di - tableau de variation

DI - TABLEAU DE VARIATION
Le but de ce texte est de montrer que si fest une fonction numérique définie sur R, tendant vers
l’infini à l’infini, qui n’est constante sur aucun intervalle de longueur non nulle, et qui ne change de
sens de variation qu’un nombre fini de fois, il existe un polynôme Payant même tableau de variation
que celui de fsur R.
Les données sont donc les suivantes :
– on a p+ 1 points (x0, y0),. . . (xp, yp)tels que x0<···< xpet, si 0≤i≤p,
yi=f(xi).
Les nombres x0,...,xpconstituent les bornes des intervalles Ji= [ xi−1, xi]où iest compris entre
1 et p. On note également J0= ] −∞, x0]et Jp+1 = [ xp,+∞[.
– la fonction fest strictement monotone sur chaque intervalle Ji.
– si fest dérivable, l’ensemble des zéros de fdans Rest inclus dans {x0,...,xp}.
–lim
x→+∞f(x) = ε∞et lim x→−∞ f(x) = ε′∞où |ε|=|ε′|= 1.
Pour icompris entre 0 et p, on pose
ηi=
0si le sens de variation de fest le même sur les intervalles Jiet Ji+1
et xin’est pas un zéro de f′
1 si le sens de variation de fsur Jiest l’inverse de celui sur Ji+1
2si le sens de variation de fest le même sur les intervalles Jiet Ji+1
et xiest un zéro de f′
Soit alors
S(x) = ε
p
Y
i=0
(x−xi)ηi.
Quel que soit icompris entre 1 et p, quel que soit xdans Ji, les nombres S(x)et yi−yi−1ont le même
signe. De plus S(x)est du signe de εsur Jp+1.
On cherche donc un polynôme Pvérifiant les propriétés suivantes :
(i)P′a le même signe que S,
(ii)pour 0≤i≤p, on a P(xi) = yi.
Pour trouver P, il suffit de trouver un polynôme Q, tel que
(a)Q=SR, où Rest un polynôme strictement positif sur R,
(b)pour 0≤i≤p, on a
xi
Z
xi−1
Q(t)dt =yi−yi−1.

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En effet, le polynôme Pdéfini par
P(x) =
x
Z
x0
Q(t)dt +y0,
vérifie
P′=Q=SR ,
donc on a bien (i). Par ailleurs
P(xi) =
xi
Z
x0
Q(t)dt +y0=
i
X
s=1
xs
Z
xs−1
Q(t)dt +y0=
i
X
s=1
(ys−ys−1) + y0=yi.
et on a bien (ii).
On va chercher le polynôme Rsous la forme d’une combinaison linéaire à coefficients strictement
positifs de polynômes strictement positifs sur R,
R=
p
X
j=1
ujRj.
Si l’on a une telle décomposition, alors, puisque sur Jiles polynômes Set Qont le même signe qui est
celui de yi−yi−1, on doit avoir, si 1≤i≤p,
|yi−yi−1|=
xi
Z
xi−1
|Q(t)|dt
=
xi
Z
xi−1
|S(t)|
p
X
j=1
ujRj(t)dt
=
p
X
j=1
xi
Z
xi−1
|S(t)|Rj(t)dt
uj.
Si l’on introduit les matrices
A=
xi
Z
xi−1
|S(t)|Rj(t)dt
1≤i,j≤p
, V =
|y1−y0|
.
.
.
|yp−yp−1|
et U=
u1
.
.
.
up
,
on a alors la relation matricielle
AU =V .
Comme on cherche à déterminer U, connaissant V, on a besoin que Asoit inversible. On veut également
que les coefficients de Usoient strictement positifs. Ceci sera vérifié si la matrice Aest « proche » de

