Exo type bac Suites Arithmético-Géométriques

MATHÉMATIQUES!Exo type bac Suites Arithmético-Géométriques
Conseil
Veillez à bien repérer cet enchainement de questions s'il apparait dans votre exercice et le traiter de la façon
suivante :
Exercice
Soit
Un
( )
n≥0
la suite définie par :
Un+1=
1
4
Un+6
U0=2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Soit
Vn
( )
la suite définie sur par :
Vn=Un−8
1ère question : Montrer que
Vn
( )
est une suite géométrique
Commentaire
Résolution
On part de
Vn+1
et on montre que cela est égal à un nombre multiplié par
Vn
, c'est à
dire
Vn+1=qVn
Vn+1=Un+1−8
Vn+1=1
4
Un+6−8
=
1
4
Un−2
Attention systématiquement on factorise par le terme devant
Un
, c'est à dire
1
4
Vn+1=1
4
Un−8
( )
Vn+1=1
4
Vn
Vn
est bien géométrique de raison
q=1
4
1 © Objectif : Réussites
Objectif : Réussites
s u i v i s c o l a i r e
On remplace
Un+1
par son
expression
Il apparait
forcément
Vn=Un−8

2ème question : Donner l'expression de
Vn
en fonction de n
Commentaire
Résolution
On utilise l'expression explicite d'une suite géométrique
Vn
( )
est géométrique de raison
q=1
4
et de premier terme
V0=U0−8=2−8=−6
donc
Vn=V0.qn
Vn=−6×
1
4
⎛
⎝⎞ ⎠
n
3ème question : Donner l'expression de
U
n
en fonction de n
Commentaire
Résolution
Conclusion
On utilise la relation qui existe entre
U
n
et
Vn
On a
Vn=Un−8
donc
Un=Vn+8
or
Vn=−6×
1
4
⎛
⎝⎞ ⎠
n
donc
Un=−6×
1
4
( )
n
+8
Le but de cet exercice est de trouver la forme explicite d'une suite arithmético-
géométrique
2 © Objectif : Réussites