Produit scalaire

Produit scalaire
Objectifs
XConnaître et utiliser les formules d’addition et de duplication des sinus et cosinus sur des exemples
simples.
1 – Rappels
Définition
Le produit scalaire de deux vecteurs −→ upar −→ vest le nombre réel, noté −→ u·−→ v, défini par :
−→
u·−→ v=
−→
u
× −→
v
×cos −→
u,−→ v,
où −→ u,−→ vdésigne (une mesure de) l’angle orienté formé par les vecteurs −→ uet −→ v.
Propriétés
•Le produit scalaire est symétrique (l’ordre ne compte pas) : −→ u·−→ v=−→ v·−→ u.
•Le produit scalaire est bilinéaire : si λ∈R,λ−→ u·−→ v=λ−→ u·−→ vet −→ u·λ−→ v=λ−→ u·−→ v.
•Le produit scalaire obéit à la règle de distributivité : −→ u·−→ v+−→ w=−→ u·−→ v+−→ u·−→ w.
Proposition
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul.
Théorème
Dans le plan muni d’un repère (O;−→ ı;−→ )orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs −→ uet −→ vde
coordonnées −→ u x
y!et −→
v x′
y′!est égal à :
−→
u·−→ v=xx′+yy′.
Remarque
Cette formule permet en particulier de calculer la norme de −→ ucar 
−→
u
=√−→
u·−→ u=px2+y2.
Si Aet Bsont deux points de coordonnées (xA;yA)et (xB;yB), le vecteur −→
AB a pour coordonnées xB−xA
yB−yA!et :
AB =q(xB−xA)2+(yB−yA)2.
Proposition
Dans un repère orthonormé, soit −→ uet −→ vdeux vecteurs de coordonnées −→ u x
y!et −→
v x′
y′!.
−→
uet −→ vsont orthogonaux si et seulement si xx′+yy′=0.
Terminale STL – 2016 / 2017 1 Lycée Fresnel - Paris

2 – Formules d’addition
Proposition
Pour tous nombres réels aet b:
cos(a+b) = cos acos b−sin asin bsin(a+b) = sin acos b+sin bcos a
cos(a−b) = cos acos b+sin asin bsin(a−b) = sin acos b−sin bcos a
Démonstration
Dans le plan muni d’un repère (O;−→ ı;−→ )orthonormé, soit Met M′deux points du cercle unité.
On pose θ=−→
i,−−→ OMet θ′=−→
i,−−→ OM′.
−→
i
−→
j
O
M′
M
θ′
θ
θ−θ′
cos θcos θ′
sin θ′
sin θ
On va calculer le produit scalaire −−→ OM ·−−→ OM′de deux manières différentes.
•D’une part,
−−→
OM ·−−→ OM′=
−−→
OM
×
−−→
OM′
×cos −−→
OM,−−→ OM′=cos(θ−θ′).
•D’autre part, les coordonnées des vecteurs −−→ OM et −−→ OM′s’écrivent
−−→
OM cos θ
sin θ!et −−→
OM′ cos θ′
sin θ′!
de sorte que
−−→
OM ·−−→ OM′=cos θcos θ′+sin θsin θ′.
On déduit de ces calculs la formule : cos(θ−θ′) = cos θcos θ′+sin θsin θ′.
De plus, en posant θ=aet θ′=−b, on obtient : cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
Les formules d’addition du sinus s’en déduisent en remarquant que le cosinus d’un angle est égal au sinus de
son complémentaire, et inversement :
cos θ=sin π
2−θet sin θ=cos π 2−θ.
Ainsi : sin(a+b) = cos π
2−(a+b)
=cos π
2−a−b
=cos π
2−acos (b)+sin π 2−asin (b)
=sin acos b+cos asin b
On trouve par la meme méthode que sin(a−b) = sin acos b−sin bcos a.
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3 – Formules de duplication
Proposition
Pour tout a∈R:
cos(2a) = 
cos2a−sin2a
2 cos2a−1
1−2 sin2a
et sin(2a) = 2 sin acos a
Démonstration
C’est une application des formules d’addition dans le cas où b=a:
cos(2a) = cos(a+a) = cos acos a−sin asin a=cos2a−sin2a
et
sin(2a) = sin(a+a) = sin acos a+sin acos a=2 sin acos a.
Par ailleurs, on sait que cos2a+sin2a=1 (c’est le théorème de Pythagore).
Donc cos2a=1−sin2aet sin2a=1−cos2a, d’où
cos(2a) = 1−sin2a−sin2a=1−2 sin2aet cos(2a) = cos2a−(1−cos2a) = 2 cos2a−1
4 – Compléments (hors programme)
Formules de linéarisation
Pour tout x∈R:
cos2x=1+cos(2x)
2sin2x=1−cos(2x) 2
Formules de développement
Pour tout a,b∈R:
cos acos b=1
2(cos(a+b) + cos(a−b))
sin asin b=1
2(cos(a+b)−cos(a−b))
sin acos b=1
2(sin(a+b) + sin(a−b))
Formules de factorisation
Pour tout p,q∈R:
cos p+cos q=2 cos p+q
2cos p−q 2
cos p−cos q=−2 sin p+q
2sin p−q 2
sin p+sin q=2 sin p+q
2cos p−q 2
sin p−sin q=2 cos p+q
2sin p−q 2
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