ~0, n


∀k ∈ ~0, n, P(X = k) = n pk (1 − p)n−k
k
On note alors X ,→ B(n, p).
Remarque
La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale avec n = 1. Plus précisément, X ,→ B(p) ssi
X ,→ B(1, p), ce qui explique la similarité des notations.
Proposition 12.25
Soient n ∈ N∗ , p ∈]0, 1[ et X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p.
On a
E(X) = np et V(X) = np(1 − p)
Exercice 12.17
On lance un dé équilibré 100 fois. Donnez l’espérance et la variance du nombre de 6 obtenus.
Exercice 12.18
On lance 1 000 fois une pièce équilibrée et l’on note X le nombre de fois que l’on obtient «pile». Donner
un minorant de la probabilité que ce nombre soit strictement compris entre 450 et 550.
3.4 Loi hypergéométrique
On considère une urne contenant a boules blanches et b boules noires. On tire successivement et sans remise
n boules, avec n 6 a + b, et l’on pose X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées.
On a alors clairement X(Ω) ⊂ ~0, n (attention, ce n’est qu’une inclusion) et de plus
a b k
n−k
∀k ∈ ~0, n, P(X = k) = a+b
n
On observe que P(X = k) , 0 ssi 0 6 k 6 a et 0 6 n − k 6 b, on en déduit donc que
X(Ω) = ~max(0, n − b), min(a, n).
En posant N = a + b et p =
a
N
(proportion de boules blanches), on a alors 1 − p =
b
N
et
N pN(1−p)
∀k ∈ X(Ω), P(X = k) =
k
n−k
N n
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
Proposition 12.26
Formule de Vandermonde
Soient a, b, n ∈ N.
On a
!
!
!
n
X
a+b
b
a
=
n
k n−k
k=0
Définition 12.27
Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P), N ∈ N∗ , n ∈ N∗ tel que n 6 N et p ∈]0, 1[ tel que N p ∈ N.
On dit que X suit une loi hypergéométrique de paramètres N ,n et p si


X(Ω) ⊂ ~0, n


N pN(1−p)




k
n−k


N ∀k ∈ X(Ω), P(X = k) =



n
On note alors X ,→ H(N, n, p).
Remarques
• En posant a = N p et b = N − a, on retrouve les notations vues plus haut.
• Si N = 1, on a nécessairement n = 1 et X suit alors une loi de Bernoulli de paramètre p.
• Une loi hypergéométrique est donc appropriée pour modéliser le nombre de boules blanches obtenues en
tirant successivement et sans remise n boules dans une urnes contenant au total N boules dont une proportion
p est blanche. Elle convient aussi si le tirage est simultané.
Proposition 12.28
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P) suivant une loi hypergéométrique de paramètres N, n et p.
On a
N−n
E(X) = np et V(X) = np(1 − p)
N−1
Remarques
• On retrouve donc la même espérance que pour la loi binomiale mais une variance différente. Cependant, si
N−n
N est grand devant n, le facteur N−1
est proche de 1 et la variance n’est donc «pas très différente» de celle
d’une binomiale de paramètres n et p.
• On peut aller un peu plus loin : si n et p sont fixés et que N tend vers plus l’infini (en étant choisi de
(N p)(N(1−p))
manière à ce que N p soit entier), alors k N n−k → nk pk (1 − p)n−k . Autrement dit, la loi hypergéométrique
(n)
de paramètres N, n et p «tend» vers une loi binomiale de paramètres n et p quand N tend vers plus l’infini.
Ce n’est pas surprenant : si le nombre de boules dans l’urne est grand devant le nombre de boules tirées
ainsi que devant le nombre de boules de chaque couleur, le fait que le tirage soit sans remise n’a que peu
d’importance.
Exemple 12.19
On tire au hasard 4 personnes parmi un groupe de 100 qui contient 5 gauchers. On souhaite déterminer
la probabilité qu’au moins l’une des 4 personnes choisies soit gauchère.
1
. La
• Soit X la variable aléatoire égale au nombre de gauchers choisis. On a X ,→ H 100, 4, 20
probabilité cherchée est
595
0
4
P(X > 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 100 ' 0,188
4
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
• En utilisant l’approximation binomiale, on obtiendrait :
!
