Dérivation du Signal Image : Cours sur le Gradient et le Laplacien

DERIVATION DU SIGNAL IMAGE 1
L’analyse des images a souvent pour base l'étude des variations locales du niveau de gris.
La dérivation de la fonction image est l'outil le plus utilisé pour mettre en évidence ces variations
locales. Elle s’appuie sur la définition classique de la dérivée d'une fonction monodimensionnelle :
Soit
fu
une fonction de la variable u ,
fu
est dérivable par rapport à u en u0 si pour tout
accroissement h, il existe un nombre A tel que :
fu0h = fu0  A h h ε havec lim
h0
εh = 0
la dérivée de f par rapport à u est :
A=df
du∣u0
=lim
h0
fu0h − fu0
h
L'étude porte donc sur l'extension de la définition de base au cas bidimensionnel.
Dérivée première
La fonction image
fx , y 
étant définie dans un espace bidimensionnel, nous pouvons définir
des dérivées partielles par rapport aux variables de définition de f :
∂fx , y
∂x=lim
hx0
fxhx, y  − fx , y 
hx
∂fx , y 
∂y=lim
hy 0
fx , y hy − fx , y 
hy
Pour un accroissement h quelconque , caractérisé par des projections
hx
et
hy
, nous pouvons
écrire grâce au développement de Taylor :
fx0hx, y0hy = fx0, y0  hx
∂f
∂x∣x0 , y0 hy
∂f
∂y∣x0 , y0 Ohx
2, h y 2
X
Y
x
h
O
y
h
α
0
y
0
x
Fig1 - Composantes du vecteur gradient
Considérons maintenant un accroissement h dans la direction
α
, caractérisé par des
projections
hcosα ; h sin α
, nous aurons :
fx0hcosα , y0hsin α = fx0, y0  hcos α∂fx , y 
∂x∣x0 , y0 hsin α∂fx , y ∂y∣x0 , y0 O2h
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La dérivée directionnelle de f dans la direction
α
sera donnée par :
df
dα ∣x0 , y0 =cos α∂f ∂x∣x0 , y0 sin α∂f ∂y∣x0 , y0
La dérivée directionnelle s'exprime donc à partir des dérivées calculées dans les directions
principales du maillage. Cette propriété montre l'importance des dérivées principales dans le traitement
d'images.
Vecteur Gradient
Nous définissons le Vecteur Gradient
∇f
de la fonction f(x,y) par :
∇f
{
∂fx , y 
∂x
∂fx,y
∂y
Le vecteur Gradient permet de traduire les variations de
fx , y 
pour un accroissement
),(
yx
hhh
, en utilisant le produit scalaire:
fx0hx, y0hy = fx0, y0   h. ∇fOhx
2, hy 2
Le Gradient
∇f
est caractérisé par son module et sa direction. Les expressions usuelles
de ces grandeurs en norme euclidienne sont:
∣ ∇f∣ =
[
∂f
∂x
2
∂f
∂y
2
]
1/2
et
θ=Arg  ∇f = tan−1
∂f
∂y/∂f ∂x
L'évaluation de ces expressions exige des calculs longs en type réel, avec choix de la
détermination pour la fonction tan-1 ; elles sont souvent remplacées par un calcul simplifié, justifié
mathématiquement par l'usage d'une norme différente:
∣ ∇f∣ = ∣∂f
∂x∣  ∣∂f ∂x∣
en norme
L1
∣ ∇f∣ = max
[
∣∂f
∂x∣,∣∂f ∂x∣
]
en norme
L∞
La détermination de la direction est souvent réduite aux directions principales du maillage (0°,
45°, 90° ... pour la maille carrée); elle fait appel à des règles sur le signe des composantes et une
comparaison entre leurs valeurs respectives.
Propriété fondamentale du vecteur Gradient
Le module du vecteur Gradient représente la pente de la surface image au point de calcul. La
présence locale d'un module élevé traduit une forte variation du niveau de gris autour de ce point.
La direction du vecteur gradient donne la direction de cette pente dans le sens croissant En
effet, exprimons la dérivée directionnelle à partir du vecteur gradient:
df
dα =cos α∂f ∂xsin α∂f ∂y
= α. ∇favec  α vecteur unitaire dans la direction α
La dérivée directionnelle est donc maximale lorsque
α
et
∇f
sont colinéaires . Le vecteur
gradient est donc dans la direction de plus forte pente de la surface image.
