Devoir maison 3bis -- facultatif

Lyc´ ee Franc¸ois 1er
Maths Sp´ e PC
2016-2017
Devoir maison 3bis – facultatif
rendu le vendredi 4 novembre
Pour voir le corrig´ e :
http://spepcfr1.pagesperso-orange.fr/spepc/documents/dm3biscor.pdf
Probl` eme
Mines PC 2014
Somme de projecteurs
Notations
On note Nl’ensemble des entiers naturels, Rl’ensemble des r´ eels et Mnl’ensemble des matrices n×n
`
a coefficients r´ eels.
Dans tout le probl` eme, Xest un espace vectoriel de dimension n>2sur le corps des r´ eels et T
un endomorphisme non nul de X.
Soit Bune base de X, on note TBla matrice repr´ esentant Tdans cette base.
On note N(T)le noyau de Tet R(T)l’image de T.
On dit que Test une homoth´ etie si c’est un multiple scalaire de l’identit´ e.
On appelle projecteur un endomorphisme Pde Xidempotent, c’est-` a-dire tel que P2=P.
On note Il’endomorphisme identit´ e de X,Inla matrice identit´ e de Mnet Ola matrice nulle.
1 Traces et projecteurs
Si A∈ Mn, on appelle trace de A, le nombre r´ eel suivant :
tr A=
n
X
i=1
aii
1)Soient Aet B∈ Mn, montrer que tr AB =tr BA.
2)Montrer que la trace de la matrice TBassoci´ ee ` aTest ind´ ependante de la base B.
On appelle trace de T, not´ ee tr T, la valeur commune des traces des matrices repr´ esentant T. On dit
que la trace est un invariant de similitude.
Soit Pun projecteur de X.
3)D´ emontrer que X=R(P)⊕N(P).
4)En d´ eduire que rg P=tr P.
On pose P0=I−P.
5)Montrer que R(P0) = N(P)et que R(P) = N(P0).
6)D´ emontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels Fet Gde Xest inf´ erieure
ou ´ egale ` a la somme de leurs dimensions.
7)Montrer que si l’endomorphisme Sest une somme finie de projecteurs Pi,i=1, . . . , m, alors
tr S∈Net tr S>rg S.
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2 Projecteurs de rang 1
On suppose dans cette partie que le rang du projecteur Pest ´ egal ` a 1
8)D´ emontrer qu’il existe µ∈Rtel que PTP =µP.
Soit C={f1,f2, . . . , fn}une base de Xadapt´ ee ` a la d´ ecomposition
X=R(P)⊕N(P)
9)Montrer que dans la base C, la matrice repr´ esentant Ts’´ ecrit par blocs
TC=
µ× ×
×
×B
(1)
o` uµest le nombre r´ eel dont l’existence d´ ecoule de la question pr´ ec´ edente et B∈ Mn−1.
10)Montrer que si P0TP0n’est pas proportionnel ` aP0, alors la matrice Bd´ efinie en (1)n’est pas la
matrice d’une homoth´ etie. On rappelle que P0=I−P.
3 Endomorphismes diff´ erents d’une homoth´ etie
On suppose dans cette partie que l’endomorphisme Tn’est pas une homoth´ etie.
11)D´ emontrer qu’il existe un vecteur x∈Xtel que xet Tx ne soient pas li´ es (c’est-` a-dire non
colin´ eaires).
12)Montrer qu’il existe une base B= (e1, . . . , en)dans laquelle la matrice TBest de la forme
TB=
0× × · · · ×
1
0
.
.
.
0
A
o` uA∈ Mn−1
13)En d´ eduire que si tr T=0, il existe une base B0dans laquelle la diagonale de TB0est nulle.
Soit ti,i=1, . . . , nune suite de nnombres r´ eels v´ erifiant tr T=
n
X
i=1
ti.
14)En dimension n=2, d´ emontrer qu’il existe une base B00 dans laquelle TB00 ait pour ´ el´ ements
diagonaux les ti,i=1, 2.
Soit t∈R. On admettra qu’en dimension n>3, il existe un projecteur Lde Xde rang 1 tel que d’une
part LTL =t L et d’autre part, L0TL0ne soit pas proportionnel ` aL0=I−L.
15)En dimension n>3, ` a l’aide des questions 9 et 10, d´ emontrer qu’il existe une base Cdans laquelle
la matrice repr´ esentant Ts’´ ecrit
TC=
t1× ×
×
×B
o`
uBn’est pas une homoth´ etie.
16)En dimension n>3, d´ emontrer par r´ ecurrence qu’il existe une base B00 dans laquelle TB00 ait
pour ´ el´ ements diagonaux les ti,i=1, . . . , n.
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4 D´ ecomposition en somme de projecteurs
On suppose d´ esormais que Test un endomorphisme de Xv´ erifiant tr T∈Net tr T>rg T. On pose
ρ=rg Tet θ=tr T.
17)Montrer qu’il existe une base Bdans laquelle TBest de la forme suivante
T1O
T2O
o` uT1est une matrice de taille ρ×ρ.
Supposons d’abord que T1ne soit pas la matrice d’une homoth´ etie
18)` A l’aide de la question 16, montrer qu’il existe une base B0dans laquelle
TB0=
t1×. . .
×......
.
.
....tρ
O
.
.
....
.
.
.
×. . . . . .
O
o` u les ti,i=1, . . . , ρsont des entiers non nuls.
5/219)En d´
eduire que Test la somme d’un nombre fini de projecteurs.
On suppose maintenant que T1est la matrice d’une homoth´ etie.
5/220)D´
emontrer que l` a encore, Test la somme d’un nombre fini de projecteurs.
– FIN DE L’EPREUVE –
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