1 Primitives usuelles 2 Primitives de frations rationnelles 3 Fractions

Méthodes de calcul de primitives
1
Primitives usuelles
2.4
t
1
1
dt =
+ arctan(t) + cte.
(t2 + 1)2
2(t2 + 1) 2
Z
4
x4
1
. x
= x2 − 1 + 1 , donc
dx = x3 − x + arctan x + cte
3
2
1 + x2
1 + x2
√1 + x
Z
√
1
2
3
.
dx =
3 arctan(
(2x + 1)) + cte
3
3
2
x +x+1
.
Primitives de frations rationnelles
On cherche une décomposition en éléments simples si possible dans R[X] en
n’oubliant pas la partie entière et on intégre chacun des éléments simples.
2.1
Fractions rationnelles en sin ou cos
3
Partie entière
Exemples
Z
voir le tableau des primitives usuelles à connaître bien évidemment par coeur.
2
Polynômes en cos ou sin
3.1
La primitive est une fonction polynomiale facile à trouver.
1/2
Z
2.2
On se ramène au calcul de
Eléments simples de première espèce
1
dont une primitive est connue, faite
(x − a)n
toutefois attention au cas n = 1 et a complexe non réel...
variable.
p impair
u = sin x
Ce sont les éléments de la forme
2.3
ax + b
où le
((x + p)2 + q 2 )n
dénominateur n’a pas de racines réelles ; ces termes apparaissent lorsqu’on décompose une fraction rationnelle à coefficients réels ayant des racines complexes
non réelles en regroupant les termes deux à deux conjugués.
On fait apparaitre la dérivée de (x + p)2 + q 2 au dénominateur en écrivant :
2(x + p)
ax + b
1
=a
− (ap − b)
.
2
2
2 n
((x + p) + q )
((x + p)2 + q 2 )n
((x + p)2 + q 2 )n
0
La première expression est de la forme u et on connait une primitive...
Ce sont des éléments qui se présentent sous la forme
n
u
x+p
Pour la deuxième expression, on effectue un changement de variable t = q
Z
1
ce qui nous ramène à chercher In =
dt.
2
(t + 1)n
Cette dernière primitive
en effectuant une intégration
Z s’obtient
Z 2 par parties.
t
t +1−1
t2
t
] + 2n
dt =
+ 2n
dt
In = [
2
n+1
2
n
(1 + t )
(1 + t )
(1 + t2 )n+1
(1 + t2 )n
t
=
+ 2n(I − I
)
n
q impair
u = cos x
p et q impairs
u = cos 2x
p et q pairs
linéarisation
Fractions rationnelles en cos ou sin
3.2
Eléments simples de deuxième espèce
cosp x sinq x dx et on effectue un changement de
On peut toujours utiliser le changement de variables u = tan x
2 et les formules
2
cos x = 1 − u2 , sin x = 2u 2 , dx = 2 dt 2 .
1+u
1+u
1+t
Z
On peut aussi utiliser les formules de Bioche pour le calcul de
f impaire
u = cos x
3.3
f (π + x) = f (x)
u = tan x
f impaire et f (π − x) = −f (x)
u = cos 2x
Exemples
Z
.
Z
.
f (π − x) = −f (x)
u = sin x
f (x) dx.
cos3 t sin3 t dt =
Z
(1 − cos2 t) cos3 t sin t dt
1 cos4 (t) + cte
= − 16 sin2 (t) cos4 (t) − 12
Z
tan t
sin t dt
dt =
2
cos t(1 + cos t)
cos t(1 + cos t)
1 + ln(cos t) − ln(1 + cos t) + cte
= cos
t
n+1
(1 + t2 )n
t
donc 2nIn+1 =
+ (2n − 1)In .
(1 + t2 )n
— PSI — Paul Valéry —
"calcul d’intégrales".tex
2/2
Fraction rationnelle en ch et sh
4
On peut toujours utiliser le changement de varaible u = et .
On peut utiliser aussi les mêmes changements de variables que ceux suggérées
par les formules de Bioche en remplaçant sh par sin et ch par cos.
Exemples
Z
sh t dt
th t
.
dt =
= ln( cht) − ln(1 + ch t) + cte
1 + ch t
ch t(1 + ch t)
√
√
Z
Z
1
2et
4 3
(2et + 1) 3
.
dt =
dt =
arctan(
) + cte
1 + ch t
3
3
1 + et + e2t
Z
exprime x en fonction de t afin de déterminer l’expression de dx en fonction
de dt.
2. La conique admet des asymptotes. On effectue
de va√ alors un changement
√
riable en définissant t à l’aide de la relation : ax2 + bx + c = a x + t.
On élève au carré afin d’exprimer x en fonction de t, puis on exprime dx en
fonction de dt.
3. On utilise une paramétrisation de la demi-conique à l’aide des fonctions cos,
sin, sh ou ch et on se ramène ainsi aux paragraphes précédents.
5.4
Exemples
Z
p
1
1
1
p
dx = − (1 + x2 )3/2 + x 1 + x2 + argsh x + cte
2
x x
Z 1 + 1p+ x
. (x − 2) x(x + 2) dx
√
√
= 13 (x2 + 2x)3/2 − 43 (2x + 2) x2 + 2x + 32 ln(1 + x + x2 + 2x) + cte
si
Z x>0
1
. (x2 + 6x + 5)3/2 dx = (2x + 6)(x2 + 6x + 5)3/2
8
p
√
− 34 (2x + 6) x2 + 6x + 5) + 6 ln(x + 3 + x2 + 6x + 5) + cte
.
5
Intégrales avec des racines
R représente une fonction rationnelle.
5.1
Calcul de
R
R(x, ( ax + b )1/n ) dx .
cx + d
q
On pose t = n ax + b . On exprime alors x en fonction de t afin de déterminer
cx + d
l’expression de dx en fonction de dt.
5.2
Exemples
√
√
√
1− x
√ dx = −2 ln(x − 1) + 4 x − 4 argth( x) − x + cte
.
Z 1+ x
√
4
2
.
(x + 1) x − 1 dx = (x − 1)3/2 + (x − 1)5/2 + cte
3
5
Z r
p
p
x−1
1
.
dx = x2 − 3x + 2 + ln(x − 3/2 + x2 − 3x + 2) + cte pour
x−2
2
x ∈]2, +∞[
Z
Z
5.3
Calcul de
R(x,
√
ax2 + bx + c) dx.
√
L’équation y = ax2 + bx + c est l’équation d’une demi-conique à centre. On
utilise alors un autre paramétrage de cette demi-conique.
1. La conique coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses α et β avec
α < β. On effectue alors un changement de variable en définissant
t à l’aide
r
√
a(x − β)
de la relation : ax2 + bx + c = t(x − α). On a alors t =
x − α . On
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