Produit scalaire

Produit scalaire
Objectifs
X Connaître et utiliser les formules d’addition et de duplication des sinus et cosinus sur des exemples
simples.
1 – Rappels
Définition
→
→
→
→
Le produit scalaire de deux vecteurs −
u par −
v est le nombre réel, noté −
u ·−
v , défini par :
→ −
−
→
→
→
→
u ·−
v = −
u × →
v × cos −
u ,−
v ,
→
→
→
→
où −
u ,−
v désigne (une mesure de) l’angle orienté formé par les vecteurs −
u et −
v.
Propriétés
→
→
→
→
• Le produit scalaire est symétrique (l’ordre ne compte pas) : −
u ·−
v =−
v ·−
u .
−
−
→
→
−
→
−
→
−
→
→
→
→
• Le produit scalaire est bilinéaire : si λ ∈ R, λ u · v = λ u · v et u · λ−
v = λ−
u ·−
v.
→
→
→
→
→
→
→
• Le produit scalaire obéit à la règle de distributivité : −
u · −
v +−
w =−
u ·−
v +−
u ·−
w .
Proposition
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul.
Théorème
→
→
→
→
Dans le plan muni !
d’un repère!(O; −
ı ;−
 ) orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs −
u et −
v de
′
x
x
→
→
est égal à :
et −
v
coordonnées −
u
y′
y
−
→
→
u ·−
v = xx ′ + yy′ .
Remarque
p
→ √−
→
→
Cette formule permet en particulier de calculer la norme de −
u car −
u= →
u ·−
u = x 2 + y2 .
!
xB − x A
−→
et :
Si A et B sont deux points de coordonnées ( x A ; y A ) et ( xB ; yB ), le vecteur AB a pour coordonnées
yB − y A
q
AB = ( xB − x A )2 + (yB − y A )2 .
Proposition
x
→
→
→
Dans un repère orthonormé, soit −
u et −
v deux vecteurs de coordonnées −
u
y
!
!
x′
−
→
.
et v
y′
−
→
→
u et −
v sont orthogonaux si et seulement si xx ′ + yy′ = 0.
Terminale STL – 2016 / 2017
1
Lycée Fresnel - Paris
2 – Formules d’addition
Proposition
Pour tous nombres réels a et b :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
Démonstration
→
→
Dans le plan muni d’un
repère (O; −
ı ;−

) orthonormé, soit M et M ′ deux points du cercle unité.
−
−
→
−
→ −−→
−
→
−
→
On pose θ = i , OM et θ ′ = i , OM ′ .
j
M
sin θ
b
sin θ ′
b
b
cos θ
M′
θ − θ′
θ
θ′
O
cos θ ′
−
→
i
−−→ −−→
On va calculer le produit scalaire OM · OM ′ de deux manières différentes.
• D’une part,
−−→ −−→
−−→ −−→ −−→ −−→
OM · OM ′ = OM × OM ′ × cos OM, OM ′ = cos(θ − θ ′ ) .
−−→ −−→
• D’autre part, les coordonnées des vecteurs OM et OM ′ s’écrivent
!
!
−−→′ cos θ ′
−−→ cos θ
OM
et
OM
sin θ ′
sin θ
de sorte que
−−→ −−→
OM · OM ′ = cos θ cos θ ′ + sin θ sin θ ′ .
On déduit de ces calculs la formule : cos(θ − θ ′ ) = cos θ cos θ ′ + sin θ sin θ ′ .
De plus, en posant θ = a et θ ′ = −b, on obtient : cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b
Les formules d’addition du sinus s’en déduisent en remarquant que le cosinus d’un angle est égal au sinus de
son complémentaire, et inversement :
π
π
cos θ = sin
−θ
et
sin θ = cos
−θ .
2
2
Ainsi : sin( a + b) = cos π2 − ( a + b)
= cos π2 − a − b
= cos π2 − a cos (b) + sin π2 − a sin (b)
=
sin a cos b + cos a sin b
On trouve par la meme méthode que sin( a − b) = sin a cos b − sin b cos a .
Terminale STL – 2016 / 2017
2
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3 – Formules de duplication
Proposition
Pour tout a ∈ R :
cos(2a) =

2
2


cos a − sin a



et
2 cos2 a − 1
sin(2a) = 2 sin a cos a
1 − 2 sin2 a
Démonstration
C’est une application des formules d’addition dans le cas où b = a :
cos(2a) = cos( a + a) = cos a cos a − sin a sin a = cos2 a − sin2 a
et
sin(2a) = sin( a + a) = sin a cos a + sin a cos a = 2 sin a cos a .
Par ailleurs, on sait que cos2 a + sin2 a = 1 (c’est le théorème de Pythagore).
Donc cos2 a = 1 − sin2 a et sin2 a = 1 − cos2 a, d’où
cos(2a) = 1 − sin2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 a
cos(2a) = cos2 a − (1 − cos2 a) = 2 cos2 a − 1
et
4 – Compléments (hors programme)
Formules de linéarisation
Pour tout x ∈ R :
Formules de développement
Pour tout a, b ∈ R :
cos2 x =
1 + cos(2x)
2
sin2 x =
1 − cos(2x)
2
cos a cos b =
1
(cos( a + b) + cos( a − b))
2
sin a sin b
=
1
(cos( a + b) − cos( a − b))
2
sin a cos b
=
1
(sin( a + b) + sin( a − b))
2
Formules de factorisation
Pour tout p, q ∈ R :
cos p + cos q = 2 cos
cos p − cos q = −2 sin
sin p + sin q
sin p − sin q
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p+q
2
p+q
2
= 2 sin
p+q
2
= 2 cos
p+q
2
3
cos
sin
p−q
2
p−q
2
cos
p−q
2
sin
p−q
2
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