Calcul intégral

Master Dynamique terrestre et risques naturels
Mathématiques pour géologues
Calcul intégral
1
1.1
Rappel de cours
Intégrale de Riemann
Supposons tout d’abord une fonction f continue et non décroissante sur [a, b] et telle que f (a) ≥ 0.
y
a
x1 x2
xn-1
b
x
Fig. 1 – Détermination d’une intégrale comme somme de Riemann
Divisons l’intervalle [a, b] en n intervalles par les points x0 = a, x1 , x2 , ..., xn−1 , xn = b et considérons
les sommes suivantes représentant la somme des aires des rectangles au-dessus et en dessous de la
fonction f (Fig. 1)
X
′
n
X
= (x1 − a)f (a) + (x2 − x1 )f (x1 ) + ... + (b − xn−1 )f (xn−1 )
n
= (x1 − a)f (x1 ) + (x2 − x1 )f (x2 ) + ... + (b − xn−1 )f (xb ).
Si le nombre d’intervalles élémentaires augmente indéfiniment alors
X′
X
n−
n −→ 0.
La limite commmune S de
P
n
et
P
′
n
se désigne par le symbole
S=
Z
b
f (x)dx,
a
qui se lit “somme de a à b de f (x)dx” ou “intégale de a à b de f (x)dx”.
La présentation précédente s’adapterait sans difficulté au cas d’une fonction décroissante, ou dont
le sens de variation change un nombre fini de fois ou encore qui ne reste pas positive sur [a, b].
L’intégrale de Riemnann se trouve ainsi définie pour toute fonction continue par morceau.
1.2
Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle [a, b]
On appelle valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle [a, b] la quantité µ définie par
µ=
1.3
1
b−a
Z
n
b
1X
f
n→∞ n
f (x)dx = lim
a
k=1
b−a
a+k
n
Propriétés générales
De la définition de l’intégrale découle les propriétés traduisant la linéarité de l’intégration
Z b
Z b
Z b
[f (x) + g(x)]dx =
f (x)dx +
g(x)dx
a
Z
a
b
λf (x)dx = λ
Z
a
b
f (x)dx où λ est une constante
a
a
Si on permute les bornes de l’intervalle [a, b], les accroissements ∆x = xk+1 − xk change de signe.
On a donc
Z a
Z b
f (x)dx = −
f (x)dx.
b
a
Supposons que c soit un nombre fixe compris entre a et b. On peut partager l’intervalle [a, b] en
[a, c] et [c, b]. En additionnant les sommes relatives à chaque intervalle on obtient la relation de
Chasles :
Z b
Z c
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
a
a
c
Si f (x) est intégrable sur [a, b] il en est de même pour |f (x)| et de plus
Z
Z
b
b
f (x)dx ≤
|f (x)|dx.
a
a
1.4
Théorème de la moyenne
Si f et g sont continues sur [a, b] et si g garde un signe constant, il existe c ∈ [a, b] tel que
Z b
Z b
g(x)dx.
f (x)g(x)dx = f (c)
a
a
1.5
1.6
Inégalité de Schwarz
Z
sZ
Z b
b
b
f 2 (x)dx
g 2 (x)dx.
f (x)g(x)dx ≤
a
a
a
Primitive et intégrale fonction de sa borne supérieure
F (x) est une primitive de f (x), fonction continue, si F ′ (x) = f (x). Cette primitive est définie par
une intégrale fonction de sa borne supérieure,
Z x
f (x)d(x).
F (x) − F (a) =
a
Si une fonction f est paire (impaire) alors sa primitive est impaire (paire).
1.7
Calcul des primitives et des intégrales définies
Par la suite a, α seront des constantes réels et x une variable réelle. Par soucis de simplicité d’écriture
les bornes d’intégration ne seront pas notées ce qui revient à ne pas mentionner la constante associée
à tout calcul de primitive.
