Probabilités - Denis Vekemans

Probabilités
Denis Vekemans ∗
1 Vocabulaire
Une expérience aléatoire vérifie trois conditions :
— elle est reproductible dans les mêmes conditions ;
— on en connaît tous les résultats possibles ;
— on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire lorsqu’on réalise l’expérience.
Chacun des résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé une issue de cette expérience.
L’univers Ω d’une expérience aléatoire est l’ensemble de toutes les issues de cette expérience. Un événe-
ment Aest un sous-ensemble de Ω. Un événement Aest réalisé par une expérience si celle-ci abouti à une
issue appartenant à A. Deux événements Aet Bsont incompatibles si ils ne peuvent pas être réalisés en
même temps ce qui signifie que ATB=∅. L’événement contraire de Aest noté Ail vérifie ASA= Ω
et ATA=∅(donc Aet Asont incompatible). Un événement qui ne comporte qu’une seule issue est un
événement élémentaire. Des événements élémentaires distincts sont incompatibles.
2 Loi des grands nombres
Considérons une expérience aléatoire et Aun événement relatif à cette expérience. Si on répète n
fois cette expérience, l’événement Asera réalisé un certain nombre de fois que l’on notera xn. Lorsque n
augmente, la fréquence fn=xn
ntend à se stabiliser vers une valeur qui est la probabilité de l’événement A
et est notée P(A).
3 Propriétés
1. 0 ≤P(A)≤1.
2. Si P(A) = 1, l’événement Aest appelé l’événement certain et A= Ω.
3. Si P(A) = 0, l’événement Aest appelé l’événement impossible et A=∅.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1

4. P(A) = 1 −P(A).
5. P(ASB) = P(A) + P(B)−P(ATB).
6. Si Aet Bsont incompatibles, alors P(ASB) = P(A) + P(B).
7. La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
4 Situation d’équiprobabilité
Lorsque tous les événements élémentaires d’une expérience aléatoire ont la même probabilité on dit
qu’ils sont équiprobables. Soit nle nombre d’éléments de Ω. Si tous les événements élémentaires sont
équiprobables alors la probabilité de chacun d’entre eux est 1
n. Considérons un événement Adans cette
situation, alors P(A) = card(A)
n(le cardinal deA, noté card(A), est le nombre d’éléments de A).
5 Exemples
1. Lancer un dé à 6 faces équilibrées et noter le nombre de points inscrits sur la face supérieure. Quelle
est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}et tous les événements élémentaires sont équiprobables.
Notons Al’événement "Obtenir un nombre pair", A={2; 4; 6}.
Donc la probabilité d’obtenir un nombre pair est de 3
6=1 2.
2. Lancer deux fois une pièce de monnaie équilibrée. Une des deux faces sera notée "p" (pour pile) et
l’autre "f" (pour face). Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois "pile" ?
Ω = {(p;p); (p;f); (f;p); (f;f)}et tous les événements élémentaires sont équiprobables.
Notons A l’événement "Obtenir au moins une fois pile", A={(p;p); (p;f); (f;p)}.
Donc la probabilité d’obtenir au moins une fois "pile" est de 3
4.
3. Prendre au hasard et successivement sans remise deux boules dans une urne contenant 2 boules
rouges et 2 boules vertes. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules identiques ? On note "r" la
boule rouge et "v" la boule verte.
Ω = {(r;r); (r;v); (v, r); (v;v)}et tous les événements élémentaires ne sont pas équiprobables. Soit
A l’événement "Obtenir deux boules identiques", A={(r;r); (v;v)}.
La probabilité d’obtenir deux boules identiques est de 1
2×1 3+1 2×1 3=1 3.
Exercice 1 Un sac opaque contient des bonbons bleus, rouges ou verts, tous indiscernables au tou-
cher. Quand on tire un bonbon au hasard, on a deux chances sur cinq de prendre un bonbon rouge, et
trois chances sur dix de prendre un bonbon bleu.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir un bonbon rouge ou un bonbon bleu ?
2