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Cette propriété est mise à profit par la méthode du compas pour déterminer la direction du
vecteur gradient: elle consiste à calculer la valeur de la dérivée directionnelle pour un certain nombre
de directions principales discrètes; la direction de
∇f
est donnée par la direction donnant le
maximum d'amplitude à la dérivée directionnelle. La procédure est donc la suivante:
• calcul des dérivées
∂f
∂x
et
∂f
∂y
selon les directions du repère de l'image
• pour i = 1 à n calculer
df
dαi
=cosαi
∂f
∂xsin αi
∂f
∂y
• rechercher le maximum de
df
dαi
• la direction est
αimax
Pour accélérer les calculs, les cosinus directeurs des directions d'analyse
αi
sont tabulés.
Relation entre contour et Gradient
Lorsqu'il y a un contour, c'est à dire une forte variation locale du niveau de gris, le vecteur
gradient est perpendiculaire au contour. Etant donné que la dérivée directionnelle est nulle dans la
direction perpendiculaire au contour, la variation de niveau de gris est nulle le long du contour.
La figure ci-dessous illustre le cas d'un contour circulaire séparant une zone grise d'une zone
blanche.
Y
X
0 >
∂
∂
x
f
0 <
∂
∂
y
f
A
B
0 <
∂
∂
x
f
0 ≈
∂
∂
y
f
Fig2 - Gradient d'un contour
Dérivée seconde directionnelle
L'approche utilisée pour établir la dérivée directionnelle première est applicable à la définition
d'une dérivée seconde directionnelle.
Posons
fα
'=df
dα
; la définition de la dérivée directionnelle de
f
'
est :
fα
'' x , y  = lim
h0
fα
'xhcos α , y hsin α − fα 'x , y 
h
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Appliquons la formule de Taylor pour calculer
fα
'xhcosα , y hsin α
:
fα
'x0hcos α , y0hsin α = fα 'x0, y0
hcosα∂fα
'x , y 
∂x∣x0 , y0 hsin α∂fα
'x , y
∂y∣x0 , y0
O2h
En remplaçant
fα
'
par son expression, nous obtenons:
d2f
dα2=∂2f ∂x2cos2α2∂2f
∂x∂ycos αsin α∂2f
∂y2sin2α
Nous remarquons que la dérivée seconde directionnelle s'exprime à partir des dérivées secondes
partielles exprimées dans le repère de l'image. La dérivée seconde exprime la concavité de la surface
image observée dans la direction
α
. Contrairement au gradient, la dérivée seconde n'est pas une
grandeur vectorielle; sa manipulation est donc lourde.
Pour simplifier l'évaluation de la concavité locale de la surface image, il est souvent fait appel à
une grandeur scalaire . Le Laplacien de f est défini par :*
Δf =∂2f
∂x2∂2f ∂y2
Le Laplacien est une grandeur signée, traduisant de façon sommaire la concavité. Pour les cas
où
∂2f
∂x2
et
∂2f
∂y2
sont de même signe, le Laplacien traduit effectivement la concavité. Dans le cas où
le Laplacien est nul, deux cas peuvent se présenter:
•
∂2f
∂x2
et
∂2f
∂y2
sont effectivement nuls tous les deux, la surface image ne présente pas de
concavité en ce point (surface plane)
•
∂2f
∂x2
et
∂2f
∂y2
sont de valeur opposée. Il s'agit d'un point de selle .
Hormis ce dernier cas, le Laplacien représente efficacement la forme locale de la surface
image.
- 1
-0 . 5
0
0 . 5
1
- 1
0
1
0
0 . 0 5
0 . 1
0 . 1 5
0 . 2
0 . 2 5
- 1
- 0 . 5
0
0 .5
1
- 1
- 0 . 5
0
0 .5
1
0
0 . 0 5
0 .1
0 . 1 5
0 .2
0 . 2 5
0 .3
0 . 3 5
0 .4
0 . 4 5
0 .5
- 1
- 0 .5
0
0 .5
1
- 1
0
1
- 0 . 2 5
- 0 . 2
- 0 . 1 5
- 0 . 1
- 0 . 0 5
0
- 1
- 0 . 5
0
0 .5
1
- 1
0
1
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
Fig3 - Formes de surface: (a) plane (b) concavité positive (c) concavité négative (d) point de selle
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