Logarithme Neperien : exemples

Logarithme Neperien : exemples page 1 de 2
Logarithme Neperien : exemples
1. Résoudre e2x= 3
Puisque 3 est un nombre >0, cette équation est équivalente à 2x= ln(3), soit
x=ln(3)
2
2. Résoudre e2x=−3
Puisque 3 est un nombre <0, cette équation n’a pas de solution (car eX>0).
3. Résoudre ex+e−x= 3
On pose X=ex. l’équation s’écrit X+1
X= 3, soit X2−3X+ 1 = 0.
C’est une équation du second degré dont les racines (pour X) sont :
X1=3 + √5
2et X2=3−√5 2. On vérifie que ces deux nombres sont strictement
positifs. Donc les solutions pour xsont :
x1= ln(X1) = ln 3 + √5
2!et x2= ln(X2) = ln 3−√5 2!
4. Résoudre ex+1 = 2e3x.
Les deux membres étant positifs, l’équation équivaut à : x+ 1 = ln(2e3x)car ln est
la réciproque de exp.
D’après les propriétés algébriques de ln (transformation de la multiplication en
addition), ln(2e3x) = ln(2) + 3x.
Donc l’équation initiale équivaut à x+ 1 = ln(2) + 3x, soit . . . , soit x=1−ln(2)
2
5. Déterminer le signe de 2 ln(x+ 1) + 3
Quand on voit un logarithme, penser au domaine de définition.
Ici il faut x+ 1 >0, soit x > −1.
Quand a-t-on 2 ln(x+ 1) + 3 >0?
L’équation équivaut à ln(x+ 1) >−3
2, donc à x+ 1 > e−3
2. Ce «donc» peut
être justifié de deux façons équivalentes : ou bien on dit car la fonction exp est
strictement croissante et ln et exp sont réciproques, ou bien on dit car la fonction
ln est strictement croissante et ln et exp sont réciproques.
L’équation 2 ln(x+ 1) + 3 >0est donc équivalente à x > −1 + e−3
2
x > −1soit
x > −1 + e−3
2(puisque l’exponentielle est toujours >0).
D’autre part, 2 ln(x+ 1) + 3 <0pour x < −1 + e−3
2
x > −1, soit
−1<x<−1 + e−3
2
6. Déterminer le signe de f(x) = ln(x+ 1) −ln(x)−2 ln(5)
L’expression est définie pour x+ 1 >0
x > 0, soit x > 0. Pour ces x, elle est égale à
f(x) = ln x+ 1
x−ln(52) = ln x+ 1 x×1 52
Quand a-t-on f(x)>0(pour x > 0) ?
f(x)>0⇔ln x+ 1
x×1 52>0⇔x+ 1 x×1 52>1
⇔. . . ⇔1 + 1
x>25 ⇔. . . ⇔x < 1 24
Donc le signe de f(x)est : si 0<x< 1
24, f(x)>0et si x > 1 24, f(x)<0
7. Déterminer le signe de f(x) = ln(x)−x
On ne peut pas résoudre algébriquement, on essaye d’étudier d’abord les variations
sur ]0; +∞[(le domaine de définition).
f0(x) = 1
x−1 = 1−x x. Donc f0(x)>0pour 0<x<1.
fest d’abord croissante sur ]0; 1[ puis décroissante sur ]1; +∞[. Elle admet donc
un maximum pour x= 1, qui vaut f(1) = 0 −1 = −1. Donc f(x)<0pour tout
x > 0.
8. Simplifier ln(32)
ln(√2) (utiliser des puissances de 2) .
On exprime 32 et √2comme des puissances de 2 : 32 = 25et √2=21/2.
Donc ln(32) = 5 ln(2) et ln(√2) = 1
2ln(2).
Donc ln(32)
ln(√2) = 10
9. Déterminer les tangentes à la courbe de ln qui passent par l’origine.

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L’équation de la tangente au point d’absisse aest y=1
a(x−a) + ln(a). Cette tan-
gente passe par l’origine si et seulement si l’équation est vérifiée quand on remplace
xet ypar 0, c’est-à-dire :
0 = 1
a(−a) + ln(a), soit 0 = −1 + ln(a), soit ln(a)=1, soit a=e.
L’équation de la tangente est alors y=1
e(x−e) + ln(e) = x e(car ln(e) = 1).
