Calcul intégral

Master Dynamique terrestre et risques naturels
Math´ematiques pour g´eologues
Calcul int´egral
1 Rappel de cours
1.1 Int´egrale de Riemann
Supposons tout d’abord une fonction fcontinue et non d´ecroissante sur [a, b] et telle que f(a)≥0.
a b
xn-1x1 x2
y
x
Fig. 1 – D´etermination d’une int´egrale comme somme de Riemann
Divisons l’intervalle [a, b] en nintervalles par les points x0=a, x1, x2, ..., xn−1, xn=bet consid´erons
les sommes suivantes repr´esentant la somme des aires des rectangles au-dessus et en dessous de la
fonction f(Fig. 1)
X′
n= (x1−a)f(a) + (x2−x1)f(x1) + ... + (b−xn−1)f(xn−1)
Xn= (x1−a)f(x1) + (x2−x1)f(x2) + ... + (b−xn−1)f(xb).
Si le nombre d’intervalles ´el´ementaires augmente ind´efiniment alors
Xn−X′
n−→ 0.
La limite commmune Sde Pnet P′
nse d´esigne par le symbole
S=Zb
a
f(x)dx,
qui se lit “somme de a`a bde f(x)dx” ou “int´egale de a`a bde f(x)dx”.
La pr´esentation pr´ec´edente s’adapterait sans difficult´e au cas d’une fonction d´ecroissante, ou dont
le sens de variation change un nombre fini de fois ou encore qui ne reste pas positive sur [a, b].
L’int´egrale de Riemnann se trouve ainsi d´efinie pour toute fonction continue par morceau.

1.2 Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle [a, b]
On appelle valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle [a, b] la quantit´e µd´efinie par
µ=1
b−aZb
a
f(x)dx = lim
n→∞
1
n
n
X
k=1
fa+kb−a
n
1.3 Propri´et´es g´en´erales
De la d´efinition de l’int´egrale d´ecoule les propri´et´es traduisant la lin´earit´e de l’int´egration
Zb
a
[f(x) + g(x)]dx =Zb
a
f(x)dx +Zb
a
g(x)dx
Zb
a
λf(x)dx =λZb
a
f(x)dx o`u λest une constante
Si on permute les bornes de l’intervalle [a, b], les accroissements ∆x=xk+1 −xkchange de signe.
On a donc
Za
b
f(x)dx =−Zb
a
f(x)dx.
Supposons que csoit un nombre fixe compris entre aet b. On peut partager l’intervalle [a, b] en
[a, c] et [c, b]. En additionnant les sommes relatives `a chaque intervalle on obtient la relation de
Chasles :
Zb
a
f(x)dx =Zc
a
f(x)dx +Zb
c
f(x)dx.
Si f(x) est int´egrable sur [a, b] il en est de mˆeme pour |f(x)|et de plus
Zb
a
f(x)dx≤Zb
a|f(x)|dx.
1.4 Th´eor`eme de la moyenne
Si fet gsont continues sur [a, b] et si ggarde un signe constant, il existe c∈[a, b] tel que
Zb
a
f(x)g(x)dx =f(c)Zb
a
g(x)dx.
1.5 In´egalit´e de Schwarz
Zb
a
f(x)g(x)dx≤sZb
a
f2(x)dx Zb
a
g2(x)dx.
1.6 Primitive et int´egrale fonction de sa borne sup´erieure
F(x) est une primitive de f(x), fonction continue, si F′(x) = f(x). Cette primitive est d´efinie par
une int´egrale fonction de sa borne sup´erieure,
F(x)−F(a) = Zx
a
f(x)d(x).
Si une fonction fest paire (impaire) alors sa primitive est impaire (paire).
1.7 Calcul des primitives et des int´egrales d´efinies
Par la suite a, α seront des constantes r´eels et xune variable r´eelle. Par soucis de simplicit´e d’´ecriture
les bornes d’int´egration ne seront pas not´ees ce qui revient `a ne pas mentionner la constante associ´ee
`a tout calcul de primitive.

1.7.1 Primitives usuelles imm´ediates
Radx =ax Rcosh dx = sinh x
Rxαdx =1
α+1 xα+1 avec α6=−1Rsinh dx = cosh x
R1
xdx = ln |x|R1
cosh2x=R(1 −tanh2x)dx = tanh x
Rcos xdx = sin xR1
sinh2x=R(1 −coth2x)dx =−coth x
Rsin xdx =−cos xR1
1+x2= arctan x
R1
cos2xdx =R(1 + tan2x)dx = tan xR1 1−x2= arg tanh x=1 2ln 1+x 1−x
R1
sin2xdx =R(1 + cot2x)dx =−cot xR1
√1−x2= arcsin x
Rexdx =exR1
√1+x2= arg sinh x= ln(x+√1 + x2)
Raxdx =ax
ln aavec a≥0 et a6= 1 R1
√x2−1= arg cosh x= ln(x+√x2−1)
1.7.2 Primitives usuelles
Rln |x|dx =xln |x| − xR1
sinh xdx = ln tanh x 2
Rtan xdx =−ln |cos x|R1
cosh xdx = 2 arctan ex
Rcot xdx = ln |sin x|R1
a2+x2dx =1 aarctan x a,avec a6= 0
Rtanh xdx = ln cosh xR1
a2−x2dx =1 2aln 
x+a
x−a,avec a6= 0
Rcoth xdx = ln |sinh x|R1
√a2−x2dx = arcsin x
a|,avec a > 0
R1
sin xdx = ln tan x 2R1
√x2+a= ln |x+√x2+a|,avec a6= 0
R1
cos xdx = ln tan x 2+π 4
1.8 M´ethodes d’int´egration
1.8.1 Int´egration par lin´earisation
La m´ethode consistant `a d´ecomposer en somme de plusieurs int´egrales (lin´earisation) permet de
calculer d’assez nombreuses int´egrales,
Z[λf(x) + µg(x)]dx =λZf(x)dx +µZg(x)dx, o`u λet µsont des constantes.
1.8.2 Int´egration par partie
uet v´etant deux fonctions d´erivables, on sait que (uv)′=u′v+uv′. On en d´eduit donc la formule
dite “d’int´egration par partie” : Zuv′=uv −Zu′v.
On emploie cette m´ethode d’int´egration pour les fonctions de type