1.7.1
Primitives usuelles immédiates
R
adx = ax
R
1
x dx
xα dx =
R
cos xdx = sin x
R
1
cos2 x dx
R
ex dx = ex
1.8
1.8.1
avec α 6= −1
= ln |x|
R
sin xdx = − cos x
R
1
dx
sin2 x
R
1.7.2
1
α+1
α+1 x
R
ax dx =
R
= (1 + tan2 x)dx = tan x
R
= (1 + cot2 x)dx = − cot x
ax
ln a
avec a ≥ 0 et a 6= 1
R
cosh dx = sinh x
R
1
cosh2 x
R
R
R
R
sinh dx = cosh x
R
1
sinh2 x
1
1+x2
= arctan x
R
1
1−x2
= arg tanh x =
√ 1
1−x2
= arcsin x
R
√ 1
1+x2
= arg sinh x = ln(x +
√
1 + x2 )
√ 1
x2 −1
= arg cosh x = ln(x +
√
x2 − 1)
R
= (1 − tanh2 x)dx = tanh x
R
= (1 − coth2 x)dx = − coth x
1
2
ln
1+x
1−x
Primitives usuelles
R
ln |x|dx = x ln |x| − x
R
cot xdx = ln | sin x|
R
coth xdx = ln | sinh x|
R
1
cos x dx
R
tan xdx = − ln | cos x|
R
tanh xdx = ln cosh x
R
1
sin x dx
= ln tan x2 = ln tan
x
2
+
R
1
sinh x dx
= ln tanh x2 R
1
cosh x dx
R
1
a2 +x2 dx
R
√ 1
dx
a2 −x2
= 2 arctan ex
arctan xa , avec a 6= 0
R 1
x+a 1
a2 −x2 dx = 2a ln x−a , avec a 6= 0
π
4
Méthodes d’intégration
R
√ 1
x2 +a
=
1
a
= arcsin xa |, avec a > 0
= ln |x +
√
x2 + a|, avec a 6= 0
Intégration par linéarisation
La méthode consistant à décomposer en somme de plusieurs intégrales (linéarisation) permet de
calculer d’assez nombreuses intégrales,
Z
Z
Z
[λf (x) + µg(x)]dx = λ f (x)dx + µ g(x)dx, où λ et µ sont des constantes.
1.8.2
Intégration par partie
u et v étant deux fonctions dérivables, on sait que (uv)′ = u′ v + uv ′ . On en déduit donc la formule
dite “d’intégration par partie” :
Z
Z
uv ′ = uv − u′ v.
On emploie cette méthode d’intégration pour les fonctions de type
– P (x)eαx où P (x) est un polynôme et α un réel. Le but de cette méthode est alors par intégration
successives de réduire le degré du polynôme.
– f (x)g(x) où g est une fonction rationnelle et f une fonction transcendante (fonction non algébrique,
i.e. ne se déduisant pas de x par des opérations algébriques de type ex , ln x, sin x, ...) de dérivée
algébrique. Par exemple f (x) = arctan x.
1.8.3
Changement de variable
Cette technique consiste à remplacer l’expression de la fonction f à intégrer en changeant la variable
d’intégration. Ce changement doit étre répercuté en trois points :
– dans la fonction f (x).
– dans le différentiel dx.
– dans les bornes.
Les changements de variables classiques sont :
f (ax + b)dx
=
1
a
√
f ( ax + b)dx
=
2
a
√
f ( a2 − x2 )dx
=
a
√
f ( a2 + x2 )dx
=
a
√
f ( x2 − a2 )dx
=
a
f (arcsin xa )dx
=
a
f (sin x, cos x)dx
=
2
R
R
R
R
R
1.8.4
R
R
R
f (u)du
où
u = ax + b
uf (u)du
où
u=
R
f (a cos u) cos udu
où
x = a sin u
R
f ( cosa u ) cos12 u du
où
x = a tan u
R
u
f (a tan u) tan
cos u du
où
x=
R
f (u) cos udu
où
u = arcsin xa
R
1−u
du
2u
f ( 1+u
2 , 1+u2 ) 1+u2
où
u = tan x2
R
2
√
ax + b
a
cos u
Intégration et parité
La parité d’une fonction doit toujours être étudiée si l’intervalle d’intégration est centré sur 0 car
Ra
Z a
2 0 f (x)dx si f est paire
f (x)dx =
0
si f est impaire
−a
1.9
1.9.1
Exemples d’applications du calcul intégral
Calcul d’aires
L’aire délimitée par la courbe y = f (x) et les deux droites d’abscisses a et b est donnée par
S=
Z
b
f (x)dx.
