Cours Terminale L La fonction logarithme népérien

Cours Terminale L La fonction logarithme népérien
1. La fonction logarithme népérien
1.1. Définition: La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur .
L'équation exp(x) = y où y est un réel strictement positif admet une solution unique x sur .
Cette solution est notée ln(y), c'est-à-dire que exp(ln(y)) = y.
Il existe une fonction définie sur ]0; +  [ qui à tout réel y > 0, associe l'unique réel x tel que exp(x) = y.
Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien, notée ln.
Ainsi, exp(x) = y équivaut à ln(y) = x. Pour tout réel x, ex = y équivaut à pour tout réel y strictement positif, ln(y) = x .
On a donc pour tout réel x, ln(exp(x)) = x, ou ln(ex ) = x .
De plus, pour tout réel x strictement positif, exp(ln(x)) = x, ou e ln(x) = x .
On dit que ln est la bijection réciproque de exp.
La fonction ln est définie sur ]0; +  [.
1.2. Propriétés 1: ln(1) = 0 ; ln(e) = 1; ln
1
e
= – 1.
Ceci découle de e0 = 1 ; e1 = e ; e– 1 =
1
e
.
1.3. Propriétés 2: Pour tous réels a et b strictement positifs:
ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; la fonction ln transforme un produit en une somme.
ln
1
b
= – ln(b) ; la fonction ln transforme un inverse en un opposé.
ln
a
b
= ln(a) – ln(b) ; la fonction ln transforme un quotient en une différence.
Pour tout entier relatif n, ln(an) = nln(a); ln(
a
) =
1
2
ln(a).
1.4. Exercices :
Simplifier les écritures suivantes: a) ln8 + ln4 – ln(24) ; b) ln
4
7
+ ln
3
4
+ ln9; c) ln
a2
b
+ ln
b3
a4
;
d) ln(e3) – ln(e– 2 ) ; e) ln(e
e
) – ln(
1
e
) ; f) ln
1
2
+ ln
2
3
+ ln
3
4
+ ... + ln
n
n1
pour n   .
2. Étude de la fonction logarithme népérien
2.1. Fonction dérivée
Théorème : La fonction ln est dérivable sur ]0; +  [ et ln(x)' =
1
x
.
Démonstration: On sait que pour tout réel x, exp(ln(x)) = x .
En dérivant cette expression, on trouve exp'(ln(x)) × ln'(x) = 1, et comme exp' = exp, alors exp(ln(x))× ln'(x) = 1. de
plus, exp(ln(x)) = x, ainsi x× ln'(x) = 1, d'où ln(x)' =
1
x
.
Donc pour tout x > 0, la dérivée de ln est strictement positive et la fonction ln est strictement croissante. Elle conserve
l'ordre sur ]0; +  [.
Remarque: La fonction ln est donc continue, puisque dérivable et strictement croissante sur ]0; +  [, donc pour tous
réels a et b strictement positifs, lna = lnb entraîne a = b; et lna > lnb entraîne a > b.
De plus, pour a > 1, ln(a) > 0 et pour 0 < a < 1, ln(a) < 0.

