Résoudre graphiquement une inéquation

Chapitre 5 – Améliorer ses techniques – corrigés
Résoudre graphiquement une inéquation
Exercice 1
Par lecture graphique, il semble que :
a. L’inéquation
a pour ensemble de solutions
b. L’inéquation
a pour ensemble de solutions
c. L’inéquation
a pour ensemble de solutions
d. L’inéquation
a pour ensemble de solutions { }
.
.
Exercice 2
Par lecture graphique, il semble que :
a. L’inéquation
a pour ensemble de solutions
b. L’inéquation
a pour ensemble de solutions
c. L’inéquation
a pour ensemble de solutions
(à la précision de lecture graphique près).
d. L’inéquation
Exercice 3
Par lecture graphique sur la calculatrice, il semble que :
a. L’inéquation
a pour ensemble de solutions
b. L’inéquation
a pour ensemble de solutions
.
.
Chapitre 5 – Améliorer ses techniques – corrigés
Étudier un signe
Exercice 4
est positif ;
est négatif ;
est négatif.
Exercice 5
a. Pour tout réel, est positif ou nul donc
est négatif ou nul :
pour tout réel .
b. Pour tout
est toujours positive ou nulle donc
aussi et a fortiori
:
pour tout
c. Pour tout
est strictement positif aussi ; son opposé – est donc strictement
négatif :
pour tout
Exercice 6
1. Par lecture graphique, en parcourant la courbe de la gauche vers la droite :
est strictement négatif sur
pour
,
est strictement
positif sur
,
pour
,
est strictement négatif sur
.
2. Tableau de signes :
Signe de
+
0
Exercice 7
a.
est une fonction affine strictement croissante. De plus,
Elle est donc négative « avant 5 » et positive « après 5 » d’où le tableau :
Signe de
.
+
b.
est une fonction affine strictement décroissante. De plus,
Elle est donc positive « avant 4 » et négative « après 4 » d’où le tableau :
.
Signe de
Exercice 8
est une fonction affine strictement décroissante (
négatif). De plus,
.
avec
Elle est donc positive « avant » et négative « après » d’où le tableau :
Signe de
qui est
Chapitre 5 – Améliorer ses techniques – corrigés
b.
est une fonction affine strictement croissante. De plus,
Elle est donc négative « avant
» et positive « après
Signe de
.
» d’où le tableau :
+
Exercice 9
1. Tableau complété
Signe de
Signe de
0
+
+
0
0
+
0
0
+
+
0
+
Signe du produit
+
2. Tableau du quotient
Signe de
Signe de
+
+
Signe du quotient
0
+
0
+
Exercice 10
1. Signe de
Signe de
Signe de
+
Signe du produit
Donc
0
+
+
0
+
0
est positif ou nul sur
et négatif ou nul sur
2. Signe de
Signe de
Signe de
0
+
+
+
Signe du quotient
0
Donc
et négatif ou nul sur
+
est positif ou nul sur
.
+
0
Chapitre 5 – Améliorer ses techniques – corrigés
Exercice 11
1. Signe de
Signe de
Signe de
0
Signe du produit
0
0
Donc
est négatif ou nul sur
et positif ou nul sur
.
2. Signe de
Signe de
Signe de
0
Signe du quotient
0
Donc
est négatif ou nul sur
et positif ou nul sur
Résoudre algébriquement une inéquation
Exercice 12
À l’aide du tableau de signes ci-dessous, résoudre les inéquations suivantes :
a. L’inéquation
a pour ensemble de solutions
b. L’inéquation
a pour ensemble de solutions
Exercice 13
a. Par le tableau de signes ci-dessous, on trouve que l’inéquation
a pour ensemble de solutions
Signe de
Signe de
Signe du produit
0
0
0
0
b. Par le tableau de signes ci-dessous, on trouve que l’inéquation
a pour ensemble de solutions
Signe de
Signe de
Signe du produit
0
0
0
0
Chapitre 5 – Améliorer ses techniques – corrigés
Exercice 14
a. Par le tableau de signes ci-dessous, on trouve que l’inéquation
a pour ensemble de solutions
Signe de
Signe de
0
Signe du produit
0
0
−
b. Par le tableau de signes ci-dessous, on trouve que l’inéquation
a pour ensemble de solutions
Signe de
Signe de
0
0
Signe du produit
0
0
Exercice 15
a.