a
1.9.2
Calcul d’un volume de révolution
Si un corps a une géométrie de révolution autour de l’axe x ( Fig. 2) alors son volume est donné
par
V =
Z
b
π(f (x))2 dx,
a
où f (x) est la fonction donnant le rayon associé à chaque valeur de x.
y
f(x)
a
x
b
z
Fig. 2 – Détermination d’une intégrale pour un volume de révolution
1.9.3
Calcul d’un volume quelconque
Si S(x) est la surface d’une section du volume alors un élément de volume dv = S(x)dx. En
intégrant on obtient le volume compris entre les plans de cotes a et b,
V =
Z
b
S(x)dx.
a
1.10
Intégrales multiples
1.10.1
Notion d’intégrale double
RR
P
Le symbole
i (∆Sf (xi , yi )),
D f (x, y)dxdy représente la limite lorsqu’elle existe de la somme
où ∆S est l’aire élémentaire tendant vers 0 dans toutes ces dimensions, (xi , yi )) ∈ ∆S. Son calcul
se ramène à celui de deux intégrales simples.
– En coordonneés cartésiennes dS = dxdy. Si le domaine D est le rectangle défini par a ≤ x ≤ b
et c ≤ x ≤ d alors
#
#
Z "Z
Z "Z
Z Z
b
d
f (x, y)dxdy =
D
b
d
f (x, y)dy dx =
a
c
f (x, y)dx dy.
c
a
– En coordonneés polaires dS = rdrdθ. Si le domaine D est défini par r1 ≤ r ≤ r2 et θ1 ≤ θ ≤ θ2
alors
#
Z r2 " Z θ 2
Z Z
f (r, θ)dθ rdr.
f (r, θ)rdrdθ =
r1
D
θ1
1.10.2
Notion d’intégrale triple
RRR
P
f (x, y, z)dxdydz représente la limite lorsqu’elle existe de la somme i (∆V f (xi , yi , zi )),
Le symbole
D
où ∆V est le volume élémentaire tendant vers 0 dans toutes ces dimensions, (xi , yi , zi )) ∈ ∆V . Son
calcul se ramène à celui d’une intégrale simple et d’une intégrale double.
– En coordonneés cartésiennes dV = dxdydz. Si le domaine D est le cube défini par a ≤ x ≤ b,
c ≤ y ≤ d et e ≤ z ≤ h alors
# #
Z Z Z
Z "Z "Z
b
d
h
f (x, y, z)dxdydz =
D
f (x, y, z)dz dy dx.
a
c
e
– En coordonneés sphériques dV = r2 sin θdrdθdφ. Si le domaine D est défini par r1 ≤ r ≤ r2 et
θ1 ≤ θ ≤ θ2 et φ1 ≤ φ ≤ φ2 alors
#
#
Z Z Z
Z r2 "Z θ2 "Z φ2
2
f (r, θ, φ)dφ sin θdθ r2 dr.
f (r, θ, φ)r sin θdrdθdφ =
r1
D
1.11
θ1
φ1
Fonction d’une variable réelle définie par une intégrale
1.11.1
Fonction du type
Rx
a
f (t)dt
Dans la résolution des équations aux dérivées partielles, il arrive de “tomber” sur des fonctions f
intégrables dont on ne peut pas calculer l’intégrale. On utilise alors des fonctions spéciales dont la
dérivée n’est autre que la fonction f . En voici quelquesRexemples
x
– le sinus intégral de x, noté Si (x), défini par Si (x) = 0 sint t dt.
Rx
– le cosinus intégral de x, noté Ci (x), défini par Ci (x) = 0 cost t dt.
Rx
2
– la fonction erreur de x, notée erf (x), définie par erf (x) = 0 e−t dt.
R +∞
2
– la fonction erreur complémentaire x, notée erf c(x), définie par erf c(x) = x e−t dt = 1 −
erf (x).
1.11.2
Fonction du type
Rb
f (x, t)dt (fonction eulérienne de premiére espéce)
Rb
Si f (x, t) est continue sur Dx[a, b], alors a f (x, t)dt est continue sur D. Si ∂f
∂x (x, t) est continue
Rb
R b ∂f
Rb
d
sur Dx[a, b] et a f (x, t)dt est continue sur D alors dx a f (x, t)dt = a ∂x f dt.
