1 Primitives usuelles 2 Primitives de frations rationnelles 3 Fractions

Méthodes de calcul de primitives 1/2
1 Primitives usuelles
voir le tableau des primitives usuelles à connaître bien évidemment par coeur.
2 Primitives de frations rationnelles
On cherche une décomposition en éléments simples si possible dans R[X]en
n’oubliant pas la partie entière et on intégre chacun des éléments simples.
2.1 Partie entière
La primitive est une fonction polynomiale facile à trouver.
2.2 Eléments simples de première espèce
Ce sont les éléments de la forme 1
(x−a)ndont une primitive est connue, faite
toutefois attention au cas n= 1 et acomplexe non réel...
2.3 Eléments simples de deuxième espèce
Ce sont des éléments qui se présentent sous la forme ax +b
((x+p)2+q2)n
où le
dénominateur n’a pas de racines réelles ; ces termes apparaissent lorsqu’on dé-
compose une fraction rationnelle à coefficients réels ayant des racines complexes
non réelles en regroupant les termes deux à deux conjugués.
On fait apparaitre la dérivée de (x+p)2+q2au dénominateur en écrivant :
ax +b
((x+p)2+q2)n=a
2
2(x+p)
((x+p)2+q2)n−(ap −b)1 ((x+p)2+q2)n
.
La première expression est de la forme u0
unet on connait une primitive...
Pour la deuxième expression, on effectue un changement de variable t=x+p
q
ce qui nous ramène à chercher In=Z1
(t2+ 1)ndt.
Cette dernière primitive s’obtient en effectuant une intégration par parties.
In= [ t
(1 + t2)n]+2nZt2
(1 + t2)n+1 dt=t (1 + t2)n+ 2nZt2+ 1 −1 (1 + t2)n+1 dt
=t
(1 + t2)n+ 2n(In−In+1)
donc 2nIn+1 =t
(1 + t2)n+ (2n−1)In.
2.4 Exemples
.Z1
(t2+ 1)2dt=t 2(t2+ 1) +1
2arctan(t) + cte.
.x4
1 + x2=x2−1 + 1 1 + x2, donc Zx4
1 + x2
dx=1
3x3−x+ arctan x+cte
.Z1
x2+x+ 1
dx=2
3√3 arctan(√3 3(2x+ 1)) + cte
3 Fractions rationnelles en sin ou cos
3.1 Polynômes en cos ou sin
On se ramène au calcul de Zcospxsinqx dx et on effectue un changement de
variable.
pimpair qimpair pet qimpairs pet qpairs
u= sin x u = cos x u = cos 2xlinéarisation
3.2 Fractions rationnelles en cos ou sin
On peut toujours utiliser le changement de variables u= tan x
2et les formules
cos x=1−u2
1 + u2,sin x=2u 1 + u2,dx = 2 dt 1 + t2.
On peut aussi utiliser les formules de Bioche pour le calcul de Zf(x)dx.
fimpaire f(π−x) = −f(x)f(π+x) = f(x)fimpaire et f(π−x) = −f(x)
u= cos x u = sin x u = tan x u = cos 2x
3.3 Exemples
.Zcos3tsin3tdt=Z(1 −cos2t) cos3tsin tdt
=−1
6sin2(t) cos4(t)−1 12 cos4(t) + cte
.Ztan t
cos t(1 + cos t)dt=Zsin tdt
cos2t(1 + cos t)
=1
cos t+ ln(cos t)−ln(1 + cos t) + cte
— PSI — Paul Valéry — "calcul d’intégrales".tex

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4 Fraction rationnelle en ch et sh
On peut toujours utiliser le changement de varaible u=et.
On peut utiliser aussi les mêmes changements de variables que ceux suggérées
par les formules de Bioche en remplaçant sh par sin et ch par cos.
Exemples
.Zth t
1 + ch tdt=Zsh tdt ch t(1 + ch t)= ln( cht)−ln(1 + ch t) + cte
.Z1
1 + ch tdt=Z2et
1 + et+e2tdt=4√3
3arctan((2et+ 1)√3 3) + cte
5 Intégrales avec des racines
Rreprésente une fonction rationnelle.
5.1 Calcul de RR(x, (ax +b
cx +d)1/n)dx.
On pose t=n
qax +b
cx +d. On exprime alors xen fonction de tafin de déterminer
l’expression de dxen fonction de dt.
5.2 Exemples
.Z1−√x
1 + √xdx=−2 ln(x−1) + 4√x−4 argth(√x)−x+cte
.Z(x+ 1)√x−1dx=4
3(x−1)3/2+2 5(x−1)5/2+cte
.Zrx−1
x−2dx=px2−3x+ 2 + 1 2ln(x−3/2 + px2−3x+ 2) + cte pour
x∈]2,+∞[
5.3 Calcul de ZR(x, √ax2+bx +c)dx.
L’équation y=√ax2+bx +cest l’équation d’une demi-conique à centre. On
utilise alors un autre paramétrage de cette demi-conique.
1. La conique coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses αet βavec
α < β. On effectue alors un changement de variable en définissant tà l’aide
de la relation :√ax2+bx +c=t(x−α). On a alors t=ra(x−β)
x−α. On
exprime xen fonction de tafin de déterminer l’expression de dxen fonction
de dt.
2. La conique admet des asymptotes. On effectue alors un changement de va-
riable en définissant tà l’aide de la relation : √ax2+bx +c=√a x +t.
On élève au carré afin d’exprimer xen fonction de t, puis on exprime dxen
fonction de dt.
3. On utilise une paramétrisation de la demi-conique à l’aide des fonctions cos,
sin,sh ou ch et on se ramène ainsi aux paragraphes précédents.
5.4 Exemples
.Z1
1 + p1 + x2dx=1
x−1 x(1 + x2)3/2+xp1 + x2+ argsh x+cte
.Z(x−2)px(x+ 2) dx
=1
3(x2+2x)3/2−3 4(2x+2)√x2+ 2x+3 2ln(1+x+√x2+ 2x)+cte
si x > 0
.Z(x2+ 6x+ 5)3/2dx=1
8(2x+ 6)(x2+ 6x+ 5)3/2
−3
4(2x+ 6)px2+ 6x+ 5) + 6 ln(x+3+√x2+ 6x+ 5) + cte
— PSI — Paul Valéry —