⟺
.
On retrouve la question a. de l’exercice 14 donc comme ensemble de solutions
b.
⟺
.
On ne peut factoriser le premier membre ni en reconnaissant un facteur commun ou une
identité remarquable, ni par étapes.
On le développe :
.
On peut désormais le factoriser en
Ainsi
⟺
.
Par le tableau de signes ci-dessous, on trouve comme ensemble de solutions
Signe de
Signe de
Signe du produit
0
+
0
0
+
Exercice 16
a. Par le tableau de signes ci-dessous, on trouve que l’inéquation
ensemble de solutions
Signe de
Signe de
0
Signe du quotient
0
a pour
Chapitre 5 – Améliorer ses techniques – corrigés
b.
⟺
⟺
.
Par le tableau de signes ci-dessous, on trouve que l’inéquation a pour ensemble de
solutions
Signe de
Signe de
0
Signe du quotient
0
Exercice 17 Choisir la bonne forme
a. On choisit la forme factorisée
On obtient pour ensemble de solutions
pour dresser un tableau de signes de
.
b. On choisit la forme
pour simplifier :
⟺
⟺
Or
est toujours positif ou nul. L’ensemble des solutions est donc ℝ.
c. On choisit la forme développée
premier degré :
⟺
L’ensemble des solutions est
qui permet de se ramener à une équation du
⟺
⟺
.
Exercice 18 Choisir la bonne forme
a. On choisit la forme factorisée
On obtient pour ensemble de solutions
pour dresser un tableau de signes de
b. On choisit la forme
pour transformer
qui équivaut à
.
Or
est toujours positif ou nul et n’est nul que pour
solutions est l’ensemble des réels différents de
.
On peut l’écrire ℝ
ou
c. On choisit la forme
premier degré :
⟺
en
.
ce
, donc l’ensemble des
pour après simplification se ramener à une inéquation du
⟺
⟺
L’ensemble des solutions est
d. On choisit la forme
pour pouvoir, après simplification factoriser :
⟺
⟺
⟺
En dressant un tableau de signes de
, on obtient comme ensemble de solutions
Chapitre 5 – Améliorer ses techniques – corrigés
Étudier le sens de variation d’une fonction
Exercice 19
1. Si
On soustrait 1 à chaque membre ; ceci ne change pas le sens
des inégalités.
alors
On prend les images des nombres strictement positifs
et
par la fonction inverse. Celle-ci est strictement décroissante sur
]0;
donc elle renverse l’ordre : on change le sens des inégalités.
d'où
On multiplie chaque membre par 4 ; ceci ne change pas le sens des
inégalités car 4 est positif.
puis
2. Si
alors
3. La fonction renverse l’ordre sur
décroissante sur l’intervalle
.
; c’est-à-dire que est strictement
Exercice 20
1. Si
On ajoute 4 à chaque membre ; ceci ne change pas le sens
des inégalités.
alors
On prend les images des nombres positifs
et
par la
fonction carré. Celle-ci est strictement croissante sur [ 0 ;
donc
elle conserve l’ordre : on ne change pas le sens des inégalités.
d'où
On soustrait 3 à chaque membre ; ceci ne change pas le sens
des inégalités.
puis
2. Si
alors
3. La fonction conserve l’ordre sur
croissante sur l’intervalle
.
; c’est-à-dire que est strictement
Chapitre 5 – Améliorer ses techniques – corrigés
Exercice 21
Soit
pour tout réel
1. Pour tous réels et ,
si
alors
On prend les images des nombres positifs et par la fonction carré.
Celle-ci est strictement croissante sur [ 0 ;
donc elle conserve
l’ordre : on ne change pas le sens des inégalités.
On multiplie chaque membre par 2 ; ceci ne change pas le sens des
inégalités car 2 est positif.
si
alors
On multiplie chaque membre par 3 ; ceci ne change pas le sens des
inégalités car 3 est positif.
si
alors
Comme
et
en ajoutant membre à membre ces
inégalités de même sens, on obtient
.
2. Si
croissante sur
alors
. On en déduit que la fonction est strictement