TD 5: Intégrales

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2011/2012
LM115 MIME
TD 5: Int´egrales
Rappel de cours :
Soit fune fonction continue sur un intervalle [a, b], soit φune fonction d´efinie sur [α, β] admet-
tant une d´eriv´ee continue φ(α) = aet φ(β) = b.
Changement de variable x=φ(t) :
Zb
a
f(x)dx =Zβ
α
f[φ(t)]φ0(t)dt.
La nouvelle int´egrale d´efinie portant sur la variable ts’obtient en rempla¸cant dans la premi`ere
les bornes aet bpar αet β, puis dans le symbole f(x)dx,f(x) par f[φ(t)] et dx par φ0(t)dt
Exercice 1 L’objectif est de calculer les int´egrales suivantes :
I=R1
0
dx
√x2+1 , J =R1
0
x2
√x2+2 dx, K =R1
0√x2+ 2dx
1) Soit fla fonction d´efinie sur [0,1] par f(x) = ln(x+√x2+ 1). Calculer sa d´eriv´ee, en d´eduire
I.
2) Calcul de Jet de K.
a) Montrer que J+ 2I=K.
b) A l’aide d’une int´egration par parties portant sur K, montrer que K=√3−J
c) En d´eduire les valeurs de Jet de K.
Exercice 2 1) D´emontrer que Pn
k=1 k2=n(n+1)(2n+1)
6(question trait´ee dans le cours).
2) Soit In=1
nPn
k=1
k2
n2, montrer que (In)n≥1converge et calculer sa limite. Que repr´esente
cette limite ?
3) Calculer `a l’aide d’un primitive de x2, l’int´egrale R1
0x2dx.
Exercice 3 Utiliser la d´efinition de l’int´egrale pour montrer que la suite (un)n≥1d´efinie par :
un=1
n(1 + cos a n+ cos 2a n+... + cos (n−1)a n), converge vers sin a a.
Exercice 4 1) Calculer R1/2
0
dx
√1−x2.
2) Calculer I=R1/2
0
xdx
√1−x2avec le changement de variable 1 −x2=t.
3) D´emontrer que I=1
2arcsin(1/2) −R1/2
0arcsin(x)dx. Retrouver le r´esultat pr´ec´edent en
faisant un changement de variable dans R1/2
0arcsin(x)dx.
4) Soit b≥a > 0, calculer J=Rb
a
xdx
√x2+1 en posant t=x2+ 1. Donner une primitive de
x→x
√x2+1 .
Exercice 5 1) D´eterminer une primitive de sin2`a l’aide de la formule trigonom´etrique (`a
connaˆıtre) :
sin2(t) = 1−cos(2t)
2.
1

2) Soit a > 0, on cherche `a calculer I=Ra
0√a2−x2dx.
En effectuant le changement de variable d´efini par x=acos(t) pour t∈[0, π/2], montrer que
I=a2Zπ/2
0
sin2(t)dt.
Justifier bien le changement de variable (attention aux bornes).
3) D´eterminer la valeur de I.
Exercice 6 Calculs :
1) Ry
0
(1−x)2
√xdx
2) Ry
0
x+3
x+1 dx
3) Ry
0
dx
√2x−x2(on posera x= 2 sin2u)
Exercice 7 Soit fune fonction d´efinie et continue sur [−r, r]. Montrer que :
1) Si cette fonction est paire, Rr
−rf(x)dx = 2 Rr 0f(x)dx.
2) Si cette fonction est impaire, Rr
−rf(x)dx = 0
3) Calculer les int´egrales :
R2π
0|cos x|dx ;R2 −1|cos x|dx ;R1 −1x|x|dx.
Exercice 8 Calculer :
–I=R2π
0(acos x+bsin x)dx ;
–J=R2π
0(acos2x+bsin xcos x+csin2x)dx ;
Exercice 9 On consid`ere la fonction fd´efinie par f(x) = Rx
0√cos 2tdt, avec −π
4≤x≤π 4.
a) En utilisant un changement de variable, montrer que fest une fonction impaire.
b) Montrer que si 0 ≤x≤π/4, f(x)≤x.
Exercice 10 Calculer les int´egrales suivantes :
1) a) R1
−1(x2−1)dx, b) R4 0
xdx
√1+3x2, c) R1
0
arctan x
1+x2dx, d) R1
0x2√1 + x3dx, e) Rπ/2 0xcos xdx, f)
R1
0arcsin xdx
2) D´emontrer que R1
0arcsin(x)dx =π
2−R1
0
x
√1−x2dx, d´eduire de f), la valeur de R1
0
x
√1−x2dx.
Exercice 11 1) Calculer In=R1
0xndx, quelle est la limite de nInquand ntend vers +∞?
2) Calculer Jn=R1
0xn(1 −xn)dx, quelle est la limite de nJnquand ntend vers +∞?
Exercice 12 pet q´etant des entiers positifs, calculer les int´egrales :
I=R2π
0cos(px) cos(qx)dx ;J=R2π 0cos(px) sin(qx)dx ;K=R2π 0sin(px) sin(qx)dx.
Exercice 13 Calculer l’int´egrale : Rπ/2
0x2sin(x)dx
2

