Programme de révision et d`entraînement en

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Sommaire
I. OUTILS ET TECHNIQUES DE BASE 5
1 R´edaction, modes de raisonnement 6
1.1 R´edaction, quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Vocabulaire et notations utilis´es . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 G´en´eralit´es .......................... 8
1.1.3 Quantificateurs........................ 8
1.2 Le raisonnement par r´ecurrence (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Le raisonnement par r´ecurrence (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Le raisonnement par analyse-synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Calculs alg´ebriques 19
2.1 G´en´eralit´es et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Le symbole P............................ 19
2.3 Sommes t´elescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Le symbole Q............................. 25
2.5 Factorielle d’un entier naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Trigonom´etrie et nombres complexes 31
3.1 Trigonom´etrie............................. 31
3.2 Nombrescomplexes.......................... 35
4 In´egalit´es, trinˆome du second degr´e r´eel 38
4.1 In´egalit´es et in´equations : m´ethodes ´el´ementaires . . . . . . . . . 38
4.2 Le trinˆome du second degr´e r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 D´erivation 42
5.1 Calcul des d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Tangente `a un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Applications de la d´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3.1 ´ Etude de fonctions, r´esolution d’´equations . . . . . . . . . 44
5.3.2 D´emonstration d’in´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Calcul des limites 51
6.1 Introduction et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Utilisation de taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Mise en facteur du terme pr´epond´erant . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Int´egration 55
7.1 Rappels ................................ 55
7.2 L’int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 R´eponses ou indications 61
II. APPROFONDISSEMENTS 78
3

1 Nombres complexes, deuxi`eme ´episode 79
1.1 Technique de l’arc moiti´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.2 Calcul de sommes trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.3 Racinesdel’unit´e........................... 81
1.4 La formule du binˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.5 L’in´egalit´e triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2 Polynˆomes 91
2.1 Polynˆomes............................... 91
2.2 Racines d’un polynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3 Rigidit´e ................................ 97
2.4 L’´equation du second degr´e dans C................. 99
2.5 Somme et produit des racines d’un polynˆome . . . . . . . . . . . 103
3 D´erivation, deuxi`eme ´episode 106
3.1 Caract´erisation des fonctions constantes . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2 L’´equation diff´erentielle y0=λy ...................107
3.3 La condition n´ecessaire d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 Les fonctions puissances 110
5 Calcul des limites, deuxi`eme ´episode 117
5.1 Croissances compar´ees usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Utilisation de la forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6 Int´egration, deuxi`eme ´episode 120
6.1 Quelques applications de l’int´egration par parties . . . . . . . . . 120
6.2 La m´ethode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7 Probl`eme : deux calculs de ζ(2) 131
8 Appendice 135
9 R´eponses ou indications 137
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Premi`ere partie
Outils et techniques de base
Cette partie permet de r´eviser les math´ematiques ´etudi´ees au lyc´ee dans la
perspective d’une classe pr´eparatoire MPSI ou PCSI. Ses buts principaux sont
les suivants.
- Rappeler quelques modes de raisonnement en les illustrant par des exemples
significatifs.
- Pr´eciser, surtout `a travers des exemples, la fa¸con dont un texte math´ema-
tique doit ˆetre r´edig´e.
- Conforter la maˆıtrise du calcul.
Le programme de Terminale est compl´et´e par un nombre tr`es limit´e de points
importants : quantificateurs, symboles Pet Q, d´eriv´ee d’une compos´ee, int´e-
gration par parties.
Il est conseill´e de lire cette partie en en respectant l’ordre.
Afin de faciliter le travail du lecteur, un certain nombre de d´efinitions et
notations d’usage courant en CPGE mais pas forc´ement en Terminale sont rap-
pel´ees en 1.1.1.
5

1 R´edaction, modes de raisonnement
1.1 R´edaction, quantificateurs
1.1.1 Vocabulaire et notations utilis´es
Pour la commodit´e du lecteur, on regroupe ici quelques termes et notations
d’usage courant.
Ensembles de nombres usuels
Dans tout ce texte, on utilise les notations usuelles ci-apr`es.
-Nest l’ensemble des nombres entiers naturels, N∗l’ensemble des entiers
naturels non nuls, c’est-`a-dire ≥1.
-Zest l’ensemble des nombres entiers relatifs, Z∗l’ensemble des entiers
relatifs non nuls.
-Qest l’ensemble des nombres rationnels, c’est-`a-dire des fractions
p
q, p ∈Z, q ∈N∗.
On peut, quitte `a simplifier, supposer la fraction irr´eductible, c’est-`a-dire que le
seul diviseur commun `a pet qest 1.
-Rest l’ensemble des nombres r´eels, R∗l’ensemble des nombres r´eels non
nuls, R+l’ensemble des nombres r´eels positifs ou nuls, R+∗l’ensemble des
nombres r´eels strictement positifs.
-Cest l’ensemble des nombres complexes, C∗l’ensemble des nombres com-
plexes non nuls.
On a les inclusions :
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
Les nombres r´eels non rationnels sont dits irrationnels. Vous rencontrerez
dans ce texte plusieurs exemples de nombres irrationnels.
Segments de R
Si aet bsont deux nombres r´eels, on note [a, b] l’ensemble des r´eels compris,
au sens large, entre aet b.
Cette notation vaut quel que soit l’ordre dans lequel aet bsont rang´es.
Ainsi :
[0,1] = [1,0].
Les ensembles de la forme [a, b] sont appel´es segments de R. Noter que les
segments de Rsont exactement les intervalles ferm´es et born´es.
Partie enti`ere d’un nombre r´eel
La partie enti`ere, ou partie enti`ere inf´erieure d’un r´eel x, not´ee bxc, d´esigne
le plus grand entier relatif plus petit que x. Autrement dit, bxcappartient `a Z
et v´erifie :
bxc ≤ x < bxc+ 1.
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