!0
!4
1
19
4
×
×
' 0,185
P(X > 1) ' 1 −
0
20
20
Que ce passe-t-il si l’on essaie d’estimer de la même manière la probabilité que l’on ait choisi quatre
gauchers ?
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
Travaux dirigés
Exercice 12.20
On considère 5 jetons numérotés de 1 à 5.
1. On tire simultanément 2 jetons parmi les 5 et on note X la plus petite valeur. Déterminer la loi de
X, son espérance, sa variance et représenter graphiquement sa fonction de répartition F X .
2. On tire successivement et avec remise deux jetons parmi les 5. On note Y la plus petite valeur.
Déterminer la loi de Y et son espérance.
Exercice 12.21
Problème du chevalier de Méré
Deux joueurs jouent à un jeu se déroulant en plusieurs manches.
Chacun des joueurs a misé 32 pistoles au début de la partie, et le premier joueur à gagner trois manches
remporte le pot de 64 pistoles. Les manches sont indépendantes les unes des autres et chaque joueur a
une probabilité 12 de gagner chaque manche.
Les deux joueurs sont obligés d’abandonner la partie alors que le joueur A mène deux manches à une.
Comment répartir équitablement l’argent du pot entre les deux joueurs ?
Exercice 12.22
On lance un dé équilibré et on note X le numéro obtenu. Soient Y = |X − 2| et Z = (X − 2)2 . Donner la loi
de Y ainsi que les espérances de Y et Z.
Exercice 12.23
Soient n ∈ N∗ et β un nombre réel. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1, . . . , n}. On suppose
n
P(X = k) = β
k
k+1
si 0 6 k 6 n.
1. Déterminer β.
2. Calculer E(X).
Exercice 12.24
Une urne contient N boules numérotées de 1 à N. On effectue un tirage simultané de n boules (1 6 n 6 N)
et l’on note X le plus grand numéro obtenu.
1. Déterminer la loi de X.
N+1
N P
k
2. Montrer par récurrence que
n = n+1 .
k=n
3. En déduire l’espérance de X.
Exercice 12.25
Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue une série de tirages avec remise et l’on s’arrête dès que le dernier numéro obtenu est supérieur ou égal au numéro obtenu lors du tirage précédent.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
1. Déterminer X(Ω).
2. Déterminer la probabilité des événements [X > 2] et [X > 3], en déduire celle de [X = 2].
3. Calculer la probabilité de [X = k] pour k ∈ X(Ω) et en déduire la loi de X.
n
4. Montrer que E(X) = 1 + n1 et déterminer sa limite quand n tend vers +∞.
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
Exercice 12.26
Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Ω, P) telle que :
• X(Ω) = {0, 1, 2, . . . , n}
• ∃α ∈ R; ∀k ∈ {0, 1, 2, . . . , n}, P(X = k) = αk(n − k).
1. Déterminer α.
2. On appelle mode de la variable aléatoire X l’ensemble des éléments x de X(Ω) tels que la probabilité P(X = x) soit maximale, i.e. tels que :
P(X = x) = max{P(X = y), y ∈ X(Ω)}.
Quel est le mode de X ?
3. Calculer l’espérance et la variance de X.
Lois usuelles
Exercice 12.27
Dans chacune des expériences qui suivent, reconnaître la loi de X, calculer son espérance et sa variance,
puis calculer la probabilité demandée.
1. On range au hasard 20 objets dans 3 tiroirs. On note X la variable aléatoire égale au nombre
d’objets dans le premier tiroir et on s’intéresse à P(X = 20) et P(X = 10).
2. Un enclos contient 12 lamas et 15 dromadaires. On sort un animal au hasard. On note X la variable
aléatoire égale au nombre de bosses et on s’intéresse à P(X = 1).
3. Un sac contient 26 jetons sur lesquels figurent les lettres de l’alphabet. On en tire 5 au hasard que
l’on aligne afin de former un mot de 5 lettres. On note X la variable aléatoire égale au nombre de
voyelles dans ce mot et on s’intéresse à P(X = 1).
4. Un enclos contient 15 lamas, 15 dromadaires et 15 chameaux. On sort un animal au hasard. On
note X la variable aléatoire égale au nombre de bosses et on s’intéresse à P(X = 0).