Exercice 14 fest d´efinie et continue sur [a, b], et v´erifie :
f(a+b−x) = f(x),
pour tout x∈[a, b].
1) Que peut on dire du graphe de f?
2) A l’aide d’un changement de variable simple, montrer que
Zb
a
xf(x)dx =a+b
2Zb
a
f(x)dx.
3) Appliquer ce qui pr´ec`ede au calcul de I=Rπ
0
xsin(x)
1+cos2(x)dx, et en d´eduire que I=π2/4
Exercice 15 f´etant une fonction continue, montrer que x→Rx2+1
xf(t)dt est une fonction
d´erivable et calculer sa d´eriv´ee
Exercice 16 D´eterminer les fonctions continues ftelles que la fonction F(x) = Rx+1
x−1f(t)dt
soit constante.
Exercice 17 f´etant continue sur [a, b], d´emontrer que :
∀α, β ∈[a, b]Zβ
α
f(x)dx = 0 ⇐⇒ ∀x∈[a, b], f(x)=0
Exercice 18 f´etant une fonction continue positive sur [a, b], d´emontrer que Rb
af(x)dx =
0⇐⇒ ∀x∈[a, b], f(x) = 0
Exercice 19 On consid`ere l’int´egrale In=R1
−1(x2−1)ndx.
a) A l’aide d’une int´egration par parties, d´emontrer la formule de r´ecurrence : In=−2n
2n+1 In−1
b) En d´eduire la valeur de In
Exercice 20 Soit fcontinue et positive sur [a, b] dans R. On pose M= sup{f(x); x∈[a, b]}.
1) Montrer que (Rb
af(x)ndx)1/n ≤M(b−a)1
n.
2) Montrer que pour tout ∈]0, M], il existe η > 0 tel que pour tout n∈N:
Zb
a
f(x)ndx ≥2η(M−)n.
3) En d´eduire que (Rb
af(x)ndx)1/n →
n→∞ M
Exercice 21 Soit b≥a > 0, calculer I=Rb
atan(x)dx. Donner une primitive de tan
Exercice 22 Soit fcontinue sur [a, b], avec a<b. Montrer qu’il existe cdans ]a, b[ tel que :
f(c) = 1
b−aZb
a
f(x)dx
Indication : Etudier φ(x) = f(x)−1
b−aRb
af(t)dt
3

Exercice 23 Soit fcontinue sur [a, b]
Montrer que si |Rb
af(x)dx|=Rb a|f(x)|dx alors fgarde un signe constant sur [a, b].
Exercice 24 Une int´egrale issue d’une annale :
L’objectif est de donner une valeur de
I=Z1/2
0
e−t
1−tdt.
1) Justifier l’existence de I.
2) Calculer l’int´egrale J=R1/2
0e−t(1 + t).
3) a) Montrer que, pour tout t6= 1,
1
1−t= 1 + t+t2 1−t.
b) Montrer que pour tout t∈[0,1/2], on a :
t2≤e−t
1−t−e−t(1 + t)≤2t2
√e.
c) En d´eduire un encadrement de I.
Exercice 25 Soit fune fonction continue de [0,1] dans [0,1] telle que f(1) = 0.
1) Montrer que lim
n→∞nR1
0xnf(x)dx = 0.
2) En d´eduire que R1
0f(x1/n)x1/ndx →
n→∞ 0.
Exercice 26 Soit fune fonction continue sur l’intervalle [a, b].
1) Montrer que pour tout c∈[a, b[, 1
hRc+h
cf(t)dt a une limite quand htend vers 0, calculer
cette limite.
2) On d´efinit la fonction Fpar :
F(x) = Zb
a
f(x+t)cos(t)dt
Montrer que Fest d´erivable et calculer sa d´eriv´ee.
Exercice 27 Propri´et´e de Riemann-Lebesgue
Soit fune fonction continue, d´emontrer que la suite d´efinie par un:= Rb
af(t) sin(nt)dt tend
vers 0 quand ntend vers ∞
Exercice 28 Soit fune fonction telle que f(x)→
x→∞ lpour un certain r´eel l.
D´emontrer que 1
nRn
0f(x)dx →l.
Exercice 29 On d´efinit la suite (un)n≥1par :
un=Zπ/2
0
sinn(x)dx.
Montrer que (un) converge vers 0.
4

Exercice 30 Prolongement par continuit´e
Soit fune fonction continue sur [a, b]. Soit z∈]a, b[. On d´efinit la fonction suivante :
Fz:x→1
2xZx+z
x−z
f(t)dt
1) Donner le domaine de d´efinition de Fz.
2) Montrer que Fz(x)−f(z) = 1
2xRx+z
x−z(f(t)−f(z))dt.
3) Montrer que Fz(x)→
x→0f(z).
4) D´eterminer une fonction continue Gzde [0,min(b−z, z −a)], telle que Gz(x) = Fz(x) pour
tout xdans le domaine de d´efinition de Fz.
Exercice 31 Soit fune fonction continue sur [0,1]. On d´efinit Fsur [0,1] par :
F(x) = Z1
0
min(x, t)f(t)dt
1) Montrer que Fest C2
2) Calculer F00, en d´eduire que :
∀x∈[0,1], F (x) = Zx
0Z1 u
f(t)dtdu.
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