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la matrice unité I, c’est-à-dire si les nombres
xi
Z
xi−1
|S(t)|Rj(t)dt sont proches de δij .
De manière plus précise, si l’on peut trouver pour tout june suite de polynômes (Rjn)ntelle que
lim
n→+∞
xi
Z
xi−1
|S(t)|Rjn(t)dt =δij ,
et si l’on pose
An=
xi
Z
xi−1
|S(t)|Rjn(t)dt
1≤i,j≤p
,
alors la suite de matrices (An)converge vers I, donc la suite (det An)converge vers det I= 1, ce qui
signifie que det Ann’est pas nul à partir d’un certain rang, donc que Anest inversible à partir d’un
certain rang. Alors, si l’on pose
Un=A−1
nV ,
la suite de vecteurs (Un)converge vers V, donc ses coefficients ujn sont strictement positifs à partir
d’un certain rang. Si l’on fixe un nombre nvérifiant ces conditions alors le polynôme
R=
p
X
j=1
ujnRjn
convient.
Il nous reste à montrer l’existence des suites de polynômes (Rjn)n. Cela provient du lemme suivant.
Lemme Soit Fune fonction continue positive sur un segment I, et Jun intervalle inclus dans I
sur lequel Fne s’annule pas. Il existe une suite de polynômes (Pn)strictement positifs sur R, telle
que
lim
n→+∞Z
J
Pn(t)F(t)dt = 1 ,
et pour tout segment Kinclus dans I\J,
lim
n→+∞Z
K
Pn(t)F(t)dt = 0 .
Quitte à faire un changement de variable affine, on peut toujours supposer que J= ] −1,1 [ . La fonction
Fne s’annule pas sur J. Soit ϕnla fonction chapeau qui vaut 0 à l’extérieur de [−1/n, 1/n ], qui vaut
nen 0 et qui est affine sur [−1/n, 0 ] et [ 0,1/n ]. On a donc
1
Z
−1
ϕn(t)dt = 1 .

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Si n≥2, on définit une fonction gnsur Ipar
gn(x) = ϕn(x)/F (x)si |x|<1
0si |x| ≥ 1.
Comme gnest nulle en fait si |x| ≥ 1/n, la fonction est continue sur I(même si F(1) ou F(−1) = 0).
On a donc
1
Z
−1
gn(t)F(t)dt =
1
Z
−1
ϕn(t)dt = 1
et si [γ, δ ]est un segment inclus dans I\J,
δ
Z
γ
gn(t)F(t)dt =
δ
Z
γ
ϕn(t)dt = 0 .
Alors la fonction √gnest continue positive sur R, et si l’on pose λ= inf
|x|≤1/2F(x), ce nombre est
strictement positif, et on obtient, si n≥2et si −1/2≤x≤1/2,
0≤gn(x)≤sup ϕn(x)
inf F(x)≤n λ,
inégalités qui restent vraies dans [−1,1 ] puisque gnest nulle en dehors de [−1/2,1/2 ] .
Appliquons le théorème de Weierstrass. Pour tout entier n≥2, il existe un polynôme Qntel que
sup
x∈I|pgn(x)−Qn(x)| ≤ 1
n.
On a alors, si xest dans [−1,1 ] ,
|Q2
n(x)−gn(x)|=|Qn(x)−pgn(x)||Qn(x) + pgn(x)|
≤ |Qn(x)−pgn(x)|(|Qn(x)−pgn(x)|+ 2pgn(x))
≤1
n1 n+2√n
√λ
≤1
n2+2
√λ
1
√n.
Notons unle membre de droite. La suite (un)converge vers 0.
Posons maintenant Pn=Q2
n+ 1/n. C’est un polynôme strictement positif sur R.

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1
Z
−1
Pn(t)F(t)dt −1 = 1
n
1
Z
−1
F(t)dt +
1
Z
−1
Q2
n(t)F(t)dt −
1
Z
−1
gn(t)F(t)dt
=1
n
1
Z
−1
F(t)dt +
1
Z
−1
(Q2
n(t)−gn(t))F(t)dt .
donc
1
Z
−1
Pn(t)F(t)dt −1
≤un+1
n
1
Z
−1
|F(t)|dt .
Comme le membre de droite converge vers 0, il en résulte que
lim
n→+∞
1
Z
−1
Pn(t)F(t)dt = 1 .
En dehors de l’intervalle ]−1,1 [ , la fonction gnest nulle, donc
|Qn(x)| ≤ 1
n.
Alors
δ
Z
γ
Pn(t)F(t)dt =1
n
δ
Z
γ
F(t)dt +
δ
Z
γ
Q2
n(t)F(t)dt ,
donc
δ
Z
γ
Pn(t)F(t)dt
≤1
n+1 n2δ
Z
γ|F(t)|dt .
Il en résulte que
lim
n→+∞
δ
Z
γ
Pn(t)F(t)dt = 0 .
Ceci achève la démonstration du lemme.
Il suffit d’appliquer le lemme à chacun des intervalles Jipour obtenir les suites de polynômes désirées.