1s derivation fonction racine carree

1S DERIVATION FONCTION RACINE CARREE
FRLT Page 1 03/04/2017
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1 Soit f la fonction racine carrée définie sur [0 ; +∝[ par f(x) =
x
1) Montrer que pour tout a > 0 et pour tout h non nul tel que a + h > 0, on a hha
1
h
aha
++
=
−+
2) Démontrer qu’en tout nombre réel a > 0, le nombre dérivé de f en a est égal à a2
1
.
3) En déduire la fonction dérivée de la fonction racine carrée sur ]0 ; +∝[.
4) Montrer que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en x = 0.
2
On considère la fonction f définie par x)3x()x(f −=
1) Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction f.
2) Déterminer l’ensemble de dérivabilité D’ de la fonction f.
3) Etudier les variations de f sur D. Etablir le tableau de variations de f.
4) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les axes de coordonnées.
5) Donner des équations des tangentes à C en ces points.
6) Construire la courbe représentative de f dans un repère (unité graphique 2 cm)
3
C On considère la fonction f définie par x)x²x2()x(f −=
1) Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction f.
2) En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que la fonction f est dérivable en 0.
3) Déterminer f’(x) pour tout x appartenant à D.
4) Etudier les variations de f sur D. Etablir le tableau de variations de f.
5) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les axes de coordonnées.
6) Donner des équations des tangentes à C en ces points.
7) Construire la courbe représentative de f dans un repère (unité graphique 2 cm)
4 Soit f la fonction racine carrée définie sur ] 0 ; +∝[ par f(x) = x
1
x +
1) Etudier les variations de f.
2) Démontrer que pour tout x strictement positif, on a : 2
x
1
x ≥+
5
C Soit f la fonction racine carrée définie sur [0 ; +
∝ [ par f(x) = 1x
x
+
1) Montrer que f est dérivable sur ]0 ; + ∝ [ et que pour tout x > 0 : )²1x(x2
x1
)x('f
+
−
=
2) Etudier les variations de f sur [0 ; + ∝ [.
3) En déduire que pour tout réel positif x on a :
2
1x
x0 + ≤≤
4) Montrer que pour tout réel x > 0, on a : x
1
)x(f ≤
5) En déduire un intervalle sur lequel on a f(x) ≤ 10
-2
.
6
C
On considère la fonction f définie que [0 ; +∝[ par x)9x2²x7()x(f −+=
1) Etudier les variations de f
2) En déduire un encadrement de f pour x appartenant à [0 ; 1].
7
C
Soit f la fonction définie sur [;0[ ∞+ par x1
x4
)x(f + =
Démontrer que pour tout x de l’intervalle [;0[ ∞+ , 2)x(f0 ≤≤

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CORRIGE :
3
C On considère la fonction f définie par x)x²x2()x(f −=
1) Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction f.
[;0[D ∞+=
2) En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que la fonction f est dérivable en 0.
0
h
)0(f)h0(f
limeth)1h2(
h
h)1h2(h
h
h)h²h2(
h
)0(f)h0(f
0h
=
−+
−=
−
=
−
=
−+
>−
Donc f est dérivable en 0 et f’(0) = 0.
La fonction f est donc dérivable sur D.
3) Déterminer f’(x) pour tout x appartenant à D.
La fonction f est le produit d’une fonction polynôme dérivable sur R et de la fonction racine carrée dérivable sur ]0 ; + ∝ [ ;
donc f est dérivable sur ]0 ; + ∝ [ ; donc pour tout x de ]0 ; + ∝ [ :
x2
)3x10(x
x2
1
)x²x2(x)1x4()x('f − =−+−=
4) Etudier les variations de f sur D. Etablir le tableau de variations de f.
La dérivée f’(x) a le même signe que (10x-3)
x
0 3
10 +
∞
)x('f | - 0 +
)x(f 0
1025
33−
5) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les axes de coordonnées.
La courbe coupe l’axe des ordonnées au point O.
La courbe coupe l’axe des abscisses au point O et au point A de coordonnées 0;
2
1
6) Donner des équations des tangentes à C en ces points.
D’après la question 2) la courbe admet au point O une tangente horizontale (l’axe des abscisses donc)
En A, la courbe admet la droite 4
2
x
2
2
y −= pour tangente.
7) Construire la courbe représentative de f dans un repère (unité graphique 2 cm)
4
Soit f la fonction racine carrée définie sur ] 0 ; + ∝ [ par f(x) =
x
1
x+
1) Etudier les variations de f.
2) Démontrer que pour tout x strictement positif, on a :
2
x
1
x≥+

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5
C Soit f la fonction racine carrée définie sur [0 ; +∝[ par f(x) =
1x
x
+
1) Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∝[ et que pour tout x > 0 :
)²1x(x2
x1
)x('f +
−
=
2) Etudier les variations de f sur [0 ; +∝[.
x 0 1 + ∞
f’(x) | + 0 -
f(x) 1/2
0
3) En déduire que pour tout réel positif x on a :
2
1x
x0 + ≤≤
2
1x
x0
2
1
1x
x
0
2
1
)x(f0 + ≤≤⇔≤
+
≤⇔≤≤
4) Montrer que pour tout réel x > 0, on a :
x
1
)x(f ≤ :
x
1
)x(f
x
x
)x(f
x
1
1x
1
x1x ≤⇒≤⇒≤
+
⇒≥+
5) En déduire un intervalle sur lequel on a f(x) ≤ 10
-2
. 10000x:Soit10
x
1
quesuffitil;10)x(f
22
≥≤≤
−−
6
C
On considère la fonction f définie que [0 ; +∝[ par x)9x2²x7()x(f −+=
1) Etudier les variations de f.
La fonction f est le produit d’une fonction polynôme dérivable sur R et de la fonction racine carrée dérivable sur ]0 ;
+∝[ ; donc f est dérivable sur ]0 ; +∝[ ; donc pour tout x de ]0 ; +∝[ :
x2
9x6²x35
)x('f −+ =
x
0
7
3 +
∞
)x('f | - 0 +
)x(f 0
77
348−
2) En déduire un encadrement de f pour x appartenant à [0 ; 1].
0)x(f
77
748
1x0donc
1)x(f
77
748
,1x
7
3
si
0)x(f
77
748
,
7
3
x0si
≤≤− ⇒ ≤≤
−≤≤−≤≤
≤≤−≤≤
7
C
Soit f la fonction définie sur
[;0[ ∞+ par x1
x4
)x(f + = . Démontrer que pour tout x de l’intervalle [;0[ ∞+ , 2)x(f0 ≤≤ ;
)²1x(x
)x1(2
)x('f
+
−
=
x 0 1 +
∞
f’(x) + 0 -
f(x) 2
0
2)x(f0
)1(f)x(f)0(f
1x0
≤≤⇔ ≤≤⇔
≤
≤
2)x(f
)1(f)x(f
1x
≤⇔ ≤⇔
≥
De plus pour tout x de [;0[ ∞+ , f(x) ≥ 0
Donc pour tout x de l’intervalle [;0[ ∞+ 2)x(f0 ≤≤