1s derivation fonction racine carree

1S
DERIVATION FONCTION RACINE CARREE
1
Soit f la fonction racine carrée définie sur [0 ; +∝[ par f(x) =
2)
a+h − a
1
=
h
a+h + h
1
Démontrer qu’en tout nombre réel a > 0, le nombre dérivé de f en a est égal à 2 a .
3)
En déduire la fonction dérivée de la fonction racine carrée sur ]0 ; +∝[.
4)
Montrer que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en x = 0.
1)
2
5
C
x+
1)
Etudier les variations de f.
2)
Démontrer que pour tout x strictement positif, on a :
Soit f la fonction racine carrée définie sur [0 ; +∝[ par f(x) =
1
x
x+
1
x
≥2
x
x +1
1)
1−x
Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∝[ et que pour tout x > 0 : f' (x) = 2 x (x + 1)²
2)
Etudier les variations de f sur [0 ; +∝[.
4)
5)
x +1
En déduire que pour tout réel positif x on a : 0 ≤ x ≤ 2
1
Montrer que pour tout réel x > 0, on a : f (x) ≤
x
En déduire un intervalle sur lequel on a f(x) ≤ 10-2.
On considère la fonction f définie que [0 ; +∝[ par f (x) = (7x ² + 2x − 9) x
1)
2)
7
C
Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction f.
En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que la fonction f est dérivable en 0.
Déterminer f’(x) pour tout x appartenant à D.
Etudier les variations de f sur D. Etablir le tableau de variations de f.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les axes de coordonnées.
Donner des équations des tangentes à C en ces points.
Construire la courbe représentative de f dans un repère (unité graphique 2 cm)
Soit f la fonction racine carrée définie sur ] 0 ; +∝[ par f(x) =
3)
6
C
Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction f.
Déterminer l’ensemble de dérivabilité D’ de la fonction f.
Etudier les variations de f sur D. Etablir le tableau de variations de f.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les axes de coordonnées.
Donner des équations des tangentes à C en ces points.
Construire la courbe représentative de f dans un repère (unité graphique 2 cm)
On considère la fonction f définie par f(x) = (2x ² − x) x
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
4
Montrer que pour tout a > 0 et pour tout h non nul tel que a + h > 0, on a
On considère la fonction f définie par f(x) = (x − 3) x
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3
C
x
Etudier les variations de f
En déduire un encadrement de f pour x appartenant à [0 ; 1].
4 x
1+ x
Démontrer que pour tout x de l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ , 0 ≤ f(x) ≤ 2
Soit f la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f(x) =
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1S
DERIVATION FONCTION RACINE CARREE
CORRIGE :
3
C
On considère la fonction f définie par f(x) = (2x ² − x) x
1)
2)
Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction f. D = [ 0 ; + ∞[
En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que la fonction f est dérivable en 0.
f (0 + h) − f(0) (2h² − h) h h(2h − 1) h
f (0 + h) − f(0)
=
=
= (2h − 1) h et lim
=0
h−>0
h
h
h
h
Donc f est dérivable en 0 et f’(0) = 0.
La fonction f est donc dérivable sur D.
3) Déterminer f’(x) pour tout x appartenant à D.
La fonction f est le produit d’une fonction polynôme dérivable sur R et de la fonction racine carrée dérivable sur ]0 ; +∝[ ;
1
x(10x − 3)
donc f est dérivable sur ]0 ; +∝[ ; donc pour tout x de ]0 ; +∝[ : f' (x) = (4x − 1) x + (2x ² − x)
=
2 x
2 x
4) Etudier les variations de f sur D. Etablir le tableau de variations de f.
La dérivée f’(x) a le même signe que (10x-3)
x
10
+∞
0
3
|
0
+
f' (x)
f(x)
0
−3 3
25 10
5)
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les axes de coordonnées.
La courbe coupe l’axe des ordonnées au point O.
1 
La courbe coupe l’axe des abscisses au point O et au point A de coordonnées  ; 0 
2 
6) Donner des équations des tangentes à C en ces points.
D’après la question 2) la courbe admet au point O une tangente horizontale (l’axe des abscisses donc)
2
2
pour tangente.
x−
2
4
Construire la courbe représentative de f dans un repère (unité graphique 2 cm)
En A, la courbe admet la droite y =
7)
4
Soit f la fonction racine carrée définie sur ] 0 ; +∝[ par f(x) =
x+
1)
Etudier les variations de f.
2)
Démontrer que pour tout x strictement positif, on a :
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1
x
x +
1
x
≥2
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1S
DERIVATION FONCTION RACINE CARREE
5
C
Soit f la fonction racine carrée définie sur [0 ; +∝[ par f(x) =
x
x +1
1)
Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∝[ et que pour tout x > 0 : f ' (x) =
2)
Etudier les variations de f sur [0 ; +∝[.
x
0
f’(x)
|
f(x)
2 x (x + 1)²
+∞
1
0
1/2
+
1−x
-
0
3)
En déduire que pour tout réel positif x on a : 0 ≤ x ≤
0 ≤ f (x) ≤
4)
5)
6
C
x +1
2
1
x
1
x +1
⇔0≤
≤ ⇔0≤ x ≤
2
x +1 2
2
Montrer que pour tout réel x > 0, on a : f (x) ≤
1
x
: x +1≥ x ⇒
En déduire un intervalle sur lequel on a f(x) ≤ 10 . f (x) ≤ 10 −2
-2
1
1
x
1
≤ ⇒ f (x) ≤
⇒ f (x) ≤
x +1 x
x
x
1
−2
; il suffit que
≤ 10 Soit : x ≥ 10000
x
On considère la fonction f définie que [0 ; +∝[ par f (x) = (7x ² + 2x − 9) x
1)
Etudier les variations de f.
La fonction f est le produit d’une fonction polynôme dérivable sur R et de la fonction racine carrée dérivable sur
35x ² + 6x − 9
+∝[ ; donc f est dérivable sur ]0 ; +∝[ ; donc pour tout x de ]0 ; +∝[ : f' (x) =
2 x
x
3
0
+∞
7
|
0
+
f' (x)
f(x)
0
− 48 3
2)
7
C
7 7
En déduire un encadrement de f pour x appartenant à [0 ; 1].

3
48 7
si 0 ≤ x ≤ , −
≤ f(x) ≤ 0 
7
48 7
7 7

≤ f(x) ≤ 0
 donc 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ −
7 7
3
48 7

si ≤ x ≤ 1 , −
≤ f(x) ≤ −1
7
7 7

Soit f la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f(x) =
f' (x) =
4 x
. Démontrer que pour tout x de l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ , 0 ≤ f (x) ≤ 2 ;
1+x
2(1 − x)
x (x + 1)²
x
f’(x)
f(x)
0
+
1
0
2
+∞
-
0
0 ≤x ≤1
⇔ f(0) ≤ f(x) ≤ f(1)
x ≥1
⇔ f(x) ≤ f(1)
De plus pour tout x de [ 0 ; + ∞ [ , f(x) ≥ 0
⇔ 0 ≤ f(x) ≤ 2
⇔ f(x) ≤ 2
Donc pour tout x de l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ 0 ≤ f(x) ≤ 2
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]0 ;