5. On suppose que 1% des trèfles ont 4 feuilles. On cueille 100 trèfles. On note X la variable aléatoire
égale au nombre de trèfles à 4 feuilles cueillis et on s’intéresse à P(X > 0).
6. On forme un jury de 6 personnes choisies au hasard dans un groupe composé de 5 hommes et 4
femmes. On note X la variable aléatoire égale au nombre de femmes dans ce jury et on s’intéresse
à P(X = 3).
Exercice 12.28
On dispose d’une pièce équilibrée. Combien de lancers doit-on effectuer pour avoir une probabilité d’au
moins 0,9 d’obtenir une proportion de «face» comprise entre 49% et 51% ?
Exercice 12.29
Soit p ∈]0, 1[. Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2, . . . , k, . . ..
Une puce se déplace sur cette piste par sauts successifs de la manière suivante : à chaque saut, elle avance
d’une case avec probabilité p et de deux cases sinon. Au départ, elle se trouve sur la case numéro 0. On
note Xn la variable aléatoire égale au numéro de la case sur laquelle se trouve la puce après n sauts.
1. Déterminer la loi de la variable X1 , puis son espérance et sa variance.
2. On note Yn la variable aléatoire égale au nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours
des n premiers sauts. Déterminer la loi de la variable Yn , puis son espérance et sa variance.
3. Exprimer Xn en fonction de Yn . En déduire la loi de Xn puis son espérance et sa variance.
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
Exercice 12.30
Soient n ∈ N∗ et p ∈]0, 1[. On dispose d’une pièce donnant pile avec la probabilité p.
1. On effectue une série de n lancers de la pièce et on note Yn le nombre de piles obtenus. Déterminer
la loi de Yn , son espérance et sa variance.
2. Agathe effectue une série de n lancers. A chaque lancer, elle gagne un euro si elle obtient pile et
elle perd un euro si elle obtient face.
On note An le gain algébrique d’Agathe à l’issue de la série.
a. Déterminer la loi de An lorsque n = 3 puis lorsque n = 4.
b. Déterminer la loi de An dans le cas général. On commencera par déterminer avec précision
l’ensemble des valeurs prises par An .
c. Calculer l’espérance et la variance de An .
3. Soit a un réel strictement positif. Béatrice effectue une série de n lancers de la pièce.
A l’issue de la série, elle gagne a euros si le nombre de piles qu’elle a obtenus est pair. Sinon, elle
perd a euros.
On note Bn le gain algébrique de Béatrice. Déterminer la loi de Bn puis son espérance et sa variance.
Exercice 12.31
On effectue des tirages sans remise dans une urne contenant n boules.
1. Si l’on choisit a priori p boules, quelle est la probabilité de toutes les obtenir en faisant k tirages
sans remise ?
2. On considère maintenant que l’urne contient p boules rouges et n − p boules noires. On note T la
variable aléatoire égale au nombre de tirages sans remise nécessaires à l’obtention des p boules
rouges.
a. Déterminer T (Ω) et P(T 6 k) pour k ∈ T (Ω).
b. En déduire la loi de T .
c.
i. Montrer que si r ∈ N et q ∈ ~0, r, on a
r P
k
k=q
q
=
r+1 q+1
.
ii. Déterminer l’espérance de T .
Exercice 12.32
On considère une population de 2n vaches susceptibles, avec la probabilité p, d’être porteuses d’un virus
donné. On dispose d’un test détectant, de façon certaine, ce virus dans le lait des vaches.
On fixe 0 6 k 6 n. On sépare les vaches en 2n−k groupes de 2k vaches. On mélange leur lait, on fait un
test sur chacun des mélanges, puis on effectue un test sur chacune des vaches des groupes contaminés.
On note Yk le nombre de groupes malades et Xk le nombre de tests effectués.
1. Exprimer Xk en fonction de Yk , k et n.
2. Déterminer la probabilité qu’un groupe donné soit contaminé.
3. Donner la loi de Yk et son espérance.
4. Donner l’espérance de Xk .
5. On suppose que n = 10 et p = 0,01. Déterminer numériquement la meilleure valeur de k.
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
Études
Exercice 12.33
La société Lehazard met à la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page d’écran
affiche une grille à trois lignes et trois colonnes. Après une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction
aléatoire place au hasard successivement trois jetons (?) dans trois cases différentes. La partie est gagnée
si les trois jetons sont alignés. Le gagnant empoche 10 fois sa mise, ce qui lui rapporte 18 euros à l’issue
du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdue par le joueur.