10. On sait que la suite géométrique un= (0,2)na pour limite 0 puisque sa raison est
dans ]0; 1[. Pour quels entiers na-t-on un<10−6?
L’inéquation (0,2)n<10−6équivaut à ln ((0,2)n)<ln 10−6, soit
nln(0,2) <−6 ln(10)
Atttention, piège : puisque 0,2<1, on a ln(0,2) <0. Donc en divisant par ln(0,2),
on change le sens de l’inégalité :
n > −6 ln(10)
ln(0,2) . Le deuxième membre vaut à peu près 8,58, donc les entiers solutions
sont : n>9
11. Calculer lim
x→∞
ln(x+ 1)
ln(x).
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
indéterminée «∞
∞».
On applique la méthode standard dans cette situation : on met en évidence les
termes dominants.
x+ 1 = x1 + 1
x, donc ln(x+ 1) = ln(x) + ln 1 + 1 x.
Donc ln(x+ 1)
ln(x)= 1 +
ln 1 + 1
x
ln(x).
La simplification a permis de lever l’indétermination, et on peut appliquer les théo-
rèmes sur les opérations : la limite vaut 1 (forme «1 + 0
∞»).
12. Soit uune suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1. Soit vla suite définie
par vn= ln(un). Calculer S=v0+v1+··· +v2011.
On a v0= ln(u0) = ln(1) = 0, et vn+1 = ln(un+1) = ln(2un) = ln(2) + ln(un) =
ln(2) + vn.
Donc vest une suite arithmétique de raison ln(2) (remarque générale : puisque le
logarithme transforme la multiplication en addition, il transforme une suite géomé-
trique en suite arithmétique, et c’est même historiquement le procédé avec lequel il
a été inventé).
Donc d’après la formule de la somme des termes d’une suite arithmétique :
S= 2012 ×v0+v2011
2= 2012 ×0 + 2011 ln(2) 2= 1006 ×2011 ln(2)
13. Soit f(x) = ln(1 + ex). Démontrer que la droite d’équation y=xest asymptote à la
courbe de f.
Le tracé de la courbe par la calculatrice suggère que c’est en +∞. Donc il faut
étudier la limite de ln(1 + ex)−xlorsque xtend vers +∞.
En essayant d’appliquer les théorèmes sur les opérations, on aboutit à une forme
indéterminée «∞−∞».
On applique la méthode standard dans cette situation : on met en évidence les
termes dominants.
1 + ex=ex(e−x+ 1). Donc ln(1 + ex) = ln(ex) + ln(e−x+ 1) = x+ ln(e−x+ 1)
Donc ln(1 + ex)−x= ln(e−x+ 1). La simplification a permis de lever l’indétermi-
nation, et on peut appliquer les théorèmes sur les opérations : la limite vaut 0 (=
ln(0 + 1)).
14. Soit un= ln n
n+ 1. Calculer S=u1+u2+··· +u2010
D’après les propriétés algébriques du logarithme :
S= ln 1×2×. . . 2010
2×3× ··· × 2011= ln 1 2011=−ln(2011)
15. Soit fla fonction définie sur ]−1; 1[ par f(x) = ln 1−x
1 + x. Démontrer que fest
une fonction impaire.
Si −1<x<1, alors −1<−x < 1, donc f(−x)est définie, et
f(−x) = ln 1 + x
1−x=−ln 1−x 1 + x=−f(x)
En effet 1 + x
1−xest l’inverse de 1−x 1 + x, et ln 1 X=−ln(X).
16. Soit fune solution (non nulle) de l’équation différentielle y0=−3y. Pour quels xa-t-on
f(x) = 1
2f(0) ? (On rencontre ce problème en physique sous le nom de «demi-vie»).
f(x) = ke−3xet f(0) = k(avec ici k /=0).
On résout ke−3x=1
2k, soit e−3x=1 2, soit −3x= ln 1 2=−ln(2), soit x=ln(2) 3
17. Calculer lim
x→0
ln(1 + 2x)
x
On connaît la limite lim
X→0
ln(1 + X)
X= 1 (taux d’accroissement, dérivée).
On s’y ramène par changement de variable : X= 2x, avec Xtendant vers 0.
ln(1 + 2x)
x=2 ln(1 + X) X. Donc la réponse est 2.