Un exemple “célèbre” de ce type de fonction est la fonction béta, notée B(x, y) est définie par
R1
B(x, y) = 0 tx−1 (1 − t)y−1 dt et qui converge pour x et y strictement positifs.
a
R +∞
Fonction du type a f (x, t)dt, exemple de la fonction Γ(x) (fonction eulérienne
de deuxième espèce)
R +∞
On définit la fonction gamma de x, notée Γ(x), l’intégrale 0 tx−1 e−t dt, qui converge pour x
strictement positif.
La fonction Γ(x) vérifie l’équation de récurrence Γ(x + 1) = xΓ(x). Dans le cas où x est un entier
noté n on a Γ(n) = n!. Les fonctions B et Γ sont liée par
1.11.3
B(x, y) =
2
Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)
Exercices
1. Trouver la limite de
R x2
x
dt
ln t
lorsque x tend vers 1.
2. Soir f (x) intégrable sur [a, b], avec a < b. On appelle µ la valeur moyenne de f sur [a, b] et
on définit la “valeur efficace” de f sur [a, b] par la formule
s
Z b
1
fe =
[f (x)]2 dx.
b−a a
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Comparer fe et µ.
R
Calculer arctan xdx.
R
x
Calculer 1+cos
sin x−1 dx.
R 1
Calculer tan3 x dx.
R
1
Calculer ex +2e
−x dx.
R
6
Calculer sin x cos4 xdx.
R
Calculer sin5 x cos3 xdx.
R√
ex − 1dx.
R
Calculer sinn−1 x sin[(n + 1)x]dx.
R dx
Soit In (x) = cos
n x pour n entier naturel. Calculer I0 , I1 , I2 . Puis établir une formule de
récurence permettant de calculer In (x).
R
Calculer (ln x)2 dx.
R √1−x2
Calculer
x2 dx.
9. Calculer
10.
11.
12.
13.
14. On considére la fonction f définie sur [−2, 4] à l’aide de la figure 3.
y
1
x
1
Fig. 3 – Définition de la fonction f
R4
R4
Sans exprimer f (x) calculer −2 f (x)dx et −2 |f (x)|dx.
R2
15. Calculer 0 x22x−1
−x−1 dx.
R π/2 cos x
16. Calculer 0 1+sin x dx.
R π/2
17. Calculer 0 sin 2x cos 3xdx.
18. Calculer la valeur moyenne de la fonction f définie par f (x) = |x| + tan x sur l’intervalle
[−π/4, π/4].
19. Un ballon de rugby a la forme d’un ellipsoı̈de de révolution, c’est-à-dire d’un volume
p engendré
par la rotation autour de l’axe des abscisses d’une demi-ellipse de révolution y = b 1 − (x/a)2
avec a et b positif et a > b.
(a) Construire la courbe représentative de la fonction f (x) = y définie sur l’intervalle [−a, a].
(b) Calculer le volume d’un ballon de rugby.
(c) En déduire le volume d’un ballon de foot de rayon a.
20. On appelle moment d’inertie d’un corps constitué des masses mi par rapport à un point O,
la somme des produits des masses par le carré de leur distance ri au point O,
X
mi ri2
I=
i
(a) Calculer le moment d’inertie d’un cylindre homogéne de rayon R et de hauteur h par
rapport à son axe.
(b) Déterminer le moment d’inertie d’une plaque homogéne rectangulaire de dimension a et
b, d’épaisseur négligeable, par rapport é un de ses sommets.
(c) Déterminer le moment d’inertie d’une sphére de rayon R par rapport à son centre.

 x≥1
R R dxdy
y≥1
21. Calculer
avec
D
défini
par
D (x+y)3

x+y ≤3
RR
x≥0
dxdy
22. Calculer
D (x2 +y 2 +a2 )2 avec D défini par
y≥0
R R R dxdydz
, D étant le domaine limité par la demi-sphére de centre O, de rayon
23. Calculer
z
D
R et z ≥ 0 et par le cône de révolution d’axe Oz et d’ouverture zα (0 < α < π/2).