A B C
1 ?
2 ?
3
?
Première partie : Étude du jeu en ligne.
On définit les événements H, V, D, N par :
. H : « les trois jetons sont alignés horizontalement ».
. V : « les trois jetons sont alignés verticalement ».
. D : « les trois jetons sont alignés en diagonale ».
. N : « les trois jetons ne sont pas alignés ».
1. Justifier qu’il y a 84 positionnements possibles des trois jetons dans les trois cases.
2. Déterminer les probabilités P(H), P(V), P(D) des événements H, V, D.
3. En déduire que la probabilité de l’événement N est égale à : P(N) =
19
21
≈ 0, 9048
4. La société peut s’attendre à 10 000 relances (parties) par jour de ce jeu.
a. Pour chaque entier naturel i non nul, on note Zi le gain de la société à la i-ème relance.
Donner la loi de Zi ainsi que son espérance E(Zi ).
b. Quel gain journalier la société peut-elle espérer ?
Deuxième partie : Cas de joueurs invétérés.
1. Un joueur décide de jouer 100 parties consécutives que l’on suppose indépendantes.
a. Donner la loi de la variable aléatoire X égale au nombre de parties gagnées.
b. Indiquer l’espérance et la variance de X.
c. Exprimer la perte P du joueur en fonction de X.
d. En déduire l’espérance et la variance de P.
2. Quel est le nombre minimum n de parties que doit jouer un joueur pour
la probabilité de gagner
que
au moins une partie soit supérieure ou égale à 50 % ? (On donne ln 19
21 ≈ −0, 1 et ln(2) ≈ 0, 7)
3. Un autre joueur décide de jouer au plus 100 parties et de s’arrêter dès qu’une partie est gagnée.
On note Y la variable aléatoire égale au nombre de parties jouées pour gagner la première fois.
Par convention si au cours des 100 parties le joueur ne gagne pas, la variable aléatoire Y prendra
la valeur 101.
a. Soient x un réel dans l’intervalle [0, 1[, n un entier naturel non nul et S n la fonction définie
n
X
par : S n (x) =
xk .
k=0
i. Calculer la somme S n (x).
ii. Dériver l’égalité obtenue et montrer que :
n
X
k=1
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kxk−1 =
nxn+1 − (n + 1)xn + 1
(1 − x)2
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
b. Donner la loi de la variable aléatoire Y.
c. Indiquer l’espérance de Y.
d. Pour tout entier naturel k ∈ ~1, 100, montrer que la probabilité pk que le joueur joue au plus
k
19
.
k parties avant de gagner pour la première fois, est donnée par la formule : pk = 1 − 21
Troisième partie : Contrôle de la qualité du jeu.
On constate que, parfois, la fonction aléatoire est déréglée. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans
la base (A, 1), les deux autres étant placés au hasard dans les cases restantes. On note ∆ l’événement « la
fonction aléatoire est déréglée » et on pose P(∆) = x avec x ∈]0, 1[.
1. Calculer les probabilités conditionnelles P∆ (H), P∆ (V), P∆ (D) des événements H, V, D sachant
l’événement ∆.
2. Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements (∆, ∆) pour en
déduire que la probabilité que les jetons ne soient pas alignés est égale à : P(N) = − 84x + 19
21 .
3. Soit G la variable aléatoire égale au gain réalisé par la société de jeu lors d’une partie jouée.
Déterminer la valeur maximale de x pour que l’espérance de gain soit positive.
4. On joue une partie. On constate que les jetons sont alignés. Quelle est la probabilité, en fonction
de x que la fonction aléatoire ait été déréglée ?
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
Exercices supplémentaires
Exercice 12.34
Une urne contient b boules blanches et r boules rouges (1 6 b 6 r). On effectue des tirages successifs
sans remise et l’on s’arrête dès que l’urne devient unicolore. On note X le nombre de tirages effectués.
Déterminer la loi de X.
Exercice 12.35
On dispose d’un paquet de cartes constitué de deux jeux de 32 cartes qui ont été mélangés ensemble. On
effectue des tirages sans remise jusqu’à obtenir une carte que l’on a déjà tirée auparavant. On note X le
nombre de tirages effectués, déterminer la loi de X.