2.2. Limites aux bornes
Théorème :
lim
x
ln x=
et
lim
x0
ln x=
.
Démonstration : Soit M un réel. La fonction ln étant strictement croissante sur ]0; +  [,
pour x > eM , ln(x) > ln(eM) = M. Donc ln(x) est aussi grand que l'on veut, donc
lim
x
ln x=
.
En prenant X =
1
x
, soit x =
1
X
, lorsque x tend vers 0+ ,
1
X
tend vers + ;
lim
x0
ln x
=
lim
X
ln
1
X
=
lim
X
ln X
= – .
2.3. Représentation graphique
Quelques tangentes remarquables:
La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation :
y = 1(x – 1) + ln1 = x – 1.
La tangente au point d'abscisse e a pour équation :
y =
1
e
(x – e) + lne =
1
e
x – 1 + 1 =
x
e
. Cette tangente passe
par l'origine du repère.
Propriété: Les courbes des fonctions exponentielle et logarithme népérien
sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
3. La fonction ln o u
3.1. Dérivée de lnu .
On considère une fonction u strictement positive sur un intervalle I. Alors la
fonction composée lnu est dérivable sur I et (lnu)' =
u '
u
.
Exemple : Le polynôme P défini par P(x) = x2 + x + 1 et strictement positif sur  , donc ln(P(x)) est dérivable sur  et
ln(P(x))' =
2x1
x2x1
.
Comme la fonction u est strictement positive sur I, le signe de la dérivée de ln(u) est le signe de u'.
Dans l'exemple précédent, le signe de ln(P(x))' est celui de 2x + 1.
4. Équations et inéquations
La fonction ln étant une bijection croissante de ]0; +  [ dans  , pour tous réels a et b de ]0; +  [,
ln a = lnb équivaut à a = b; et ln a < lnb équivaut à a < b.
On peut alors résoudre des équations et des inéquations:
lnx = 2 équivaut à x = e2 ; L'équation ln(x – 1) = 1 n'a de sens que si x – 1 > 0 puisque la fonction ln est définie
sur ]0; +  [, c'est-à-dire si x > 1. Et ln(x – 1) = 1 donne x – 1 = e , donc x = 1 + e. Cette solution appartient à
l'intervalle ]1; +[ , donc l'équation a pour solution : S = {1 + e}.
lnx  2 équivaut à 0 < x  e2 ; ln(x – 1)  1 équivaut à 0 < x – 1  e, donc 1 < x  1 + e.
Tableau de variations:
x0 1 e+
1
x
|| +
ln(x)
||
||
|| – 
0
1 +

Exemples :
a) Résoudre l'équation ln(3x – 1) = ln(1 – x). Cette équation est valide si et seulement si 3x – 1 > 0 et 1 – x > 0.
La première inéquation donne x >
1
3
et la deuxième donne x < 1, donc on résout l'équation sur ]
1
3
; 1[ .
L'équation ln(3x – 1) = ln(1 – x) équivaut alors à 3x – 1 = 1 – x, qui s'écrit 4x = 2, soit x =
1
2
. Cette solution appartient
à l'intervalle ]
1
3
; 1[ , donc l'équation a une solution : S = {
1
2
}.
b) Résoudre l'équation ln(2x – 3) = ln(4x – 1). Cette équation est valide si et seulement si 2x – 3 > 0 et 4x – 1 > 0.
La première inéquation donne x >
3
2
et la deuxième donne x >
1
4
, donc on résout l'équation sur ]
1
4
; +[ .
L'équation ln(2x – 3) = ln(4x – 1) équivaut alors à 2x – 3 = 4x – 1, qui s'écrit 2x = – 1, soit x =
1
2
. Cette solution
n'appartient pas à l'intervalle ]
1
4
; +[ , donc l'équation n'a pas de solution.
c) Résoudre l'inéquation ln(2x – 3)  ln(x – 1). Cette inéquation est valide si et seulement si 2x – 3 > 0 et
x – 1 > 0. La première inéquation donne x >
3
2
et la deuxième donne x > 1, donc on résout l'inéquation sur ]
3
2
; +[ .
L'inéquation ln(2x – 3)  ln(x – 1) équivaut alors à 2x – 3  x – 1 , équivaut à x  2. Donc les solutions de cette
inéquation sont les réels x  ]
3
2
; 2].
5. La fonction logarithme décimal
5.1. Définition: Le logarithme décimal est défini sur ]0; +  [ , noté log, et vérifie: pour tout réel x, l'unique solution de
l'équation 10x = y est le nombre log(y).
On a donc 10x = y équivaut à x = log(y).
5.2.Propriétés: log(1) = 0; log(10) = 1; log(102) = 2; log(103) = 3; pour tout entier relatif n, log(10n) = n.
log(10– 1 ) = – 1; log(10– 2 ) = – 2; ...
Cette fonction intervient dans plusieurs domaines.
5.3. Quelques exemples:
1. En chimie: L'acidité d'une solution est mesurée par son pH: pH = – log[H3O+], où [H3O+] désigne la concentration de
la solution en ions H3O+ (en moles par litre).
2. En sismologie: La magnitude M d'un séisme d'intensité I est mesurée sur l'échelle de Richter par M = log
I
I0
où I0
est une intensité de référence.
3. En acoustique: L'intensité I (en décibels) d'un son de puissance P est donnée par I = 10 log
P
P0
, où P0 correspond
au seuil d'audibilité au-dessous duquel aucun son n'est perçu.