Exo type bac Suites Arithmético-Géométriques

Objectif : Réussites
s u i v i
s c o l a i r e
MATHÉMATIQUES!Exo type bac Suites Arithmético-Géométriques
Conseil
Veillez à bien repérer cet enchainement de questions s'il apparait dans votre exercice et le traiter de la façon
suivante :
Exercice
Soit (U n )n≥0
⎧U = 1 U + 6
⎪ n+1
n
la suite définie par : ⎨
4
⎪⎩U 0 = 2
1ère question : Montrer que
Commentaire
(V )
n
la suite définie sur  par : Vn = U n − 8
(V ) est une suite géométrique
n
On part de Vn+1 et on montre que cela est égal à un nombre multiplié par Vn , c'est à
dire Vn+1
= qVn
Vn+1
= U n+1 − 8
Vn+1
= Un + 6 − 8
1
=
Résolution
Soit
4
1
4
Un − 2
On remplace
U n+1 par son
expression
Attention systématiquement on factorise par le terme devant U n , c'est à dire
1
(U
Vn+1
=
Vn+1
= Vn
4
1
n
−8
)
1
4
Il apparait
forcément
Vn = U n − 8
4
Vn est bien géométrique de raison
1
q=
1
4
© Objectif : Réussites
2ème question : Donner l'expression de Vn en fonction de n
Commentaire
On utilise l'expression explicite d'une suite géométrique
(V ) est géométrique de raison q =
n
Résolution
Vn
= V0 .q n
Vn
1
= −6 × ⎛ ⎞
⎝ 4⎠
donc
1
et de premier terme V0 = U 0 − 8 = 2 − 8 = −6
4
n
3ème question : Donner l'expression de U en fonction de n
n
Commentaire
On utilise la relation qui existe entre U et Vn
n
On a Vn = U n − 8
donc U n = Vn + 8
Résolution
or Vn
= −6 × ⎛ ⎞
⎝ 4⎠
1
donc U n = −6 ×
Conclusion
n
()
1
n
+8
4
Le but de cet exercice est de trouver la forme explicite d'une suite arithméticogéométrique
2
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