Calcul du champ électrostatique créé par un cylindre infini chargé uniformément Fiche réalisée par B. Louchart, professeur de Physique-Chimie © http://b.louchart.free.fr Énoncé : Déterminer en tout point de l'espace le champ électrostatique créé par un cylindre infini de rayon R et uniformément chargé (avec une densité volumique de charge ). Corrigé : () ⃗z u ⃗θ u ⃗r u M O Plaçons-nous dans un repère cylindrique. On a alors : ⃗E(M) = Er (r, θ, z). u ⃗ r + Eθ (r, θ, z). u ⃗ θ + Ez (r, θ, z). u ⃗z ▪ Étude des symétries : Le plan (M, u ⃗ r, u ⃗ z ) est un plan de symétrie, donc ⃗E appartient à ce plan. Le plan (M, u ⃗ r, u ⃗ θ ) est un plan de symétrie, donc ⃗E appartient à ce plan. Le champ ⃗E est donc dirigé selon u ⃗ r : ⃗E(M) = E (r, θ, z). u ⃗r ▪ Étude des invariances : Il y a invariance de la distribution de charges : - par translation selon l'axe (Oz) E ne dépend pas de z - par rotation autour de l'axe (Oz) E ne dépend pas de On obtient donc : ⃗E(M) = E(r). u ⃗r ▪ Détermination de E(r) par application du théorème de Gauss : Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé d'axe (Oz), de rayon r et de hauteur h. () ⃗⃗⃗⃗ dS (Sbase 1) ⃗⃗⃗⃗ dS M h (Slatérale) (Sbase 2) ⃗⃗⃗⃗ dS ∯ ⃗E. ⃗⃗⃗⃗ dS D'après le théorème de Gauss, Qint ε0 = (SGauss ) (1) = ⃗⃗⃗⃗ ⃗ . dS ∯ E (SGauss ) = ⃗⃗⃗⃗ + ⃗ . dS ∬ E ⃗⃗⃗⃗ ⃗ . dS E ∬ (Slatérale ) (Sbase 1 ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ . dS ∬ E + (Sbase 2 ) ⃗⃗⃗⃗ E ⃗⃗⃗⃗ = 0 ⃗ ⊥ dS ⃗ . dS ✓ Sur les surfaces de base du cylindre, E Donc ⃗ . ⃗⃗⃗⃗ ∬ E dS = (Sbase 1 ) ⃗ . ⃗⃗⃗⃗ ∬ E dS = 0 (Sbase 2 ) ⃗⃗⃗⃗ = dS. u ⃗ = E(r). u ✓ Sur la surface latérale, E ⃗ r et dS ⃗r Donc ∬ ⃗E. ⃗⃗⃗⃗ dS =∬ (Slatérale ) Donc ∯ ⃗E. ⃗⃗⃗⃗ dS = 2πrh × E(r) (SGauss ) (Slatérale) E(r). dS = E(r) ∬ dS = E(r) × 2πrh (Slatérale) (car E(r) est constant sur la surface latérale) ➢ 1er cas : si r R Qint = ρ × πR2 h L'équation (1) donne ainsi : Finalement, ➢ 2ème cas : si r si r 2πrh × E(r) = R, ⃗E(M) = ρ × πR2 h ε0 , soit E(r) = ρR2 2ε0 r ρ × πr 2 h ε0 , soit E(r) = ρr 2ε0 ρR2 ⃗ u 2ε0 r r R Qint = ρ × πr 2 h L'équation (1) donne alors : 2πrh × E(r) = Finalement, si r R, ⃗E(M) = ρr ⃗ u 2ε0 r
