Calcul du champ électrostatique
créé par un cylindre infini chargé uniformément
Fiche réalisée par B. Louchart, professeur de Physique-Chimie
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Énoncé :
Déterminer en tout point de l'espace le champ électrostatique créé par un cylindre infini de rayon R et
uniformément chargé (avec une densité volumique de charge ).
Corrigé :
Plaçons-nous dans un repère cylindrique.
On a alors :
▪ Étude des symétries :
Le plan
est un plan de symétrie, donc
appartient à ce plan.
Le plan
est un plan de symétrie, donc
appartient à ce plan.
Le champ
est donc dirigé selon
:
▪ Étude des invariances :
()
O
M
Il y a invariance de la distribution de charges :
- par translation selon l'axe (Oz) E ne dépend pas de z
- par rotation autour de l'axe (Oz) E ne dépend pas de
On obtient donc :
▪ Détermination de E(r) par application du théorème de Gauss :
Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé d'axe (Oz), de rayon r et de hauteur h.
D'après le théorème de Gauss, = (1)
= + +
✓ Sur les surfaces de base du cylindre,
= 0
Donc = = 0
✓ Sur la surface latérale,
et
Donc = = =
Donc =
()
(car E(r) est constant
sur la surface latérale)
=
M
h
(Sbase 1)
(Sbase 2)
(Slatérale)
➢ 1er cas : si r R
Qint =
L'équation (1) donne ainsi : , soit
Finalement, si r R,
➢ 2ème cas : si r R
Qint =
L'équation (1) donne alors : , soit
Finalement, si r R,
1
/
3
100%
