TD 5: Intégrales

Université Pierre et Marie Curie
Année 2011/2012
LM115
MIME
TD 5: Intégrales
Rappel de cours :
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b], soit φ une fonction définie sur [α, β] admettant une dérivée continue φ(α) = a et φ(β) = b.
Changement de variable x = φ(t) :
Z β
Z b
f [φ(t)]φ0 (t)dt.
f (x)dx =
a
α
La nouvelle intégrale définie portant sur la variable t s’obtient en remplaçant dans la première
les bornes a et b par α et β, puis dans le symbole f (x)dx, f (x) par f [φ(t)] et dx par φ0 (t)dt
Exercice 1 L’objectif est de calculer les intégrales suivantes :
R1
R 1 x2
R1√
√
I = 0 √xdx
x2 + 2dx
dx,
K
=
2 +1 , J = 0
2
0
x +2
√
1) Soit f la fonction définie sur [0, 1] par f (x) = ln(x+ x2 + 1). Calculer sa dérivée, en déduire
I.
2) Calcul de J et de K.
a) Montrer que J + 2I = K.
√
b) A l’aide d’une intégration par parties portant sur K, montrer que K = 3 − J
c) En déduire les valeurs de J et de K.
P
Exercice 2 1) Démontrer que nk=1 k 2 = n(n+1)(2n+1)
(question traitée dans le cours).
6
Pn k 2
1
2) Soit In = n k=1 n2 , montrer que (In )n≥1 converge et calculer sa limite. Que représente
cette limite ?
R1
3) Calculer à l’aide d’un primitive de x2 , l’intégrale 0 x2 dx.
Exercice 3 Utiliser la définition de l’intégrale pour montrer que la suite (un )n≥1 définie par :
+ ... + cos (n−1)a
), converge vers sina a .
un = n1 (1 + cos na + cos 2a
n
n
R 1/2 dx
Exercice 4 1) Calculer 0 √1−x
2.
R 1/2 xdx
2) Calculer I = 0 √1−x2 avec le changement de variable 1 − x2 = t.
R 1/2
3) Démontrer que I = 21 arcsin(1/2) − 0 arcsin(x)dx. Retrouver le résultat précédent en
R 1/2
faisant un changement de variable dans 0 arcsin(x)dx.
Rb
4) Soit b ≥ a > 0, calculer J = a √xdx
en posant t = x2 + 1. Donner une primitive de
x2 +1
x
x → √x2 +1 .
Exercice 5 1) Déterminer une primitive de sin2 à l’aide de la formule trigonométrique (à
connaı̂tre) :
1 − cos(2t)
sin2 (t) =
.
2
1
Ra√
2) Soit a > 0, on cherche à calculer I = 0 a2 − x2 dx.
En effectuant le changement de variable défini par x = a cos(t) pour t ∈ [0, π/2], montrer que
I=a
2
Z
π/2
sin2 (t)dt.
0
Justifier bien le changement de variable (attention aux bornes).
3) Déterminer la valeur de I.
Exercice 6 Calculs :
1)
Ry
2)
Ry
3)
Ry
0
(1−x)2
√
dx
x
x+3
dx
0 x+1
0
√ dx
2x−x2
(on posera x = 2 sin2 u)
Exercice 7 Soit f une fonction
sur [−r, r]. Montrer que :
R r définie et continue
Rr
1) Si cette fonction est paire, −r f (x)dx = 2 0 f (x)dx.
Rr
2) Si cette fonction est impaire, −r f (x)dx = 0
3) RCalculer les intégrales
:
R2
R1
2π
| cos x|dx ; −1 | cos x|dx ; −1 x|x|dx.
0
Exercice
R 2π 8 Calculer :
– I = 0 (a cos x + b sin x)dx ;
R 2π
– J = 0 (a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x)dx ;
Rx√
Exercice 9 On considère la fonction f définie par f (x) = 0 cos 2tdt, avec − π4 ≤ x ≤ π4 .
a) En utilisant un changement de variable, montrer que f est une fonction impaire.
b) Montrer que si 0 ≤ x ≤ π/4, f (x) ≤ x.
Exercice 10 Calculer les intégrales suivantes :
R π/2
R1
R 4 xdx
R 1 arctan x
R1 √
1) a) −1 (x2 − 1)dx, b) 0 √1+3x
dx, d) 0 x2 1 + x3 dx, e) 0 x cos xdx, f)
2 , c)
0 1+x2
R1
arcsin xdx
0
R1
R1 x
R1 x
√
2) Démontrer que 0 arcsin(x)dx = π2 − 0 √1−x
dx.
2 dx, déduire de f), la valeur de
0
1−x2
R1
Exercice 11 1) Calculer In = 0 xn dx, quelle est la limite de nIn quand n tend vers +∞ ?
R1
2) Calculer Jn = 0 xn (1 − xn )dx, quelle est la limite de nJn quand n tend vers +∞ ?
Exercice
:
R 2π 12 p et q étant des entiers
R 2π positifs, calculer les intégrales
R 2π
I = 0 cos(px) cos(qx)dx ; J = 0 cos(px) sin(qx)dx ; K = 0 sin(px) sin(qx)dx.