–P(x)eαx o`u P(x) est un polynˆome et αun r´eel. Le but de cette m´ethode est alors par int´egration
successives de r´eduire le degr´e du polynˆome.
–f(x)g(x) o`u gest une fonction rationnelle et fune fonction transcendante (fonction non alg´ebrique,
i.e. ne se d´eduisant pas de xpar des op´erations alg´ebriques de type ex,ln x, sin x, ...) de d´eriv´ee
alg´ebrique. Par exemple f(x) = arctan x.
1.8.3 Changement de variable
Cette technique consiste `a remplacer l’expression de la fonction f`a int´egrer en changeant la variable
d’int´egration. Ce changement doit ´etre r´epercut´e en trois points :
– dans la fonction f(x).
– dans le diff´erentiel dx.
– dans les bornes.
Les changements de variables classiques sont :
Rf(ax +b)dx =1
aRf(u)du o`u u=ax +b
Rf(√ax +b)dx =2
aRuf(u)du o`u u=√ax +b
Rf(√a2−x2)dx =aRf(acos u) cos udu o`u x=asin u
Rf(√a2+x2)dx =aRf(a
cos u)1 cos2udu o`u x=atan u
Rf(√x2−a2)dx =aRf(atan u)tan u
cos udu o`u x=a cos u
Rf(arcsin x
a)dx =aRf(u) cos udu o`u u= arcsin x a
Rf(sin x, cos x)dx = 2 Rf(2u
1+u2,1−u2 1+u2)du 1+u2o`u u= tan x 2
1.8.4 Int´egration et parit´e
La parit´e d’une fonction doit toujours ˆetre ´etudi´ee si l’intervalle d’int´egration est centr´e sur 0 car
Za
−a
f(x)dx =2Ra
0f(x)dx si fest paire
0 si fest impaire
1.9 Exemples d’applications du calcul int´egral
1.9.1 Calcul d’aires
L’aire d´elimit´ee par la courbe y=f(x) et les deux droites d’abscisses aet best donn´ee par
S=Zb
a
f(x)dx.
1.9.2 Calcul d’un volume de r´evolution
Si un corps a une g´eom´etrie de r´evolution autour de l’axe x ( Fig. 2) alors son volume est donn´e
par
V=Zb
a
π(f(x))2dx,
o`u f(x) est la fonction donnant le rayon associ´e `a chaque valeur de x.

z
x
y
f(x)
ab
Fig. 2 – D´etermination d’une int´egrale pour un volume de r´evolution
1.9.3 Calcul d’un volume quelconque
Si S(x) est la surface d’une section du volume alors un ´el´ement de volume dv =S(x)dx. En
int´egrant on obtient le volume compris entre les plans de cotes aet b,
V=Zb
a
S(x)dx.
1.10 Int´egrales multiples
1.10.1 Notion d’int´egrale double
Le symbole RRDf(x, y)dxdy repr´esente la limite lorsqu’elle existe de la somme Pi(∆Sf(xi, yi)),
o`u ∆Sest l’aire ´el´ementaire tendant vers 0 dans toutes ces dimensions, (xi, yi)) ∈∆S. Son calcul
se ram`ene `a celui de deux int´egrales simples.
– En coordonne´es cart´esiennes dS =dxdy. Si le domaine Dest le rectangle d´efini par a≤x≤b
et c≤x≤dalors
Z ZD
f(x, y)dxdy =Zb
a"Zd c
f(x, y)dy#dx =Zd
c"Zb a
f(x, y)dx#dy.
– En coordonne´es polaires dS =rdrdθ. Si le domaine Dest d´efini par r1≤r≤r2et θ1≤θ≤θ2
alors
Z ZD
f(r, θ)rdrdθ =Zr2
r1"Zθ2
θ1
f(r, θ)dθ#rdr.
1.10.2 Notion d’int´egrale triple
Le symbole RRRDf(x, y, z)dxdydz repr´esente la limite lorsqu’elle existe de la somme Pi(∆V f(xi, yi, zi)),
o`u ∆Vest le volume ´el´ementaire tendant vers 0 dans toutes ces dimensions, (xi, yi, zi)) ∈∆V. Son
calcul se ram`ene `a celui d’une int´egrale simple et d’une int´egrale double.
– En coordonne´es cart´esiennes dV =dxdydz. Si le domaine Dest le cube d´efini par a≤x≤b,
c≤y≤det e≤z≤halors
ZZZD
f(x, y, z)dxdydz =Zb
a"Zd
c"Zh
e
f(x, y, z)dz#dy#dx.