Arithmétique

2 – Trinôme du second degré
1) Définition
On appelle trinômes du second degré les fonctions polynômes de degré 2.
Un trinôme du second degré s’écrit donc
Dans toute la suite on supposera a ≠ 0.
2) Forme canonique : méthode à retenir
Pour tout réel x on a :
Cette dernière forme est appelée forme canonique du trinôme, et
du trinôme.
est appelé discriminant
Exemples
Mettre f(x) = x²+4x+2 et g(x) = 2x²+6x-8 sous forme canonique.
f(x) = x²+4x+2 = x²+4x+4-4+2 = (x+2)²-2.
g(x) = 2[x²+3x-4] = 2[x²+3x+9/4-9/4-4] = 2[(x+3/2)²-25/4].
3) Applications du discriminant
a- Factorisation et résolution de l’équation ax²+bx+c = 0
1er cas :
On peut écrire
On obtient la forme factorisée du trinôme et l’équation ax²+bx+c = 0 admet deux solutions distinctes :
2ème cas :
Donc l’équation a une seule solution (appelée racine double) :
3ème cas :
Il n’est pas possible de factoriser le trinôme dans ce cas là, et l’équation n’a pas de solution.
Exemples :
Résoudre les équations 6x²-x-1 = 0 ; x²-3x+4 = 0 et 2x²-12x+18 = 0
6x²-x-1 = 0 :
x²-3x+4 = 0 :
Remarques :
Il n’est pas toujours utile d’utiliser le discriminant : la factorisation ou l’utilisation d’identités
remarquables restent souvent plus rapides : 2x²-3x = 0 ; 4x²-4x+1 = 0 …
2x²-3x = 0
x(2x-3) = 0
x = 0 ou x = 1,5 donc
.
4x²-4x+1 = 0
(2x-1)² = 0
2x-1 = 0
x = 0,5, donc
.
b- Signe du trinôme
1er cas :
On a vu précédemment que le trinôme a deux racines x1 et x2 (supposons x1 x2) et qu’il se factorise sous
la forme ax²+bx+c = a(x-x1)(x-x2). Son signe est donc donné à partir du tableau de signes suivant :
x
(x-x1)
(x-x2)
(x-x1)(x-x2)
+
x1
0
0
x2
+
-
0
0
+
+
+
En multipliant par a, on obtient donc que le ax²+bx+c est du signe de a sauf entre les racines.
2ème cas :
Dans ce cas la factorisation donne que ax²+bx+c est du signe de a.
3ème cas :
Enfin, d’après la forme canonique, ax²+bx+c est du signe de a.
Exemple
Résoudre l’inéquation 2x²+5x-3 0
2x²+5x-3 est du signe de a = 2, donc positif, à l’extérieur des racines.
c- Variations et représentation graphique
D’après la forme canonique :
La courbe représentative est une parabole de sommet
La droite d’équation x = – Error! est un axe de symétrie.
Si a > 0 , les branches de la parabole sont tournées vers le haut.
Si a < 0 , les branches de la parabole sont tournées vers le bas.
.
Exemples :
y=2x2+4x+1
y = – 0.5 x 2 + 2 x + 2
De la même façon, le tableau de variation s’obtient à partir de celui de la fonction carrée.
x
-
+
a>0
– Error!
x
a<0
– Error!
-
+
f (–
f(x)
f (– Error!
)
f admet un minimum en – Error!
Error!
f(x)
)
f admet un maximum en –
Error!
4) Utiliser les différentes formes d’un trinôme
Récapitulatif :
Un trinôme du second degré peut :
- toujours s’écrire sous forme développée et réduite : ax²+bx+c,
- toujours s’écrire sous forme canonique : a(x-α)²+β,
- lorsque
, s’écrire sous forme factorisée : a(x-x1)(x-x2) ou a(x-x0)².
Exemple
On considère l’expression A(x) = 3x²-x-2. (1)
c) Résoudre l’équation A(x) = 0.
d) Résoudre l’inéquation A(x) 0.
f) Déterminer le ou les antécédents de -2.
g) Pour quelle valeur de x, A(x) est-il le plus petit ? Quelle est alors la valeur de A(x) ?
Sol :
a) Méthode 1 : on développe (2) pour obtenir (1). Attention, ne pas commencer par A(x) = …, car c’est le
résultat qu’il faut prouver.
Méthode 2 : on utilise (1) pour calculer le discriminant, les racines et donner la forme factorisée.
b) Méthode 1 : on développe (3) pour obtenir (1).
Méthode 2 : on mets A(x) sous forme canonique.
Pour la suite, il est important de choisir la forme la mieux adaptée au calcul.
c) On utilise (2) et on obtient : S =
d) Méthode 1 : on utilise (1) ou (2) et on conclut en utilisant le théorème sur le signe d’un trinôme.
Méthode 2 : on utilise (2) et on construit un tableau de signe.
On obtient S = ]-∞ ; -2/3] [1 ; +∞[.
e) On utilise (1) : A(0) = -2 . On utilise (3) : A(1/6) = -25/12.
f) On doit résoudre A(x) = -2. On utilise (1).
A(x) = -2
x(3x-1) = 0
x = 0 ou x = 1/3.
-2 a deux antécédents 0 et 1/3.
g) Méthode 1 : on utilise (1). La courbe représentative d’un trinôme est une parabole de sommet
. Comme a = 3 0, la parabole est tournée vers le haut, et donc le trinôme admet un
minimum pour x = -b/2a = 1/6. La valeur de A(x) est A(1/6) = -25/12.
Méthode 2 : on utilise (3).
Un carré est toujours positif, donc :
Or A(1/6) = -25/12, donc A(x) est minimum pour x = 1/6 et le minimum est -25/12.