2. En déduire la probabilité d’obtenir un bonbon vert.
Solution 1
—Bl’événement "prendre un bonbon bleu" ; P(B) = 3
10.
—Rl’événement "prendre un bonbon rouge" ; P(R) = 2
5.
—Vl’événement "prendre un bonbon vert".
1. Les événements Bet Rsont incompatibles, donc P(R[B) = P(R) + P(B) = 3
10 +2 5=7 10.
2. Ensuite, comme V=RSB,P(V) = P(R[B) = 1 −P(R[B) = 1 −7
10 =3 10.
Exercice 2 Dans un sac on a placé trois jetons numérotés 3 ; 4 et 5. On tire au hasard, successive-
ment et sans les remettre dans le sac, tous les jetons du sac. On écrit le nombre qui a comme chiffre des
centaines, le premier nombre tiré, comme chiffre des dizaines le deuxième nombre titré, et comme chiffre
des unités le troisième nombre tiré.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir 453 ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à 453 ?
3. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre multiple de 3 ?
4. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre multiple de 6 ?
Solution 2 Arbre de probabilités :
3
1
3
4
1
3
5
1
3
4
1
2
5
1
2
3
1
2
5
1
2
3
1
2
4
1
2
5
1
4
1
5
1
3
1
4
1
3
1
345 et P(345) = 1
6
354 et P(354) = 1
6
435 et P(435) = 1
6
453 et P(453) = 1
6
534 et P(534) = 1
6
543 et P(543) = 1
6
abc l’événement "tirer le jeton a(a∈ {3,4,5}), puis le jeton b(b∈ {3,4,5}et b6=a) et enfin le jeton
c(c∈ {3,4,5},c6=aet c6=b)". Ces événements sont élémentaires et équiprobables : P(abc) = 1
6.
3

1. P(453) = 1
6.
2. P(abc < 453) = P(345) + P(354) + P(435) = 3
6=1 2.
3. P(abc = 3 ×kavec k∈N) = P(345) + P(354) + P(435) + P(453) + P(534) + P(543) = 6
6= 1.
4. P(abc = 6 ×κavec κ∈N) = P(354) + P(534) = 2
6=1 3.
Exercice 3 On dispose de deux sacs identiques contenant des boules numérotés de 1 à 5. On tire au
hasard une boule dans chaque sac et on additionne les numéros figurant sur chaque boule.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 3 ?
2. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir une somme supérieure ou égale à 4 ?
Solution 3 ab l’événement "tirer la boule a(a∈ {1,2,3,4,5}) dans le premier sac et la boule b
(b∈ {1,2,3,4,5}) dans le second sac". Ces événements sont élémentaires et équiprobables : P(ab) = 1
25.
1. P(ab tel que a+b= 3) = P(12) + P(21) = 1
25 +1 25 =2 25.
2.
P(ab tel que a+b < 4) = P(ab tel que a+b= 2 [ab tel que a+b= 3)
=P(ab tel que a+b= 2) + P(ab tel que a+b= 3)
car ab tel que a+b= 2 et ab tel que a+b= 2 sont incompatibles
=P(11) + P(12) + P(21)
=1
25 +1 25 +1 25 =3 25
Exercice 4 On dispose d’une roue de loterie comportant 9 secteurs numérotés de 1 à 9 et d’un sac
qui contient deux boules blanches et trois boules noires.
Si la roue de loterie tombe sur un nombre pair alors on tire une boule dans le sac.
Quelle et la probabilité de ne pas obtenir de boule ?, d’obtenir une boule blanche ?, d’obtenir une boule
noire ?
Solution 4
—Pl’événement "obtenir un secteur numéroté pair".
—Il’événement "obtenir un secteur numéroté impair".
—Bl’événement "obtenir une boule blanche sachant l’obtention d’un secteur numéroté pair".
—Nl’événement "obtenir une boule noire sachant l’obtention d’un secteur numéroté pair".
Arbre de probabilités :
4

P
I
B
N
4
9
2
5
3
5
5
9
— La probabilité de ne pas obtenir de boule est P(I) = 5
9.
— La probabilité d’obtenir une boule blanche est P(P)×P(B) = 4
9×2 5=8 45.
— La probabilité d’obtenir une boule noire est P(P)×P(N) = 4
9×3 5=4 15.
Exercice 5 Quelle est la probabilité de n’obtenir qu’une fois le côté pile en lançant trois fois une pièce
de monnaie équilibrée ?
Solution 5 Pdésigne l’obtention de pile ;Fdésigne l’obtention de face.
abc l’événement "le premier lancer de pièce fournit le résultat a(a∈ {P, F }), le deuxième lancer de
pièce fournit le résultat b(b∈ {P, F }) et le troisième lancer de pièce fournit le résultat c(c∈ {P, F })".
Ces événements sont élémentaires et équiprobables : P(abc) = 1
8.
La probabilité de n’obtenir qu’une fois le côté pile en lançant trois fois une pièce de monnaie équilibrée
est P(P F F ) + P(F P F ) + P(FFP) = 3
8.
Exercice 6 On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
—Al’événement "on obtient un roi".
—Bl’événement "on obtient un as".
—Cl’événement "on obtient un trèfle".
1. Les événements Aet Bsont-ils incompatibles ? Et les événement Bet C? Justifie tes réponses.
2. Décrire par une phrase sans négation l’événement contraire de l’événement C.
3. Proposer un événement Dincompatible avec l’événement C.
4. Déterminer les probabilités des événements A,Bet C.
5. Quelle est la probabilité de l’événement contraire de l’événement C?
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