Exercice 13 Calculer l’intégrale :
R π/2
0
x2 sin(x)dx
2
Exercice 14 f est définie et continue sur [a, b], et vérifie :
f (a + b − x) = f (x),
pour tout x ∈ [a, b].
1) Que peut on dire du graphe de f ?
2) A l’aide d’un changement de variable simple, montrer que
Z b
Z
a+b b
xf (x)dx =
f (x)dx.
2
a
a
R π x sin(x)
2
3) Appliquer ce qui précède au calcul de I = 0 1+cos
2 (x) dx, et en déduire que I=π /4
Exercice 15 f étant une fonction continue, montrer que x →
dérivable et calculer sa dérivée
R x2 +1
x
f (t)dt est une fonction
Exercice 16 Déterminer les fonctions continues f telles que la fonction F (x) =
soit constante.
R x+1
x−1
f (t)dt
Exercice 17 f étant continue sur [a, b], démontrer que :
Z β
f (x)dx = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ [a, b], f (x) = 0
∀α, β ∈ [a, b]
α
Exercice 18 f étant une fonction continue positive sur [a, b], démontrer que
0 ⇐⇒ ∀x ∈ [a, b], f (x) = 0
Rb
a
f (x)dx =
R1
Exercice 19 On considère l’intégrale In = −1 (x2 − 1)n dx.
2n
a) A l’aide d’une intégration par parties, démontrer la formule de récurrence : In = − 2n+1
In−1
b) En déduire la valeur de In
Exercice 20 Soit f continue et positive sur [a, b] dans R. On pose M = sup{f (x); x ∈ [a, b]}.
Rb
1
1) Montrer que ( a f (x)n dx)1/n ≤ M (b − a) n .
2) Montrer que pour tout ∈]0, M ], il existe η > 0 tel que pour tout n ∈ N :
Z b
f (x)n dx ≥ 2η(M − )n .
a
Rb
3) En déduire que ( a f (x)n dx)1/n → M
n→∞
Exercice 21 Soit b ≥ a > 0, calculer I =
Rb
a
tan(x)dx. Donner une primitive de tan
Exercice 22 Soit f continue sur [a, b], avec a < b. Montrer qu’il existe c dans ]a, b[ tel que :
Z b
1
f (c) =
f (x)dx
b−a a
Rb
1
Indication : Etudier φ(x) = f (x) − b−a
f (t)dt
a
3
Exercice 23 Soit f continue sur [a, b]
Rb
Rb
Montrer que si | a f (x)dx| = a |f (x)|dx alors f garde un signe constant sur [a, b].
Exercice 24 Une intégrale issue d’une annale :
L’objectif est de donner une valeur de
Z 1/2 −t
e
I=
dt.
1−t
0
1) Justifier l’existence de I.
R 1/2
2) Calculer l’intégrale J = 0 e−t (1 + t).
3) a) Montrer que, pour tout t 6= 1,
1
t2
=1+t+
.
1−t
1−t
b) Montrer que pour tout t ∈ [0, 1/2], on a :
t2 ≤
e−t
t2
− e−t (1 + t) ≤ 2 √ .
1−t
e
c) En déduire un encadrement de I.
Exercice 25 Soit f une fonction continue de [0, 1] dans [0, 1] telle que f (1) = 0.
1) Montrer que lim n
n→∞
2) En déduire que
R1
0
R1
0
xn f (x)dx = 0.
f (x1/n )x1/n dx → 0.
n→∞
Exercice 26 Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b].
R c+h
1) Montrer que pour tout c ∈ [a, b[, h1 c f (t)dt a une limite quand h tend vers 0, calculer
cette limite.
2) On définit la fonction F par :
Z b
F (x) =
f (x + t)cos(t)dt
a
Montrer que F est dérivable et calculer sa dérivée.
Exercice 27 Propriété de Riemann-Lebesgue
Rb
Soit f une fonction continue, démontrer que la suite définie par un := a f (t) sin(nt)dt tend
vers 0 quand n tend vers ∞
Exercice 28 Soit f une fonction telle que f (x) → l pour un certain réel l.
x→∞
Rn
Démontrer que n1 0 f (x)dx → l.
Exercice 29 On définit la suite (un )n≥1 par :
Z π/2
un =
sinn (x)dx.
0
Montrer que (un ) converge vers 0.
4
Exercice 30 Prolongement par continuité
Soit f une fonction continue sur [a, b]. Soit z ∈]a, b[. On définit la fonction suivante :
Z x+z
1
f (t)dt
Fz : x →
2x x−z
1) Donner le domaine de définition de Fz .
2) Montrer que Fz (x) − f (z) =
1
2x
R x+z
x−z
(f (t) − f (z))dt.
3) Montrer que Fz (x) → f (z).
x→0
4) Déterminer une fonction continue Gz de [0, min(b − z, z − a)], telle que Gz (x) = Fz (x) pour
tout x dans le domaine de définition de Fz .
Exercice 31 Soit f une fonction continue sur [0, 1]. On définit F sur [0, 1] par :
Z 1
F (x) =
min(x, t)f (t)dt
0
1) Montrer que F est C 2
2) Calculer F 00 , en déduire que :
Z
x
Z
∀x ∈ [0, 1], F (x) =
0
5
u
1
f (t)dt du.