fiche 6 suites geometriques

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FICHE 6 : SUITES GEOMETRIQUES
I ) DEFINITION
a)Exemple
voici une suite de nombres à compléter
1 3 9 27 81 ... ... ...
On multiplie chaque terme par le même nombre 3 qui est la raison de la suite et on écrit :
U
0
= 1 U
1
= 3 x U
0
= 3 U
2
= 3 x U
1
= 9 etc…
b) Définition
Dire qu’une suite est géométrique signifie qu’il existe un réel q tel que, pour tout entier
naturel n :
Un+1 = q x Un
q est la raison de la suite.
Exemples :
1) Exemple de suite géométrique :
U
0
= 1 et q= 2.
U
0
= U
1
= U
2
=
2) Soit la suite (U
n
) définie par U
0
= 10 et U
n+1
= – 4U
n
.
Calculer les 6 premiers termes de (U
n
).
On peut utiliser la calculatrice :
II) Montrer qu’une suite est géométrique :
Pour démontrer qu’une suite est géométrique on démontre que pour tout entier
naturel n
U
n+1
= q x U
n
où q est la raison c’est – à – dire une constante indépendante de n

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RAPPEL IMPORTANT : ( a )n+1 = ( a )n x a
Exemple : U
n
= 3 ( 2 )
n
; U
n+1
= 3( 2 )
n+1
donc U
n+1
= 3( 2 )
n
x
2 = 2
x
U
n
( Un ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme U
0
= 3.
RAPPEL : a
0
= 1
III) Formule explicite d’une suite géométrique
1°) Le premier terme est U
0
Si (U
n
) est une suite géométrique de raison q, de premier terme U
0
alors, pour
tout entier naturel n , on a
U
n
= U
0
x
(q)
n
Exemple : Voir application 1 p 35 a)
2°) Le premier terme est U
1
Si (U
n
) est une suite géométrique de raison q, de premier terme U
1
alors ,
pour tout entier naturel n , on a
U
n
= U
1
x
(q)
n - 1
Exemple : Voir application 1 p 35 b)
IV) Sommes de termes consécutifs de la suite (U
n
)
S
0
= U
0
+ …+ U
n
: sommes de n + 1 termes consécutifs
Exemple : U
n
= ( 3)
n
alors la somme S
0
= U
0
+ …+ U
5
= U
0
+ U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+ U
5
il y a 6 termes !
S
1
= U
1
+ …+ U
n
: sommes de n termes consécutifs
Exemple : U
n
= ( 3)
n
alors la somme S
1
= U
1
+ …+ U
5
= U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+ U
5
il y a 5 termes !
Pour calculer la somme de termes consécutifs on utilise une calculatrice ou un tableur.