Chapitre 12 – Variables al´
eatoires
Remarque
X(Ω) étant fini, on peut le noter {x1,...,xn}.
•Si x<X(Ω), on a P([X=x]) =0. Par conséquent la donnée de P([X=xi]) pour ivariant de 1 à nsuffit pour
déterminer la loi de X.
•En notant pi=P([X=xi]) pour i∈~1,n, on a
∀i∈~1,n,pi∈[0,1]
n
P
i=1pi=1
La loi de Xse résume à la liste des couples (xi,pi) que l’on présentera souvent sous la forme d’un tableau.
•([X=xi])16i6nforme un système complet d’événements.
•Dans la grande majorité des cas, la loi de Xest la seule chose qui nous intéresse : Ωne sera pas spécifié et X
ne sera connu qu’au travers de sa loi.
Exemple 12.4
On reprend l’exemple 1.
Ici, Ω = ~1,42est connu explicitement. On va supposer ici que les dés sont équilibrés, et donc prendre
pour Pla probabilité uniforme sur ~1,42. On souhaite déterminer la loi de X.
1. On détermine X(Ω), qui vaut ici ~2,8.
2. Pour chacun des x ∈X(Ω), on détermine P([X=x]) :
x2345678
P([X=x]) 1
16 1
83
16 1
43
16 1
81
16
Loi de X
3. On peut représenter graphiquement cette loi par un diagramme en bâtons.
Attention, deux variables aléatoires qui suivent la même loi n’ont aucune raison d’être égales :
Exemple 12.5
On lance une pièce équilibrée : on pose Ω = {P,F}et l’on considère la probabilité uniforme sur Ω. On
peut définir deux variables aléatoires X et Y comme suit :
•X vaut 1si l’on obtient Face, 0sinon ;
•Y vaut 1si l’on obtient Pile, 0sinon.
X et Y suivent la même loi (on a P([X=1]) =P([Y=1]) =1
2et P([X=0]) =P([Y=0]) =1
2), et
pourtant X n’est pas égale à Y (on a en fait Y =1−X).
1.3 Fonction de répartition
Définition 12.4
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,P).
On appelle fonction de répartition de Xl’application
FX:R→R
x7→ P([X6x])
Proposition 12.5
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,P(Ω)).
On note X(Ω)={x1,...,xn}avec x1<··· <xnet l’on pose pi=P([X=xi]) pour idans ~1,n.
La fonction de répartition de Xest en escalier (ou constante par morceaux) :
•si x<x1,FX(x)=0 ;
•si x16x<x2,FX(x)=p1;
Lyc´
ee du Parc – 851 3