1 Euro la partie - Maths au lycée Mezeray

Probabilités
Variable aléatoire
1 Euro la partie
A la foire du trône , en passant devant le stand de Mélusine Hanfaillyte , on peut être tenté par le jeu .
Alors , « aubaine ou piège à c… » ??
Rectifier la valeur du prix du ticket pour que le jeu soit équitable .
I.
Variable aléatoire
On réalise une expérience aléatoire .
L’ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire est l’univers de probabilité
(
ensembles des évènements élémentaires )
Définir une variable aléatoire sur c’est associer un nombre réel à chaque issue de l’expérience
Exemple
Le prof de maths a une curieuse façon de noter les copies . A chaque copie ,il lance 3 pièces de monnaie .
Si il y a 3 fois pile il met 15/20
Si il ya 2 fois pile , il met 10/20
Si il ya 1 fois pile , il met 05/20
Sil il y a 0 fois pile , il met 00/20
La variable aléatoire est la note X affectée à la copie .
X peut prendre les valeurs 15/20 , 10/20 , 05/20 et 00/20
L’expérience aléatoire est un lancé de 3 pièces .
Les issues possibles ( évènements élémentaires ) sont des triplets ( x,y,z) où x , y et z peut être « pile »
ou « face » par exemple ( P,F,F) signifie que la pièce 1 a donné pile , la pièce 2 a donné face et la pièce 3
aussi .
On peut visualiser les différents évènements élémentaires par un arbre .
Pièce 1
Pièce 2
P
P
F
P
F
F
Pièce 3
Evénement
élémentaire
P
F
P
F
P
F
P
F
(P,P,P)
(P,P,F)
(P,F,P)
(P,F,F)
(F,P,P)
(F,P,F)
(F,F,P)
(F,F,F)
Les pièces sont supposées parfaites , il y a donc hypothèse d’équiprobabilité des évènements élémentaires
Chacun d’eux a une probabilité de p =
=
 Rappel : card(A) = nombre d’éléments de l’ensemble A
II.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Etant donnée une variable aléatoire X définie sur un univers de probabilité
,
, …..
et prenant les valeurs
, définir la loi de probabilité de X consiste à donner les probabilités de chacun des
évènements notés « X =
» pour i allant de 1 à n .
En général , on donne le tableau suivant :
p(X= )
…/…
…/…
1
Exemple
Pour notre notation de copie , la loi de probabilité de X est donnée par le tableau :
p(X= )
1/8
3/8
05/20
3/8
1/8
1
 Rappel : la probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui
le composent .
Ici , « X= 10/20 » = { (P,P,F) ; (P,F,P) ; F,P,P) }
donc p(X= 10/20 ) =
=
III.
Paramètres d’une variable aléatoire
1. Espérance mathématique
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X est noté E(X) , elle correspond à la moyenne
pour une variable statistique , la fréquence en statistique étant remplacée par la probabilité .
On a donc la formule :
E(X) =
soit , en abrégé , E(X) =
Calculer l’espérance de note de l’élève Anatole Ondulais donc la copie est corrigée par le prof de maths
psychopathe ( Pléonasme ! ) (*)
2. Variance et écart-type
Ce sont les mêmes notions que pour les variables statistiques . Les formules sont donc les mêmes ,seules les
notations diffèrent .
La variance est la moyenne des carrés des écarts (E(X) –
)
Donc V(X) =
On a aussi l’autre formule
V(X) =
– [E(X) ]²
L’écart-type est la racine carrée de la variance , Il est noté
(lire « sigma de X » )
=
Donner la variance et l’écart-type pour la variable aléatoire « Note »
3. Propriété (influence d’un changement affine )
E(aX + b) = aE(X) + b et
V(aX) = a² V(X)
et donc
(*) Pléonasme n’est pas le nom du prof de maths ( note pour les mal-comprenant )
=