Exercice 12.36
On place au hasard n jetons numérotés de 1 à n dans n cases numérotées de la même manière.
1. Combien en moyenne sont placés dans la «bonne» case (i.e. la cases portant le numéro du jeton) ?
On pourra introduire des variables de Bernoulli Xi valant 1 si le i-ème jeton est à la bonne place.
2. On re-mélange les jetons. En moyenne, combien de jetons ont été correctement placés les deux
fois ? au moins une fois ?
Exercice 12.37
Une urne contient 2n boules blanches et 2n boules noires. Le joueur A prélève simultanément 2n boules
dans l’urne, puis le joueur B prélève simultanément 2n boules.
Déterminer la probabilité que le joueur A obtienne strictement plus de boules blanches que le joueur B
dans les deux cas suivants :
1. les boules prélevées par le joueur A ne sont pas remises dans l’urne avant le tirage du joueur B ;
2. les boules prélevées par le joueur A sont remises dans l’urne avant le tirage du joueur B.
Exercice 12.38
Un casino propose un jeu équitable (rêvons un peu) : pour une mise de n euros, un joueur a une chance
sur deux de gagner 2 euros (et donc une chance sur deux de perdre sa mise).
Un joueur pense tenir une martingale : s’il gagne, il empoche le gain et s’il perd, il réessaie en doublant
sa mise. Il continue de même jusqu’à finalement remporter une partie. Malheureusement, il ne dispose
pas de fonds illimités : il a tout juste assez pour jouer au maximum n parties en suivant cette stratégie.
1. De combien d’argent dispose-t-il ?
2. Déterminer la probabilité qu’il gagne de l’argent (c’est-à-dire que le total de ses gains soit supérieur au total de ses mises).
3. En notant X son gain réel (c’est-à-dire son gain moins ses mises), déterminer la loi et l’espérance
de X.
Exercice 12.39
On dispose de 2n + 1 jetons bicolores, chacun ayant une face noire et une face blanche. On lance tous ces
jetons et l’on observe leurs faces supérieures. L’une exactement des couleurs apparaît un nombre impair
de fois : on note X ce nombre.
1. Déterminer la loi de X.
2. Montrer que E(X) =
3. Montrer que V(X) =
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2n+1
2 .
2n+1
4 .
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Chapitre 12 – Variables aléatoires
Exercice 12.40
Un élève répond à un QCM de 10 questions (il y a deux choix possibles par question). Pour chaque
question, et de manière indépendante, il a une probabilité 45 de connaître la bonne réponse. Quand ce
n’est pas le cas, il répond au hasard.
Une bonne réponse rapporte un point, une mauvaise en enlève un. Sachant que les notes totales négatives
sont ramenées à zéro, quelle est l’espérance de la note de l’élève ?
Exercice 12.41
On tire avec remise dans une urne contenant 2n boules numérotées de 1 à 2n. Le but du jeu est d’obtenir
le plus grand numéro possible et l’on dispose de deux chances. Cependant, on est obligé de garder le
dernier numéro obtenu. Ainsi, si le joueur obtient 5 la première fois, il peut soit garder ce résultat, soit
retirer. S’il décide de retirer et qu’il obtient 3 la deuxième fois, son score final est de 3.
1. Le joueur A décide de systématiquement garder le premier résultat obtenu. Si l’on note XA son
score, quelle est la loi et l’espérance de XA ?
2. Le joueur B cherche à déterminer une stratégie lui permettant de maximiser son score moyen. Il
décide de ne garder le premier résultat que s’il est supérieur à une certaine constante k ∈ ~1, 2n
choisie à l’avance. On note Xk le score obtenu avec cette stratégie.
a. Déterminer la loi et l’espérance de Xk .
b. Quelle valeur de k faut-il choisir ?
Exercice 12.42
soient m, n ∈ N∗ . On considère une variable aléatoire X telle que X(Ω) = ~1, mn et P(X = k) =
pour tout k ∈ ~1, mn.
1
n
−
1
m
1. Quelle condition doivent vérifier m et n ?
2. Pour quelles valeurs de x a-t-on F X (x) = 12 .
3. Déterminer E(X) et V(X).
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